Частные производные функции нескольких переменных
Элементы теории функции нескольких переменных Примеры и определение функции нескольких переменных Существует большое количество величин, которые зависят от нескольких других. Например, падение напряжения на резисторе U зависит от силы тока I и сопротивления R: . Объем комнаты V зависит от длины l, ширины d и высоты h: . Расстояние r от начала координат до точки A зависит от трех ее координат . Температура в каждой точке нагретого тела зависит от четырех переменных - координат точки и времени : . Эти и еще множество других зависимостей можно объединить понятием функции нескольких переменных. Если каждому набору значений переменных соответствует вполне определенное значение величины y, то говорят, что y является функцией n переменных, и записывают . Для функций нескольких переменных могут использоваться и другие обозначения, например: . Областью определения функции нескольких переменных называется совокупность значений переменных, при которых функция имеет смысл. Пример. Найти и изобразить область определения функции . Так как на множестве действительных чисел логарифм можно найти только от положительных чисел, то должно выполняться условие: или . Подстановкой значений переменных можно убедиться, что это часть плоскости, лежащая выше прямой . Способы задания, графическое изображение Рассмотрим способы задания функции нескольких переменных. 1. Аналитический способ. а) Функция задана в явном виде формулой , позволяющей по значениям переменных вычислить значение функции, например, . б) Функция задана в неявном виде соотношением , связывающим значение функции и переменные, например, ; .
2) Табличный способ задания функции нескольких переменных. Практически этот способ удобен только для функции двух переменных:
3) Графическое изображение функции нескольких переменных. Функцию одной переменной можно изобразить графически линией. Функцию двух переменных можно изобразить поверхностью. Например, на рисунке представлено изображение поверхности, задаваемой уравнением . Поверхность, заданная уравнением такого вида, называется параболоидом. Уравнение сферы с центром в начале координат представляет собой неявную функцию двух переменных, которая может быть представлена двумя явными функциями: и . Линией уровня функции двух переменных называется линия, на которой функция сохраняет постоянное значение. Например, линиями уровня функции будут окружности различного радиуса . Поверхностью уровня функции трех переменных называется поверхность, на которой она сохраняет постоянное значение. Например для функции трех переменных поверхностями уровня будут плоскости, уравнения которых имеют вид . Функция большего числа переменных также может принимать постоянные значения, но объект, соответствующий совокупности значений переменных, для которых функция принимает постоянное значение, представить графически нельзя. Тем не менее, по аналогии с функциями трех переменных, его называют поверхностью или гиперповерхностью уровня. Частные производные функции нескольких переменных Частным приращением функции нескольких переменных по переменной называется разность: , где – приращение переменной . Частной производной функции по переменной называется предел отношения частного приращения к приращению , когда последнее стремится к 0 произвольным образом: . Учитывая соответствующие обозначения, для функции двух переменных получим:
; Частные производные функции нескольких переменных можно найти по правилам дифференцирования и таблице производных для функции одной переменной, т.к. при дифференцировании по одной переменной все остальные переменные имеют постоянное значение. Рассмотрим несколько примеров для функции двух переменных. 1) ; ; 2) . Дифференцирование сложной функции нескольких переменных рассмотрим на примере функции двух переменных. Пусть , а . Тогда . Пример. Пусть , а , тогда - сложная функция от . Производную можно найти аналогично производной сложной функции одной переменной: Пример. Найти , если .
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|