Аналитическая геометрия на плоскости. Прямая на плоскости
Вологодский государственный технический университет (Череповецкий филиал) Кафедра социально-гуманитарных и естественно-научных дисциплин МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие По подготовке к контрольной работе Для студентов очной и заочной формы обучения (по сокращенным программам) I часть Специальность 151001 (120100) – Технология машиностроения Череповец 2007 УДК
Математика: Учебно-методическое пособие по подготовке к контрольной работе для студентов очной и заочной формы обучения (по сокращенным программам) I часть. – Череповец: ВоГТУ, 2007. – 87 с.
Учебно-методическое пособие содержит краткую теорию по определенным разделам математики, пример решения варианта контрольной работы, задачи для контрольных заданий, список литературы.
Пособие предназначено для студентов очной и заочной формы обучения по сокращенным программам специальности 151001 (120100) – Технология машиностроения.
Утверждено редакционно-издательским советом ВоГТУ
Составитель Русина Л.Г., кандидат технических наук, доцент кафедры СГиЕНД Рецензент Толстиков А.В., кандидат физико-математических наук, профессор кафедры алгебры и геометрии ЧГУ. Содержание
Глава I. Элементы линейной алгебры.. 4 § 1. Матрицы и действия с ними. 4 § 2. Определители и их вычисление. 5 § 3. Решение систем линейных уравнений. 6 Глава II. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. 8 § 1. Векторы. Основные понятия. 8 § 2. Скалярное произведение векторов. 9 § 3. Векторное произведение векторов. 10 § 4. Смешанное произведение векторов. 11 § 5. Аналитическая геометрия на плоскости. Прямая на плоскости. 11
§ 6. Аналитическая геометрия в пространстве. 13 п.1 Плоскость. 13 п.2 Прямая в пространстве. 14 Глава III. Элементы математического анализа. 15 § 1. Кванторы.. 15 § 2. Определение функций. 15 § 3. Предел функции § 4. Производная функции одной переменной. 20 § 5. План полного исследования функции. 22 § 6. Частные производные функции нескольких переменных.Производная сложной функции нескольких переменных. 24 § 7. Наибольшее и наименьшее значения функции. 26 § 8. Неопределенный интеграл. 27 § 9. Определенный интеграл. 31 § 10. Приложения определенных интегралов. 32 Глава IV. Пример решения варианта контрольной работы.. 34 Глава V. Задачи для контрольных заданий. 54
Одной из важнейших задач учебного процесса высшего учебного заведения является развитие у обучаемых навыков самостоятельной работы по нахождению, изучению и по применению научно-технической информации. Настоящее пособие предназначено для студентов инженерных специальностей очной и заочной формы обучения. Оно составлено в соответствии с программой по математике для факультета «Технология машиностроения». Пособие служит руководством для студентов при самостоятельном выполнении контрольных заданий, запланированных в I учебном семестре. Пособие начинается с краткого теоретического материала по разделам математики: «Элементы линейной алгебры», «Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии», «Элементы математического анализа». Затем приводится конкретный пример решения варианта контрольной работы и предлагаются задачи для контрольных заданий. Глава I. Элементы линейной алгебры § 1. Матрицы и действия с ними
Определение. Матрицей размерности
где
Если
Определение. Матрицу n -го порядка, в которой
Например, единичная матрица 4-го порядка: Определение. Матрицу Например, если 1. Любую матрицу можно умножить на любое действительное число 2. Матрицы одной и той же размерности можно складывать (вычитать): 3. Матрицу А можно умножать на матрицу В только, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В:
причем элементы матрицы С находятся по правилу:
то есть элементы i – ой строки матрицы А умножаются на соответствующие элементы j –го столбца матрицы В и полученные произведения складываются.
§ 2. Определители и их вычисление.
Каждой квадратной матрице по определенному правилу ставится в соответствие число, называемое определителем. 1. Правило вычисления определителя 2-го порядка:
2. Правило вычисления определителя 3-го порядка – правило треугольников: Правило разложения определителя по элементам 1-й строки:
Таким образом, Аналогично определитель можно раскладывать по элементам любой строки или столбца. 3. Правило вычисления определителя n –го порядка. Определители n –го порядка вычисляются также разложением по элементам любой строки или столбца. Таким образом,
или
§ 3. Решение систем линейных уравнений
1. Формулы Крамера для решения систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными: где
2. Метод Гаусса. Сущность метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных, данная система преобразуется в систему ей эквивалентную. Последовательное исключение неизвестных осуществляется с помощью элементарных преобразований системы: а) перестановок двух любых уравнений; б) умножений обеих частей одного из уравнений на любое, отличное от нуля число; в) прибавление к обеим частям одного из уравнений соответствующих частей другого, умноженных на любое число.
Заметим, что удобно работать не с самими уравнениями системы, а с ее расширенной матрицей. Пример. Переставим местами два первых уравнения Составим расширенную матрицу системы Первую строку умножим на «–2» и сложим со второй строкой. Первую строку умножим на «–1» и сложим с третьей строкой. Получаем матрицу: Вторую строку умножим на «–1» и сложим с третьей: Этой матрице соответствует система уравнений:
Глава II. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии § 1. Векторы. Основные понятия
Вектор – направленный отрезок (рис.1).
Рис. 1 Вектор векторы осей Пусть
Расстояние между точками
Координаты точки С, являющейся серединой отрезка АВ:
Длина вектора
§ 2. Скалярное произведение векторов
Определение. Если
Из формулы (5) имеем угол между векторами
Проекция вектора Физический смысл скалярного произведения Пусть материальная точка Допустим, что на точку Из физики известно, что работа Свойства: 1) 2) 3) если Замечание: а) б)
§ 3. Векторное произведение векторов
Определение. 1) 2) 3)
Свойства: 1) 2) 3) 4)
Если известны координаты векторов, то
Площадь параллелограмма, построенного на векторах
§ 4. Смешанное произведение векторов Смешанным произведением векторов Если известны координаты векторов, то Объем пирамиды равен
Аналитическая геометрия на плоскости. Прямая на плоскости
Общее уравнение прямой
Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
где
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку
Угол Если
то Если
то Замечание. а) б)
Координаты
Расстояние
§ 6. Аналитическая геометрия в пространстве
п.1 Плоскость. Общее уравнение плоскости
Уравнение плоскости в отрезках:
где Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
Угол Если
Замечание. а) б)
Расстояние
п.2 Прямая в пространстве. Уравнение прямой
Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки
Угол между прямыми в пространстве Если известны направляющие вектора для прямых
Точка пересечения прямой
Из последнего уравнения (36) находим значения параметра Замечание. а) б) Пусть известны нормаль а) б) в)
Глава III. Элементы математического анализа § 1. Кванторы
§ 2. Определение функций Определение. Если каждому числу Множество Определение. Если каждой паре Область При нахождении области определения функции двух переменных следует учитывать свойства элементарных функций.
§ 3. Предел функции
Рассмотрим
Определение (по Коши): Число
Таблица эквивалентностей при
К неопределенностям относятся выражения вида 1. а)
б) Можно также пользоваться таблицей эквивалентностей. в) 2. 3. Неопределенности вида а) б) 4. Неопределенность вида
Определение. Функцию 1) 2) существует 3)
1. Если в точке 2. Если в точке 3. Если хотя бы один из односторонних пределов равен Пример: В точке
Следовательно, | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|