Постановка задачи задания №1

 

Летательный аппарат (ЛА) состоит из

- m двигателей с вероятностей отказа P ₁, P ₂,… P_m;

- n дублирующих систем энергосбережения с вероятностей отказа

P _1Э, P _2Э, … P_{n Э};

N c вероятностей отказа Р_с каждая.

Катастрофа наступает, если выходит из строя любая (r+1) и более двигателей, либо если все системы энергоснабжения, либо если хотя бы одна из N вспомогательных подсистем.

В случаи отказа любого r из m двигателей катастрофа наступает с вероятностью Р _D.

Определить вероятность катастрофы ЛА и сравнить ее с вероятностью катастрофы ЛА без дублирующих систем (один двигатель с вероятностью катастрофы P _1, одна система энергосбережения с вероятностей отказа P _1Э и N вспомогательных подсистем с вероятностей отказа Р_с каждая), предполагая, что все упомянутые выше системы и подсистемы ЛА функционируют независимо друг от друга.

В обоих случаях сравнить вероятности катастроф, связанных с отказом

двигателей;

систем энергосбережения;

вспомогательных подсистем.

Дано

m = 5; Р₁ =6∙10^-4,     Р₂ =5∙10^-4, Р₃=7∙10^-4, Р₄=2∙10 ^-4, Р₅=4∙10 ^-4

r=4 Р_D=0.1;

n=4 Р_1Э=3∙10^-4, Р_2Э=4∙10^-4, Р_3Э=10 ^-4, Р_4Э=6∙10 ^-4;

N=3∙10³ P_c=6∙10^-9.

Решение.

Математическая часть

Введем обозначение событий:

- D₁, D₂, D ₃, D ₄ - отказ 1-го, 2-го, 3-го и 4-го двигателей соответственно;

- В₁, В₂, В₃, - отказ 1-й, 2-й, и 3-й системы энергоснабжения соответственно;

· С_i - отказ i -ой вспомогательной подсистемы, i = 1, 2,…, N;

· Е_к - катастрофа;

- E_kd, E _кэ, E _{к c} - катастрофы, связанные с отказом двигателей, систем энергоснабжения и вспомогательных подсистем соответственно.

А) Рассмотрим случай ЛА с дублирующими системами:

В этом случае:

Е _K =Е _KD +Е _{K Э} + E _КС.                             (1.1)

 

Перейдем к противоположным событиям, будем иметь:

 

= (1.2)

 

Из равенства (1.2) в силу соотношения двойственности получим:

 

Е _K = ∙ ∙ (1.3)

 

Тогда вероятность катастрофы будет определяться по формуле:

 

P(E_K)=1 - P( )=1-P( ∙ ∙ ) ( 1.4)

Из равенства (1.4) в силу независимости событий Е _KD, Е _{K Э},            E _КС получим:

 

P(E_K)=1- P ∙ P( )∙ P(E_KC)=1 - (1-P(E_KD))∙(1-P(E_KЭ))∙P(E_KC)). (1.5)

 

Рассмотрим структуру событий Е_KD, Е_KЭ, E _КС и найдем их вероятности, то есть вероятности катастроф, связанных с отказом

·двигателей Е_{К D}

·систем энергоснабжения Е _{K Э}

·вспомогательных подсистем Е _KC

1) Рассмотрим структуру событий Е _KD и найдем P (E_KD) = P_KD

Так как событие Е _KD - это событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за отказа двигателей, а по условию задачи катастрофа, связанная с отказом двигателей наступает, если выходят из строя любых (r +1) и более двигателей из m двигателей, а в случае отказа любого г из m двигателей катастрофа наступает с вероятностью Р _D. Значит:

 

Е _KD = Е _KDr + Е _{KD ≥ ( r +1)}, где

 

Так как в нашем случае число двигателей m = 5, r = 4; то r + 1 = 4 + 1 = 5.

Значит:

 

Е _KD = Е _{KD 4} + Е _{KD ≥5} где:

Е_{К D 4} - событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за отказа любого r = 4 из m = 5 двигателей;

Е_KD>5 - событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за выходы из строя любых (r + 1) = 5 и более двигателей, а в нашем Е_KD>5 = Е_KD5 - это событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за отказа пяти двигателей. Из этого следует, что:

 

Е _{KD ≥5} = Е _{KD 5} = D ₁ ∙ D ₂ ∙ D ₃ ∙ D ₄ ∙ D ₅                  (1.6)

 

В свою очередь катастрофа, связанная с отказом ровно r = 4 двигателей (при работающих остальных), не обязательно влечет за собой катастрофу (ас вероятностью P_D), значит

E_{KD 4} = E_K ∙ E_{D 4}

 

Тогда:

E_KD = E_{KD 4} + E_{KD ≥5} = E_K ∙ E_{D 4} + E_{KD ≥5}

 

Так как события E_{KD 4}, и E_{KD ≥5} несовместны, то

 

P(E_KD)= P (E_{KD 4} + E_{KD ≥5})= P (E_{KD 4})+ P (E_{KD ≥5})= P (E_K ∙ E_{D 4})+ P (E_{KD ≥5})

 

а для нашего случая и учитывая (1.6), получим:

P (E_KD)= P (E_{KD 4} + E_{KD ≥5})= P (E_{KD 4})+ P (E_{KD ≥5})= P (E_K ∙ E_{D 4})+ P (E_{KD ≥5})= P (E_K ∙ E_{D 4})+ P (E_{KD 5}) = P (E_K ∙ E_{D 4})+ P (D ₁ ∙ D ₂ ∙ D ₃ ∙ D ₄ ∙ D ₅)

 

С другой стороны, катастрофа, связанная с отказом ровно r = 4 двигателей при работающих остальных из пяти имеющихся у ЛА по условию задачи, есть следующее событие:

E_{D 4} = D ₁ ∙ D ₂ ∙ D ₃ ∙ D ₄   + D ₁ ∙ D ₂ ∙ D ₃ ∙ ∙ D ₅ + D ₁ ∙ D ₂ ∙ ∙ D ₄ ∙ D ₅ +

+ D ₁ ∙ ∙ D ₃ ∙ D ₄ ∙ D ₅ + ∙ D ₂ ∙ D ₃ ∙ D ₄ ∙ D ₅                                                 (1.8)

то есть не работают 5-й, 4-й, 3-й, 2-й, 1-й двигатели из пяти, имеющихся у ЛА.

Замечание.

Тот факт, что события E_{KD 4} и E_{KD ≥5} несовместны, можно доказать следующим образом:

E_{KD 4} ∙ E_{KD ≥5} =< согласно (1.7) >= E_K ∙ E_{D 4} ∙ E_{KD ≥5} =< согласно (1.6) >= E_K ∙ E_{D 4} ∙ Е _{KD 5} = =< согласно (1.6) и (1.8) = E_K (D ₁ ∙ D ₂ ∙ D ₃ ∙ D ₄   + D ₁ ∙ D ₂ ∙ D ₃ ∙ ∙ D ₅ + D ₁ ∙ D ₂ ∙ ∙ D ₄ ∙ D ₅ + D ₁ ∙ ∙ D ₃ ∙ D ₄ ∙ D ₅ + ∙ D ₂ ∙ D ₃ ∙ D ₄ ∙ D ₅) ∙ D ₁ ∙ D ₂ ∙ D ₃ ∙ D ₄ ∙ D ₅ = E_K ((D ₁ ∙ D ₂ ∙ D ₃ ∙ ∙ D ₅ D ₁ ∙ D ₂ ∙ D ₃ ∙ D ₄ ∙ D ₅)+(D ₁ ∙ D ₂ ∙ ∙ D ₄ ∙ D ₅ ∙ D ₁ ∙ D ₂ ∙ D ₃ ∙ D ₄ ∙ D ₅)+(D ₁ ∙ ∙ D ₃ ∙ D ₄ ∙ D ₅ ∙ D ₁ ∙ D ₂ ∙ D ₃ ∙ D ₄ ∙ D ₅)+( ∙ D ₂ ∙ D ₃ ∙ D ₄ ∙ D ₅ ∙ D ₁ ∙ D ₂ ∙ D ₃ ∙ D ₄ ∙ D ₅)+(D ₁ ∙ D ₂ ∙ D ₃ ∙ D ₄ ∙ ∙ D ₁ ∙ D ₂ ∙ D ₃ ∙ D ₄ ∙ )=

= E_K ((D ₁ ∙ D ₁)∙(D ₂ ∙ D ₂)∙(D ₃ ∙ D ₃)∙(D ₄ ∙ D ₄) ∙(D ₅ ∙ ) + (D ₁ ∙ D ₁)∙(D ₂ ∙ D ₂)∙(D ₃ ∙ D ₃)∙(D ₄ ∙ )∙(D ₅ ∙ D ₅)+(D ₁ ∙ D ₁)∙(D ₂ ∙ D ₂)∙(D ₃ ∙ )∙(D ₄ ∙ D ₄) ∙(D ₅ ∙ D ₅) +(D ₁ ∙ D ₁)∙(D ₂ ∙ )∙(D ₃ ∙ D ₃)∙(D ₄ ∙ D ₄) ∙(D ₅ ∙ D ₅)+(D ₁ ∙ )∙(D ₂ ∙ D ₂)∙(D ₃ ∙ D ₃)∙(D ₄ ∙ D ₄) ∙(D ₅ ∙ D ₅)

 

Используя тот факт, что A∙A = A и A∙ =Ø, получим

E_{KD 4} ∙ E_{KD ≥5} = E_K ((D ₁ ∙ D ₂ ∙ D ₃ ∙ D ₄ ∙ Ø ) + (D ₁ ∙ D ₂ ∙ D ₃ ∙ Ø ∙ D ₅ ) + (D ₁ ∙ D ₂ ∙ Ø ∙ D ₄ ∙ D ₅) + (D ₁ ∙ Ø ∙ D ₃ ∙ D ₄ ∙ D ₅) + ( Ø ∙ D ₂ ∙ D ₃ ∙ D ₄ ∙ D ₅)) = Ø

 

А как известно, что, если произведение двух событий равно невозможному событию (пустому множеству), то такие события являются несовместными.

По определению условной вероятности имеем:

P(E_KD)=P(E_K / E_D4)∙P(E_D4)+P( )

а в силу независимости событий D_i, i= , далее имеем:

P (E_K / E_{D 4}) ∙ P (E_{D 4})+ P ( )

 

Используя (1.7) и несовместимость его (E_{D 4}) слагаемых

P (E_K / E_{D 4})∙(P (D ₁ ∙ D ₂ ∙ D ₃ ∙ D ₄ ) + P (D ₁ ∙ D ₂ ∙ D ₃ ∙ ∙ D ₅₎ + P (D ₁ ∙ D ₂ ∙ ∙ D ₄ ∙ D ₅) + P (D ₁ ∙ ∙ D ₃ ∙ D ₄ ∙ D ₅) + P( ∙ D ₂ ∙ D ₃ ∙ D ₄ ∙ D ₅))+ )

 

В силу всех независимых событий D_i , i= и потому, что

P ( )=1- P (D_i), получим далее:

P (E_K / E_{D 4})∙ [(P ( D₁ )∙ P ( D₂ )∙ P ( D₃ )∙(P ( D₄ ) ∙(1- P ( D₅ ))+ (P ( D₁ )∙ P ( D₂ )∙ P ( D₃ )∙(1- P ( D₄ )) ∙ P ( D₅ )+ P ( D₁ )∙ P ( D₂ )∙(1- P ( D₃ ))∙ P ( D₄ ) ∙ P ( D₅ ) + P ( D₁ )∙(1- P ( D₂ ))∙ P ( D₃ )∙ P ( D₄ ) ∙ P ( D₅ ) +(1- P ( D₁ )∙ P ( D₂ )∙ P ( D₃ )∙ P ( D₄ ) ∙ P ( D₅ )]+ )

 

Так как P(D_i)=P_i, i= и P (E_K / E_{D 4})= P_D, имеем  

P (E_KD)= P_D ∙[ P ₁ ∙ P ₂ ∙ P ₃ ∙ P ₄ ∙(1- P ₅)+ P ₁ ∙ P ₂ ∙ P ₃ ∙(1 - P ₄)∙ P ₅ + P ₁ ∙ P ₂ ∙(1 - P ₃)∙ P ₄ ∙ P ₅ + P ₁ ∙(1 - P ₂)∙ P ₃ ∙ P ₄ ∙ P ₅ +(1 - P ₁)∙ P ₂ ∙ P ₃ ∙ P ₄ ∙ P ₅ ]+ P ₁ ∙ P ₂ ∙ P ₃ ∙ P ₄ ∙ P ₅ = P_D ∙[ P ₁ ∙ P ₂ ∙ P ₃ ∙ P ₄ + P ₁ ∙ P ₂ ∙ P ₃ ∙ P ₅ + P ₁ ∙ P ₂ ∙ P ₄ ∙ P ₅ + P ₁ ∙ P ₃ ∙ P ₄ ∙ P ₅ + P ₂ ∙ P ₃ ∙ P ₄ ∙ P ₅ ]∙(1-5 P_D)∙ P ₁ ∙ P ₂ ∙ P ₃ ∙ P ₄ ∙ P ₅ ≡ P_KD;

 

Если выполняется условие

 

P «P_D для всех i=     (1.9)

 

и учитывая, то что значение вероятности случайного события есть величина, меньшая единицы, то

 

P₁∙ P₂∙ P₃ ∙ P₄∙ P₅→0

 

А значит тоже

 

(1-5P_D)∙ P₁∙ P₂∙ P₃ ∙ P₄∙ P₅→0

 

И тогда имеем

 

P(E_KD)≡P_KD≈ P_D ∙(P ₁ ∙ P ₂ ∙ P ₃ ∙ P ₄ + P ₁ ∙ P ₂ ∙ P ₃ ∙ P ₅ + P ₁ ∙ P ₂ ∙ P ₄ ∙ P ₅ + P ₁ ∙ P ₃ ∙ P ₄ ∙ P ₅ + P ₂ ∙ P ₃ ∙ P ₄ ∙ P ₅) (1.10)

 

Подставив значения, данные из условия задания, получим

P (E_KD)≡ P_KD ≈ P_D ∙(P ₁ ∙ P ₂ ∙ P ₃ ∙ P ₄ + P ₁ ∙ P ₂ ∙ P ₃ ∙ P ₅ + P ₁ ∙ P ₂ ∙ P ₄ ∙ P ₅ + P ₁ ∙ P ₃ ∙ P ₄ ∙ P ₅ + P ₂ ∙ P ₃ ∙ P ₄ ∙ P ₅)=0.1∙(6∙10^-4∙5∙10^-4∙7∙10^-4∙2∙10^-4+6∙10^-4∙5∙10^-4∙7∙10^-4∙4∙10^-4+6∙10^-4∙5∙10^-4∙2∙10^-4∙4∙10^-4+6∙10^-4∙7∙10^-4∙2∙10^-4∙4∙10^-4+5∙10^-4∙7∙10^-4∙2∙10^-4∙4∙10^-4)=

=0.1∙10^-16∙(420+840+240+336+280)=21.16∙10^-16 (1.10)

 

) Рассмотрим структуру событий Е_кэ и найдем P(E_КЭ)=P_КЭ

E_КЭ≡ B₁∙ B₂∙ B₃∙ B₄ - катастрофа, связанная с отказом всех трех систем энергоснабжения (п = 4 по условию задачи).

В силу независимости всех событий B_i, i= имеем

P (E _КЭ) ≡ P (B ₁ ∙ B ₂ ∙ B ₃ ∙ B₄ )= P (B ₁) ∙ P (B ₂) ∙ P (B ₃) ∙ P (B ₄) = P _1э ∙ P _2э ∙ P _3э ∙ P _4э (1.12)

 

Подставив значения, данные из условия задания, получим

P (E _КЭ)≡ P (B ₁ ∙ B ₂ ∙ B ₃ ∙ B ₄)= P (B ₁) ∙ P (B ₂) ∙ P (B ₃) ∙ P (B ₄)= P _1э ∙ P _2э ∙ P _3э ∙ P _4э =3∙10^-4∙4∙10^-4∙10^-4∙6∙10^-4=120∙10^-16                                 (1.13)

 

) Рассмотрим структуру события е_кс и найдем P (е_кс) = P _кс.

Событие Е_кс наступает, если отказывает хотя бы одна из вспомогательной подсистемы, значит

е_кс≡ C ₁ + C ₂ + … + C_N =

 

В силу закона двойственности

е_кс≡ = ∙ ∙…∙ =

 

в силу независимости событий , i= получим

P ( ) ≡ P ( = P ( ) ∙ P ( )∙…∙ P ( )= = 1- P (C_i))

 

Так как P (C_i)= P_{c ,} i= получим

P ( )= = 1- P _с)=(1- P_c) ^N

 

тогда

P (е_кс)=(1- P ( )=1 - (1- P_c) ^N ≡ P_KC

Если выполняется NP_C<<1=>

P ( )=(1- P_c) ^N =1- NP_C + P_C ² -… (-1) ^N P_c^N ≈ 1- NP_C (1.14)

 

Подставив значения, данные из условия    задания, получим

P (е_кс) 1-1+ NP_C = NP_C =3∙10³∙6∙10^-9=18∙10^-6 (1.15)

Расчетная часть

 

Переходим к числовым расчетам. Вычислим вероятность катастрофы по выведенной нами формуле (1.5). Так как в нашем случае выполняется условие (1.9), то

 

P (E _К)=1 - (1 - P (E_KD))∙(1- P (е_кс))∙ P ( ))=1- = =1 - (1 - P_D ∙(P ₁ ∙ P ₂ ∙ P ₃ ∙ P ₄ + P ₁ ∙ P ₂ ∙ P ₃ ∙ P ₅ + P ₁ ∙ P ₂ ∙ P ₄ ∙ P ₅ + P ₁ ∙ P ₃ ∙ P ₄ ∙ P ₅ + P ₂ ∙ P ₃ ∙ P ₄ ∙ P ₅)+ (1-5 ) P ₁ P ₂ P ₃ P ₄ P ₅) ∙(1- P _1Э ∙ P _2Э ∙ P _3Э P _4Э)∙(1- P_c) ^N

 

Если выполняется условие NP_C<<1 и P_KD<<1 и P_КЭ<<1, то будем далее иметь

P_KD + P _КЭ + NP_C =21.16∙10^-16+120∙10^-16+18∙10^-6 ≈18∙10^-6

 

Так как 21.16∙10^-16≤120∙10^-16≤18∙10^-6, видно, что P _КЭ ≤ P_KD ≤ P кс из этого следует, что вероятность катастрофы, связанной с отказом вспомогательных подсистем, является определяющей.

В) Теперь рассмотрим случай ЛА без дублирующих систем:

P ’_КЭ= P ’_1Э; ≤ P ’ _KD = P ₁ =>

P ’ (E_K)= P ₁ + P _1Э + NP_C =6∙10^-4+3∙10^-4+18∙10^-6=918∙10^-6

P ’ _{K Э} < P ’_{К D} < P _КС, а из этого следует, что вероятность катастрофы, связанной с отказом двигателя и систем энергоснабжения, является определяющей.

И, наконец, сравним вероятности P ’ (E_K) и P ’ (E_K):

 

= =51

Вывод

На основании вышеизложенного можно заключить, что наиболее вероятной является катастрофа, связанной с отказом одной из вспомогательных подсистем, а отсутствие дублирующих систем увеличивает вероятность катастрофы в 51 раз, при этом определяющим фактором становится отказ двигателя или системы энергоснабжения.

 

⇐ Предыдущая12

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: