Частные производные функции нескольких переменных
Элементы теории функции нескольких переменных Примеры и определение функции нескольких переменных Существует большое количество величин, которые зависят от нескольких других. Например, падение напряжения на резисторе U зависит от силы тока I и сопротивления R:
Объем комнаты V зависит от длины l, ширины d и высоты h: Расстояние r от начала координат до точки A зависит от трех ее координат
Температура
Эти и еще множество других зависимостей можно объединить понятием функции нескольких переменных. Если каждому набору значений переменных
Для функций нескольких переменных могут использоваться и другие обозначения, например:
Областью определения функции нескольких переменных называется совокупность значений переменных, при которых функция имеет смысл. Пример. Найти и изобразить область определения функции
Так как на множестве действительных чисел логарифм можно найти только от положительных чисел, то должно выполняться условие:
Подстановкой значений переменных можно убедиться, что это часть плоскости, лежащая выше прямой Способы задания, графическое изображение Рассмотрим способы задания функции нескольких переменных. 1. Аналитический способ. а) Функция задана в явном виде формулой б) Функция задана в неявном виде соотношением
2) Табличный способ задания функции нескольких переменных. Практически этот способ удобен только для функции двух переменных:
3) Графическое изображение функции нескольких переменных. Функцию одной переменной можно изобразить графически линией. Функцию двух переменных можно изобразить поверхностью. Например, на рисунке представлено изображение поверхности, задаваемой уравнением
Уравнение сферы с центром в начале координат
Линией уровня функции двух переменных называется линия, на которой функция сохраняет постоянное значение. Например, линиями уровня функции
Поверхностью уровня функции трех переменных называется поверхность, на которой она сохраняет постоянное значение. Например для функции трех переменных Функция большего числа переменных также может принимать постоянные значения, но объект, соответствующий совокупности значений переменных, для которых функция принимает постоянное значение, представить графически нельзя. Тем не менее, по аналогии с функциями трех переменных, его называют поверхностью или гиперповерхностью уровня. Частные производные функции нескольких переменных Частным приращением
где Частной производной
Учитывая соответствующие обозначения, для функции двух переменных получим:
Частные производные функции нескольких переменных можно найти по правилам дифференцирования и таблице производных для функции одной переменной, т.к. при дифференцировании по одной переменной 1)
2) Дифференцирование сложной функции нескольких переменных рассмотрим на примере функции двух переменных. Пусть
Пример. Пусть Пример. Найти
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|