Задачи для самостоятельного решения
ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Краткая теория и методические указания Твердым телом (ТТ) называется система точек, жестко связанных между собой. Твердым можно считать любое тело, которое при решении задач нецелесообразно моделировать точкой, но форму и объем такого тела можно считать неизменным на протяжении всего времени движения. Положение ТТ в пространстве полностью определено, если известны положение какой-либо жестко связанной с ним точки и три угла поворота тела вокруг трех взаимно перпендикулярных осей, проходящих через эту точку. Таким образом, положение ТТ определяется шестью независимыми координатами, т. е. имеется 6 степеней свободы (3 поступательные и 3 вращательные). Обычно движение ТТ рассматривается как поступательное движение центра масс ТТ и вращательное движение вокруг этой точки О. Введем радиус-вектор
Из него видно, что центр масс ТТ движется как материальная точка с массой, равной массе Допустим, что, решив уравнение (4.1), нашли
где Пусть ТТ вращается вокруг оси
Проекция момента импульса Поскольку Уравнения Пусть внешние силы отсутствуют, так что Твердое тело в большинстве случаев можно рассматривать как вещество, сплошь заполняющее некоторый объем пространства. Тогда выражение для момента инерции относительно некоторой оси удобно находить, разбивая ТТ на маленькие участки объема, которые можно принять за точки, каждая из которых имеет массу Основные законы и формулы Уравнение движения твердого тела в произвольной инерциальной системе отсчета имеют вид
где При вращении твердого тела с угловой скоростью Момент силы относительно оси вращения
где В случае постоянного момента инерции
где Момент инерции твердого тела относительно некоторой оси определяется выражением где Момент импульса материальной точки
где Момент инерции материальной точки
Приведем момент инерции некоторых тел правильной геометрической формы. Момент инерции сплошного однородного цилиндра (диска) относительно оси цилиндра
где Момент инерции полого цилиндра (обруча) относительно оси
где Момент инерции однородного шара радиусом
Момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через его середину перпендикулярно к его длине
Если система состоит из нескольких тел, ее момент инерции равен сумме моментов инерции этих тел. Момент инерции
где Кинетическая энергия вращения ТТ Контрольные вопросы 1. Чем определяется число степеней свободы твердого тела? 2. Чему равно число степеней свободы твердого тела в различных случаях движения? 3. Как доказывается возможность представления скорости плоского движения твердого тела в виде суммы поступательной и вращательной скоростей?
4. Что такое мгновенная ось вращения? 5. Из каких скоростей слагается скорость точек твердого тела при произвольном движении? 6. Если тело движется поступательно, то где находится мгновенная ось вращения? 7. Как связана возможность устойчивого вращения твердого тела с расположением по отношению к этому телу главных осей инерции? 8. Почему для плоского движения уравнение движения и уравнение моментов целесообразно записывать относительно точки, через которую проходит центральная главная ось, перпендикулярная плоскости движения? 9. Чему равно ускорение центра масс тела, имеющего массу m и находящегося под действием сил 10. От каких величин зависит угловое ускорение тела? 11. Могут ли момент импульса и угловая скорость вращающегося тела быть неколлинеарными? 12. Относительно какой оси момент инерции однородного шара минимален и почему? 13. Почему знание массы тела является недостаточным для описания его инерционных свойств? 14. Дайте определение момента инерции. 15. Докажите теорему Гюйгенса–Штейнера. 16. Рассчитайте момент инерции однородного шара относительно оси, проходящей через его центр. 17. Рассчитайте момент инерции прямоугольного параллелепипеда относительно осей, проходящих через центр масс тела перпендикулярно его граням. 18. Проведите расчет момента инерции маятника Максвелла. 19. В каком случае кинетическая энергия вращающегося тела определяется формулой 20. Почему, когда вращающийся на льду на коньках фигурист хочет остановиться, то разводит в стороны руки? 21. Как, располагая определенным количеством металла, создать маховик, который обладал бы максимальным моментом инерции? 22. Как поведет себя кабина вертолета, находящегося в полете, если по каким-либо причинам хвостовой винт перестанет работать? 23. Почему очень трудно удержаться на стоящем двухколесном велосипеде и совсем нетрудно сделать это, когда велосипед движется? 24. Что такое оси свободного вращения? Какие из них устойчивы? 25. В чем состоит нутация? От чего зависит скорость нутации? Почему однородный шар не может иметь нутационного движения?
26. Что такое прецессия гироскопа? Чем прецессия отличается от нутации? 27. При каких условиях можно считать, что вектор момента импульса гироскопа, мгновенная угловая скорость вращения и ось симметрии совпадают? 28. От чего зависит скорость прецессии? 29. Какие применения гироскопов известны? 30. Объяснить возникновение гироскопических сил. Какова их природа? 31. Чем уравновешивается момент внешних сил при прецессии гироскопа? 32. Что происходит с угловой скоростью прецессии гироскопа при уменьшении скорости вращения гироскопа вокруг его оси? Примеры решения задач Задача 1 Три шара с массами 2,5 кг, 4,0 кг и 2,0 кг укреплены в указанном порядке на невесомом стержне. Расстояние от левого конца стержня до первого шара равно 0,1 м, между центрами первого и второго шаров 0,2 м, а между центрами второго и третьего шаров 0,25 м. На каком расстоянии от левого конца стержня находится центр масс этой системы? Решение.
Поскольку шары относительно оси стержня расположены симметрично, то достаточно ввести одну ось OX, совпадающую со стержнем, как показано на рис. 4.1. Координата центра масс системы шаров определяется выражением
Для рассматриваемого случая получаем
Подставляем исходные данные из условия задания
Ответ: Задача 2 Платформа в виде диска радиусом Решение. Частота вращения платформы изменяется в результате действия, производимого человеком (его переходом на край платформы). В системе человек–платформа сила взаимодействия является внутренними, поэтому они не изменяют ни импульса, ни момента импульса системы. Поскольку все тела системы совершают вращательное движение вокруг неподвижной оси, то следует рассматривать только момент импульса системы. Возникающие при переходе человека на край платформы внешние силы (силы реакции оси, силы тяжести и силы нормальной реакции) момента импульса системы не изменяют, поскольку моменты всех этих сил относительно вертикальной оси вращения равны нулю. Следовательно, момент импульса этой системы остается постоянным: По закону сохранения момента импульса
где
Линейная скорость человека, стоящего на краю платформы, связана с угловой скоростью соотношением
Определив из уравнения (4.3) в формулу (4.4), будем иметь
Момент инерции платформы определяем как для диска. Следовательно, Момент инерции человека рассчитываем как для материальной точки. Поэтому Угловая скорость платформы до перехода человека из ее центра на край платформы Заменив в формуле (4.5) величины
Ответ:
Задача 3 Определить закон движения центра масс диска, имеющего радиус Решение. Рис. 4.2 Второй закон Ньютона в проекциях на оси
где где Так как
Здесь учтено условие качения диска без скольжения
Проинтегрировав последнее равенство дважды, получим Если в начальный момент диск находился в покое, то
Ответ: Задача 4 Полый цилиндр с внутренним радиусом Решение. Для того чтобы найти момент инерции тела относительно произвольной оси – в нашем случае, оси
где Рис. 4.3 Для решения разбиваем цилиндр на бесконечно тонкие диски массой
Для плоского тела
Пусть один из дисков находится на расстоянии
Учитывая, что
Интегрируя по всей длине цилиндра, находим его момент инерции относительно оси z:
Из выражения (4.10) видно, что момент инерции цилиндра относительно оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно геометрической оси, можно рассчитать как сумму соответствующих моментов инерции диска относительно диаметра и тонкого стержня относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно стержню. Этим приемом можно воспользоваться при расчете моментов инерции сплошных и полых цилиндров относительно осей И, наконец, подставляя (4.10) в (4.6), находим момент инерции цилиндра относительно оси Ответ:
Задача 5 Найти момент инерции однородного тела массой Решение.
Чтобы вычислить интеграл (4.11), нужно найти уравнение параболоида. Из рис. 4.4 видно, что
Подставляя выражение (4.12) в формулу (4.11), получаем
Для исключения
Отсюда Ответ:
Задача 6 Материальная точка массой Решение. Рис. 4.5 Материальная точка испытывает упругое соударение с концом стержня. После этого она продолжает движение вдоль прямой, на которой лежал ее вектор скорости, однако скорость будет изменена. В частном случае она окажется равной нулю. Стержень после соударения будет принимать участие в двух типах движения. С одной стороны, центр масс стержня будет перемещаться поступательно в том же направлении, что и материальная точка до соударения. С другой стороны, стержень будет вращаться вокруг центра масс (рис. 4.5). Собственный момент импульса стержня будет обусловлен его движением в системе отсчета, связанной с его центром масс В системе будет выполняться закон сохранения импульса:
где Так же будет выполняться закон сохранения энергии:
где Закон сохранения момента импульса запишем в системе отсчета, связанной с центром масс стержня:
Решая совместно систему уравнений (4.14)–(4.16) и учитывая, что собственный момент импульса стержня равен из уравнения (4.16):
из уравнения (4.14):
Подставим полученные выражения (4.17) и (4.18) в (4.15):
Из уравнения (4.19) выражаем
С учетом (4.20) находим собственный момент импульса стержня:
Ответ:
Задача 7 Однородный стержень круглого сечения радиусом а) угловую скорость стержня, скорость его центра инерции и скорость шарика после удара; б) зависимость доли переданной энергии от отношения масс Решение. Выбираем систему координат так, чтобы шарик и стержень лежали в плоскости XOY. Так как они имеют одинаковые радиусы, то после столкновения шарик не вылетит из плоскости XOY. Так как столкновение происходит на расстоянии
где
Спроектируем уравнение (4.21) на ось OX, а уравнение (4.23) – на ось OZ:
Так как Следовательно, уравнение (4.25) можно переписать в виде С учетом формулы (4.24) и того, что
Из уравнения (4.26) и (4.28) получаем
Подставляя выражение для
Исключая из уравнения (4.31)
Поскольку интересует ненулевое решение, то
Из уравнений (4.28) и (4.29) находим:
Из выражения (4.34) следует, что при Энергия, передаваемая шариком стержню,
Подставляя в уравнение (4.35) выражения (4.24), (4.32), (4.33), получаем
Используя стандартные методы исследования функции, находим, что максимальная передача энергии происходит при
Задача 8 Стержень массой
сит от скорости. Стержень после удара остановился. Тело скользит по столу без вращения. Решение. Применяя закон сохранения энергии к стержню до удара и закон сохранения момента импульса к системе стержень–тело во время удара, получим:
где
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|