Группа одинаковых и равноудаленных импульсов
Примеры определения спектров непериодических сигналов Прямоугольный импульс Этот простейший сигнал определяется выражением
и его график показан на рисунке ниже Прямоугольный импульс Спектральная плотность прямоугольного импульса S (i ω) = Заметим, что здесь начало отсчета времени выбрано в середине прямоугольного импульса, чтобы эта функция времени была четной. При таком выборе начала отсчета времени спектральная плотность S (i ω) является действительной функцией, которую можно обозначить как S (ω). Произведение E τи, равное площади импульса, определяет значение S (0) при ω = 0, т.е. S (0) = E τи. Очевидно, что S (0) не зависит от выбора начала отсчета времени. Таким образом, выражение для спектральной плотности можно записать в виде S (ω) = где через На рисунке ниже представлены графики спектральной плотности прямоугольного импульса. Спектральная плотность прямоугольного импульса Модуль спектральной плотности прямоугольного импульса Аргумент спектральной плотности прямоугольного импульса При удлинении (растягивании) импульса расстояние между нулями функции S (ω) сокращается, что равносильно сужению спектра. Значение S (0) при этом возрастает. При укорочении (сжатии) импульса, наоборот, расстояние между нулями функции S (ω) увеличивается (расширение спектра), а значение S (0) уменьшается. В пределе при τи
Показанные выше графики | S (ω)|/ S (0) и φ(ω) можно рассматривать соответственно как АЧХ и ФЧХ спектра прямоугольного импульса. Каждая перемена знака S (ω) учитывается приращением фазы на π.
Импульс вида sinc(x) На рисунке ниже изображен импульс, определяемый выражением s (t) = sinc(ωm t) = Импульс вида sinc(ωm t) Спектральная плотность этого импульса S (ω) = Полученный интеграл не берется «в лоб» и отсутствует в известных математических справочниках. Поэтому мы воспользуемся свойством взаимозаменяемости ω и t в преобразованиях Фурье для четных функций времени. После замены ω на t и t на ω для прямоугольного импульса видно, что функции sinc(ωm t) будет соответствовать спектр прямоугольной формы. Останется лишь найти ширину этого спектра и его уровень. В предыдущем пункте мы нашли, что произведение длительности функции sinc(x) (по ее первым нулям) на ширину ее спектра равно 4π. Поскольку длительность функции sinc(x) равна 1/ f m, то ширина ее спектра будет равна 2ω m = 4π fm. Уровень спектра, равномерный в полосе - ω m ≤ ω ≤ ω m, проще всего определить по его значению в точке ω = 0, для которой значение S (0) равно площади импульса: S (0) = В математических справочниках приводится значение определенного интеграла Таким образом, S (0) = Спектр импульса вида sinc(ωm t) показан на рисунке ниже. Спектр импульса вида sinc(ωm t)
Группа одинаковых и равноудаленных импульсов Данный сигнал показан на рисунке ниже.
Спектральную плотность первого импульса в пачке обозначим через S 1(i ω). Тогда для второго импульса, сдвинутого относительно первого на время Т (в сторону запаздывания), спектральную плотность можно представить выражением S 2(i ω) = S 1(i ω)e- i ω T, для третьего импульса S 3(i ω) = S 1(i ω)e- i 2ω T и т.д.
Для группы из N импульсов в соответствии с принципом линейного суммирования спектров при сложении сигналов спектральная плотность S (i ω) = S 1(i ω)[1 + e- i ω T + e- i 2ω T + … + e- i ( N– 1)ω T ]. При частотах, отвечающих условию ω = k 2π /T, где k – целое число, каждое из слагаемых в квадратных скобках равно единице и, следовательно, S (ik 2π /T) = NS 1(ik 2π /T). Таким образом, при частотах ω = k 2π /T модуль спектральной плотности пачки в N раз больше модуля спектра одиночного импульса. Это объясняется тем, что спектральные составляющие различных импульсов с указанными выше частотами складываются с фазовыми сдвигами, кратными 2π. При частотах же ω =(1/ N)(2π /T), а также при некоторых других частотах, для которых сумма векторов e- ik ω T обращается в нуль, суммарная спектральная плотность обращается в нуль, суммарная спектральная плотность равна нулю. При промежуточных значениях частот модуль S (i ω), равный | S (iω)|, определяется как геометрическая сумма спектральных плотностей отдельных импульсов. В качестве иллюстрации на рисунке ниже изображен модуль спектра пачки из трех (а) и четырех (б) прямоугольных импульсов при интервале между соседними импульсами Модуль спектральной плотности пачки из трех (а) и четырех (б) импульсов Штриховыми линиями показана спектральная плотность одиночного импульса. Все примеры подтверждают важное свойство преобразования Фурье: укорочение (удлинение) сигнала приводит к расширению (сжатию) его спектра.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|