 |
Построение эпюр поперечных сил
|
|
|
|
Внутренние силовые факторы. Метод сечений
Краткие теоретические сведения
Внутренние силы, возникающие от внешних нагрузок, приложенных к телу, следует рассматривать как дополнительные силы взаимодействия между частицами тела, появляющиеся вследствие изменения расстояний между ними, то есть вследствие деформации тела. Для определения внутренних сил применяется метод сечений.
Рис. 2.1
| Рассечем мысленно деформированное тело на две части: левую и правую, тем самым мысленно отбрасываем все внутренние связи, соединяющие указанные части тела в единое целое (рис. 2.1). |
Пользуясь аксиомой связей, можно отделить мысленно одну часть тела от другой и взамен исключенных при этом связей к каждой из частей тела приложить на плоскости мысленного сечения силы, равные усилиям в исключенных связях.
При этом равновесие тела не нарушается. Эти силы, распределенные непрерывно по всему сечению, называют внутренними силами.
Внутренние силы, распределенные по поперечному сечению, могут быть приведены к центру тяжести сечения и, таким образом, заменены главным вектором и главным моментом, которые можно разложить на составляющие по осям: N – продольную силу, Qx и Qy – поперечные силы, Мx и Мy – изгибающие моменты, Мz – крутящий момент, называемые внутренними усилиями.
N, Qx, Qy, Мx, Мy, Мz являются статическим эквивалентом внутренних сил, распределенных по поперечному сечению, проведенному на границе частей бруса.
Рис. 2.2
| Внутренние усилия находятся из уравнений равновесия (рис. 2.2):
 ;
 ;
 ;
 ;
 ;
 .
|
Графические представления функции изменения внутренних усилий вдоль оси стержня называют эпюрами.
Построение эпюры продольной силы
|
|
|
Введем правило знаков: за положительное направление продольной силы принимается направление растягивающей силы относительно сечения.
Пример 1
Рис. 2.3
|
Для стержня, изображенного на схеме (рис. 2.3), построить эпюру продольной силы.
Решение
Направим ось z вдоль оси стержня. Стержень нагружен уравновешенной системой сил:
.
Для построения эпюры продольной силы необходимо рассмотреть три участка. Внутри участка продольная сила должна быть описана либо одной функцией, либо сохранять постоянное значение.
Рассматривая первый участок, рассечем стержень по сечению I-I и оставим левую часть. Действие отброшенной правой части заменим неизвестной продольной силой 
, где 
м.
Рис. 2.4
| Направление продольной силы – растягивающей относительно сечения. Продольная сила должна быть найдена так, чтобы оставленная часть находилась в равновесии: |
, откуда 
(кН),
получили, что на всем первом участке продольная сила постоянна и равна 15 кН. Значения найденной продольной силы откладываются на оси стержня (рис. 2.3).
Рассмотрим второй участок. Рассечем стержень по сечению II-II на длине z 2 от начала участка и оставим левую часть (рис. 2.5).
z 2 изменяется в пределах 
м.
Рис. 2.5
| Действие отброшенной части на оставленную заменим действием неизвестной силы  , которую
|
определим из уравнения равновесия:
,
откуда 
(кН), т.е. продольная сила постоянна на всем втором участке и равна 30 кН. Нанесем на эпюру (рис. 2.3).
Рассмотрим третий участок. Рассечем стержень по сечению III-III на длине z 3 от начала участка и оставим правую часть, длиной 
.
Рис. 2.6
| Действие отброшенной левой части заменим действием неизвестной силы  (рис. 2.6), которую находим из уравнения равновесия оставленной части:
|
, откуда 
(кН).
Нанесем на эпюру (рис. 2.3).
Заметим, что для стержня, нагруженного сосредоточенными силами, внутри участков продольная сила сохраняет постоянные значения. На границах участков – скачки, величины которых равны величинам сосредоточенных сил, приложенных в данном сечении.
|
|
|
Пример 2
Рис. 2.7
|
Стержень нагружен сосредоточенной силой F = 10 кН и распределенной вдоль оси нагрузкой q = 20 кН/м (рис. 2.7).
Построить эпюру продольной силы.
Решение
Определим реакцию R в защемлении из уравнения равновесия бруса. Направим ось z вдоль оси бруса: 
, откуда 
кН. На заданном стержне продольная сила описывается одной функцией, то есть нужно рассматривать один участок.
Рассечем стержень на расстоянии z от защемления на две части и рассмотрим левую часть 
(рис. 2.8).
Рис. 2.8
| Действие отброшенной части на оставленную заменим действием неизвестной продольной силы  , которую найдем из уравнения равновесия оставленной части:
|
,
откуда 
функция линейная. Для построения прямой найдем значения в двух точках 
кН; 
кН.
Нанесем на эпюру.
Пример 3
Рис. 2.9
|
Для ступенчатого стержня, представленного на рис. 2.9, построить эпюру продольной силы, если F = 20 кН, q = 10 кН/м,
l 1 = 0,8 м, l 2 = 1 м, l 3 = 1,2 м.
Определим реакцию в защемлении: из уравнения равновесия всего стержня 
, тогда
кН.
Рассмотрим три участка.
Сечение I-I
Рис. 2.10
| Рассмотрим равновесие левой части (рис. 2.10), где  ,  , откуда  , для построения линейной функции найдем значения
|
в двух точках 
кН, 
кН.
Сечение II-II
Рис. 2.11
| Обозначая z 2 – длину от начала участка до сечения (где  ), рассмотрим равновесие левой части,  − искомая продольная сила,
|
заменяющая действие отброшенной части на оставленную.
Уравнение равновесия:
,
, 
кН,
кН.
Сечение III-III. Рассекая стержень на длине z 3 от начала участка, оставим правую часть, где 
.
Рис. 2.12
| Рассмотрим уравнение равновесия для оставленной части (рис. 2.12).
 ,
откуда  кН,
|
т.е. постоянно на всем третьем участке.
Эпюры крутящих моментов
Правило знаков
Рис. 2.13
| Крутящий момент внутри сечения направляется против часовой стрелки (если смотреть на сечение со стороны положительной нормали). |
Пример 1
Рис. 2.14
|
Для представленного на рис. 2.14 стержня построить эпюру крутящего момента.
Применяя метод сечений, рассмотрим три участка.
|
|
|
I участок: рассечем стержень по сечению I-I и рассмотрим левую часть, заменяем действие отброшенной части на оставленную действием неизвестного момента ТК 1 (рис. 2.15).
Рис. 2.15
| Находим этот момент из уравнения равновесия:
 , откуда  (кН×м).
|
II участок
Рис. 2.16
| Рассечем стержень по сечению II-II. Рассмотрим левую часть (рис. 2.16). Находим момент ТК 2 из уравнения равновесия: |
, откуда 
(кН×м).
III участок
Рис. 2.17
| Рассечем стержень по сечению III-III и рассмотрим правую часть (рис. 2.17). ТК 3 находим из уравнения равновесия оставленной части: |
, откуда 
(кН).
Нанесем найденные значения на эпюру (рис. 2.14).
Рис. 2.18
| Для стержня (рис. 2.18) построить эпюру крутящих моментов. |
Решение
Найдем момент ТR − реакцию в защемлении:
,
(кН×м).
Для построения эпюры крутящих моментов нужно рассмотреть два участка.
I участок: рассечем стержень на длине z 1 от защемления и рассмотрим равновесие левой части (рис. 2.19), где .
Рис. 2.19
|  , откуда  (кН×м).
Следовательно, на всем левом участке крутящий момент постоянен и равен 18 кН×м (рис. 2.18).
|
II участок: рассечем стержень по координате z 2 от границы участков, но для определения внутреннего силового фактора (крутящего момента) рассмотрим равновесие правой части
(рис. 2.20).
Рис. 2.20
| Длина оставленной части  ,
где .
Уравнение статического равновесия
|
,
− линейная зависимость.
кН×м.
кН×м.
Построим эпюру по двум найденным точкам (рис. 2.18).
Построение эпюр поперечных сил
И изгибающих моментов
Рис. 2.21
|
Пример 1
Рис. 2.22
| Для представленного на рисунке стержня построить эпюры внутренних силовых факторов (поперечных сил и изгибающих моментов).
Решение
Найдем реакции в защемлении из суммы проекций всех сил на вертикальную ось:
 , откуда  .
|
Из суммы моментов всех сил относительно точки о:
; 
.
Рассмотрим правую часть стержня от сечения I-I:
Рис. 2.23
| .
Из суммы сил  ,  .
|
Для определения момента рассмотрим сумму моментов сил относительно сечения, то есть точки С:
,
откуда 
− линейная функция. 
, 
. Построим эпюры (рис. 2.22).
|
|
|
Пример 2
Рис. 2.24
| Для изображенной на рис. 2.24 балки построить эпюры внутренних силовых факторов.
Определим реакции опор.
 , откуда  ;
|
, откуда 
.
Проверим реакции 
.
Реакции найдены верно.
Для построения эпюр внутренних силовых факторов рассмотрим два участка.
I участок: рассечем по сечению I и оставим левую часть
(рис. 2.25).
Рис. 2.25
| Найдем поперечную силу Q 1 и момент  из уравнений статического равновесия
 , откуда  .
|
, откуда 
, где 
. Поперечная сила сохраняет постоянное значение 
на всем участке. Изгибающий момент меняется линейно от 
до 
(рис. 2.24).
II участок: рассечем по сечению II и рассмотрим правую часть длиной 
(рис. 2.25).
Рис. 2.26
| Направим искомые силовые факторы в соответствии с правилом знаков (рис. 2.21). Из уравнений равновесия для оставленной правой части определим неизвестные силовые факторы |
, откуда 
.
, откуда 
.
Поперечная сила сохраняет на втором участке постоянное значение Q 
; изгибающий момент меняется – линейно от 
до 
(рис. 2.24).
Правильность построения эпюр внутренних силовых факторов при изгибе удобно проверять по дифференциальным зависимостям:
; 
.
Следует обратить особое внимание на второе соотношение. Вспоминая исследование функций, заметим: если поперечная сила на участке 
положительна 
− момент возрастает, если поперечная сила на участке отрицательна 
− момент убывает, если Q = 0 на участке − момент сохраняет постоянное значение, если Q = 0 в точке – момент в этой точке принимает экстремальное значение.
В примере 2 на первом участке Q > 0 – момент возрастает от 0 до 
; на втором участке 
− момент убывает от до 0. Балка симметрично нагружена. Эпюра поперечной силы кососимметрична, эпюра момента симметрична (рис. 2.24).
Пример 3
Рис. 2.27
| Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 2.27). Решение Найдем реакции опор из уравнений статического равновесия: |
, откуда 
,
, откуда 
.
Проверим реакции:
- реакции найдены верно.
Для построения эпюр внутренних силовых факторов рассмотрим два участка.
I участок: 
.
Рис. 2.28
| Из уравнений статического равновесия: , откуда  постоянна на всем участке , откуда
|
- линейная зависимость 
; 
, нанесем на эпюру (рис. 2.27).
II участок: .
Рис. 2.29
| Из уравнений равновесия оставленной части:
, откуда
|
, постоянна на всем участке.
, откуда - линейная зависимость 
; 
, нанесем на эпюру (рис. 2.27).
Балка нагружена кососимметрично: эпюра поперечной силы симметрична, эпюра момента кососимметрична. В точке приложения сосредоточенного момента на эпюре изгибающего момента скачок на величину момента (рис. 2.27).
|
|
|
Рассмотрим балки, нагруженные распределенной нагрузкой.
Пример 4
Рис. 2.30
| Консольная балка загружена по всей длине распределенной нагрузкой интенсивностью q (q – нагрузка на единицу длины).
Найдем реакции в защемлении
 , откуда  .
 ,
откуда  .
|
Для построения эпюр внутренних силовых факторов рассмотрим сечение .
Рис. 2.31
| В данном случае поперечная сила является функцией z. Из уравнений статического равновесия
 ,
|
откуда 
- т.е. равна равнодействующей распределенной нагрузки на участке длиной z. Получили линейную зависимость изменения поперечной силы от z 
; 
. Нанесем на эпюру (рис. 2.30).
Рассмотрим сумму моментов относительно сечения, учитывая, что равнодействующая равномерно распределенной нагрузки приложена в средине участка, тогда ее момент 
,
, откуда 
- квадратичная зависимость. Найдем значения момента в двух точках и распорядимся кривизной ; 
; вторая производная 
, следовательно, парабола, представляющая эпюру момента, выпуклая (рис. 2.30).
Пример 5
Половина длины балки загружена распределенной нагрузкой. Построить эпюры внутренних силовых факторов (рис. 2.32).
Рис. 2.32
| Решение
Определим реакции опор из уравнений статического равновесия балки  , откуда  .
 ,
откуда  .
|
Проверим реакции:
,
Реакции найдены верно.
Для построения эпюр внутренних силовых факторов рассмотрим два участка.
I участок: 
.
Рис. 2.33
| Из уравнений статического равновесия оставленной части (рис. 2.33)
 , откуда  - линейная зависимость.
|
; 
.
Построим прямую по двум найденным точкам
, откуда
- параболическая зависимость. ;
.
На рассматриваемом участке поперечная сила пересекает ось (рис. 2.32), в этой точке момент должен быть максимальным, поскольку слева 
, т.е. момент возрастает, справа 
, т.е. момент убывает.
Для определения значения максимального момента найдем координату zо точки пересечения из уравнения 
, откуда 
, тогда
.
II участок: 
.
Рис. 2.34
| Рассмотрим уравнения статического равновесия оставленной части (рис. 2.34). |
,
откуда 
, т.е. сохраняет постоянное значение на всем участке.
,
откуда 
– линейная зависимость ;
.
Построим эпюру по двум найденным значениям (рис. 2.32).
Рассмотрим построение эпюр внутренних силовых факторов в рамах. Рассмотрим сначала плоские рамы. Внутренними силовыми факторами в плоских рамах являются: продольная сила, поперечная сила и изгибающий момент. Правило знаков:
Рис. 2.35
| продольная сила направляется растягивающей относительно сечения, поперечная сила получается поворотом продольной на 90° по часовой стрелке, изгибающий момент направляется на предполагаемое сжатое волокно. |
Пример 6
Рис. 2.36
| Для представленной на схеме плоской рамы построить эпюры внутренних силовых факторов.
Решение
Определим реакции опор из уравнений статического равновесия.
 , откуда хВ = F.
|
;
;
;
.
Проверим реакции опор:
,
реакции найдены верно.
Для построения эпюр внутренних силовых факторов рассмотрим три участка.
I участок: рассечем раму по сечению I-I и рассмотрим левую часть (участок длиной z 1, где ) (рис. 2.37).
Рис. 2.37
| Внутренние силовые факторы найдем из уравнений равновесия оставленной части:
 ;
|
, откуда 
;
, откуда 
- линейная зависимость 
;
.
II участок: рассечем стержень по сечению II-II и оставим правую часть (участок длиной z 2, где ) (рис. 2.38).
Рис. 2.38
| Составим уравнения статического равновесия оставленной части
 , откуда  ;
 , откуда  ;
|
, откуда 
;
; 
.
Поперечная и продольная силы сохраняют постоянные значения на всем участке, момент изменяется линейно (рис. 2.36).
III участок: рассечем раму по сечению III-III и оставим нижнюю часть (участок стержня длиной z 3, где ).
Рис. 2.39
| Уравнения статического равновесия оставленной части (рис. 2.39):
 , откуда  ;
 , откуда  ;
 , откуда  .
|
Продольная и поперечная силы сохраняют постоянные значения в пределах участка, изгибающий момент меняется линейно.
; 
.
Эпюры внутренних силовых факторов строятся на отдельных контурах (рис. 2.40).
Рис. 2.40
|
Пример 7
Рис. 2.41
| Для плоской рамы, представленной на схеме, построить эпюры внутренних силовых факторов. Решение Найдем реакции в защемлении из уравнений статического равновесия рамы |
; 
, откуда 
;
, откуда .
Для построения эпюр внутренних силовых факторов рассмотрим три участка.
I участок
Рис. 2.42
| рассечем первый участок по сечению I-I и оставим правую часть длиной z 1, где (рис. 2.42).
Определим внутренние силовые факторы из уравнений статического равновесия
|
; 
, откуда 
, линейная зависимость 
; 
;
; 
- параболическая зависимость. ; 
.
II участок
Рис. 2.43
| рассечем второй стержень на длине  , где (рис. 2.43).
Определим внутренние силовые факторы из уравнений статического равновесия оставленной части:
|
, откуда 
;
, откуда 
;
, откуда 
- линейная зависимость. 
; 
.
III участок
Рис. 2.44
| рассечем третий стержень по сечению III-III на расстоянии z 3 от защемления, где  (рис. 2.44).
 , откуда  ;
|
, откуда 
;
, откуда 
- линейная зависимость 
; 
.
Построим эпюры (рис. 2.45).
Рис. 2.45
|
|
|
|
