шаг – формирование третьего столбца.
Решение систем линейных алгебраических уравнений Общий вид системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) Система где
Таблица коэффициентов при неизвестных называется матрицей системы:
столбец столбец
Если матрица системы A – квадратная, то ее определитель обозначается чаще всего через Основными методами решения СЛАУ являются: метод Крамера, матричный метод и метод Гаусса. Первые два метода применимы только для систем с квадратной невырожденной матрицей. Методом Гаусса можно решать любую СЛАУ.
Формулы Крамера Если определитель
где
Эти формулы называются формулами Крамера.
Задача 1.2.1 Решите СЛАУ Решение Определитель системы:
Вспомогательные определители:
По формулам Крамера: Матричный метод СЛАУ
где
Если матрица
Задача 1.2.2 Решите матричным методом СЛАУ Решение Матрица системы
Определитель матрицы равен:
Союзная матрица:
Союзная транспонированная матрица:
Обратная матрица:
Теперь можно получить решение системы в матричном виде:
замечание Иногда требуется решить матричное уравнение вида: Задача 1.2.3 Решите матричное уравнение Решение Решением этого матричного уравнения является матрица
Поскольку
то
Проверка
Метод Гаусса Рассмотрим СЛАУ систему
Матрица системы, к которой присоединен столбец свободных членов, отделенный от других столбцов вертикальной чертой, называется расширенной матрицей системы. Определение Элементарными преобразованиями в расширенной матрице системы называются преобразования, не меняющие множества ее решений. К элементарным преобразованиям относятся следующие преобразования: 1) перемена местами строк матрицы; 2) умножение (деление) строки на число, отличное от нуля; 4) прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно, и то же число; 5) вычеркивание одной из двух пропорциональных (равных) строк; 6) вычеркивание нулевой строки; 7) перемена местами столбцов, кроме последнего за чертой с запоминанием, какому неизвестному соответствует каждый столбец. Принято знак элементарных преобразований обозначать: ~. Целью метода Гаусса является приведение элементарными преобразованиями расширенной матрицы системы к такому виду, чтобы в
Задача 1.2.4 Решите систему методом Гаусса Решение Расширенная матрица системы:
Шаг – формирование первого столбца
Шаг – формирование второго столбца. шаг – формирование третьего столбца. Решение системы, которая соответствует полученной расширенной матрице, очевидно Однородные системы Однородная СЛАУ
Однородная СЛАУ всегда совместна, она всегда имеет нулевое (тривиальное) решение:
Если матрица A однородной системы – квадратная, то однородная система имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда Если матрица A однородной системы не является квадратной, то выяснить, есть ли у нее ненулевые решения, можно методом Гаусса.
Определение Пусть однородная СЛАУ имеет k ненулевых решений
Задача 1.3.1 Имеет ли однородная СЛАУ
Решение Выпишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее по методу Гаусса.
Выпишем систему, которая соответствует полученной расширенной матрице.
Неизвестные Чтобы получить фундаментальную систему решений, обозначим свободные неизвестные:
где
или
где решения
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|