Некоторые свойства математики: взгляд извне

Естественно, что рекомендации, выработанные из общих соображений, окажутся эффективными и полезными для преподавания конкретной дисциплины только в том случае, когда будут гармонично согласованы с ее специфическими свойствами. Ниже мы укажем на некоторые особые свойства математики в контексте междисциплинарного подхода к процессу ее преподавания.

1. Математика — это метаязык, представляющий собой неразрывное единство естественного языка и специального символьного подъязыка с точными правилами словообразования.

Для иллюстрации данного утверждения рассмотрим одну задачу, предназначенную для учеников 8-го класса.

Задача [1, № 5.119]. В период военных учений в системе обороны дивизии было создано несколько командных пунктов, причем каждый из них имел линию связи с любым другим из числа оставшихся. Сколько командных пунктов было организовано, если количество линий связи равно 45?

Очевидно, что задача сформулирована на обычном, житейском, русском языке, и в ее тексте нет ничего специфически математического: понятий, символов, аксиом, теорем, формул и т.п. Проанализируем процесс ее решения, акцентируя внимание на переходах с русского языка на символьный подъязык и обратно, которые с неизбежностью придется делать в ходе рассуждений.

Решение. Поскольку количество командных пунктов неизвестно, обозначим его буквой n. Для удобства перенумеруем эти пункты. Из первого пункта проведем линии связи ко всем остальным. Очевидно, что их количество равно n-1. Теперь из второго пункта проведем линии связи ко всем тем пунктам, к которым они еще не проведены. Очевидно, что их количество равно n-2. Затем проделаем ту же операцию с третьим, четвертым и всеми последующими пунктами. При этом количество линий связи будет каждый раз уменьшаться на единицу. Когда мы будем проводить линии связи из пункта с номером n-2, то их количество равняется двум, а когда мы будем проводить линии связи из предпоследнего пункта, то оно равно единице. На этом процесс проведения линий связи заканчивается, поскольку каждый командный пункт уже соединен с каждым. Если сложить количества всех проведенных линий связи, то по условию оно должно равняться 45, и мы получаем выражение

(n −1) +(n −2)+ L + 2 + 1 = 45. (1)

До сих пор все рассуждения шли на русском языке, однако получившееся в результате выражение (1) выглядит как слово европейского языка, состоящее из 20 букв, расположенных в такой последовательности: (, n, -, 1,), + и т.д., и три последние буквы - это =, 4 и 5 (здесь многоточие мы считаем одной буквой). Часть слова, стоящая левее буквы =, является объектом, весьма популярным во времена Мальтуса - арифметической прогрессией. По известной формуле она может быть заменена другим словом, так что выражение (1) примет вид

2 " (2)

Полученное слово гораздо короче исходного, однако читается несколько странно: сначала горизонтально (n умножить на n — 1), потом вертикально (деленное на 2), а потом вновь горизонтально (равно 45). Не будем подробно описывать дальнейшие трансформации слов, а просто перечислим их, соединяя эквивалентные слова символом П, как это принято в математике:

Г«=-> (3)

(1) <s>(2) о n(n −1)=90<s>n2 − n − 90=0 о

n=10

Здесь мы покидаем символьную часть математического языка и вновь возвращаемся в область естественного русского языка. Последнее из символьных слов в последовательности (3) означает, что количество командных пунктов п равно либо отрицательному числу -9, либо натуральному числу 10. Поскольку количество командных пунктов не может быть отрицательным, у нас остается только одна возможность: n=10.

Мы привели подробный анализ решения задачи по той причине, что он выявляет следующее противоречие: применение междисциплинарного подхода к преподаванию математики чрезвычайно затруднено самой ее природой, хотя и представляется не только возможным, но и вполне естественным.

С одной стороны, для изложения системы математического знания приходится строить и использовать метаязык, в который русский язык входит в качестве составной части. Уже эта задача является весьма сложной, особенно если учесть, что символы и формулы математики составляют только лишь часть ее, причем не самую важную, сложную и трудную. Кроме того, при изучении математики студент и преподаватель работают над приобретением нескольких разнохарактерных умений: а) умением точно применять формальные правила, подчас весьма абстрактные, сложные и многошаговые; б) умением выбирать из длинного перечня известных правил именно то правило, которое необходимо для выполнения данного конкретного действия; в) умением строить последовательность применяемых правил, которая ведет к решению поставленной задачи. Подчеркнем, что второе и третье умения в принципе не могут быть формализованы. Они сродни практическому искусству и приобретаются только под влиянием хороших образцов и в процессе многочисленных упражнений. Как писал А. Пуанкаре, «творить - это отличать, выбирать» [11.С. 312]. (О природе математического творчества см. там же [11. С. 309-320].)

С другой стороны, очевидно, что рассмотренная задача не является собственно математической, а носит прикладной характер, так что междисциплинарный аспект математической деятельности по ее решению не вызывает сомнений. Кроме того, наличие лингвистического компонента решения задачи свидетельствует о полидисциплинарной природе самой математики.

2. Для математики характерны чрезвычайно длинные цепочки логических умозаключений.

Для примера сформулируем определение важного математического понятия - понятия группы: «Множество объектов с операцией умножения на нем называется группой, если для умножения справедлив сочетательный закон и разрешимы уравнения ax=b и ya=b». Нетрудно видеть, что это определение использует всего лишь 27 слов, включая предлоги, союзы и поэлементное прочтение формул, причем каждое из слов знакомо ученику начальной школы. В то же время логические следствия из него, представленные, например, в монографии А.Г. Куроша [8], занимают объем в 57 печатных листов. Кричащим примером является классификационная теорема о строении конечных простых групп, созданная усилиями интернационального «коллектива» алгебраистов нескольких поколений. По оценкам специалистов, ее формулировка и доказательство занимают около 5 тысяч страниц журнального текста. По этому поводу А.И. Кострикин в предисловии к книге [2.С. 7] пишет следующее: «Скорее всего, таинственные 5000 страниц сплошного, тщательно подготовленного текста никто не напишет, да и достоверность их в любом случае вышла бы за рамки обычных математических стандартов. Сила математики - в ее единстве, и кто знает, на каком пути и какими средствами будут даны убедительные, легко проверяемые аргументы в пользу выводов, полученных ценой 25-летних усилий».

Разумеется, столь яркое свойство математики находит свое естественное отражение в процессе ее преподавания. Применительно к начальной школе оно выражено в понятии укрупненной дидактической единицы (УДЕ) усвоения материала (см. П.М. Эрдниев [13.С. 4]). Мы опускаем детальный анализ этого понятия, поскольку он проводился разными авторами, начиная с его создателя. Для целей данной статьи важно указать на два аспекта: во-первых, УДЕ - это своего рода квант информации, т.е. такая порция информации, которая должна быть освоена учащимся единовременно; во-вторых, УДЕ - большое по объему и достаточно сложно структурированное образование. Применительно к высшей школе сформулируем третье свойство математики.

3. Для преподавания математики характерны чрезвычайно крупные дидактические единицы усвоения материала.

Если говорить о важнейших объектах, без которых не имело бы смысла изучать математику, то их определения зачастую весьма громоздки. Так, множество вещественных чисел описывается с помощью 17 аксиом, причем важнейшая из них - аксиома непрерывности - записывается с помощью одной импликации и пяти кванторов, расположенных в строго определенном порядке. Аксиоматика Вейля аффинного пространства, без которой не обходится ни один курс геометрии, представляет собой последовательность из 10 аксиом, 5 теорем и 5 определений. Аксиоматика Гильберта, которая была первым усовершенствованием древней аксиоматики Евклида, насчитывает 20 аксиом. Отметим, что речь идет о современных, совершенных и компактных изложениях В.А. Зорича, П.К. Ра-шевского и В.Т. Базылева.

В стандартных математических курсах нередки теоремы, доказательства которых занимают целую лекцию или несколько больше. Таковы, например, теорема о существовании корня многочлена с комплексными коэффициентами, теорема о существовании решения дифференциального уравнения первого порядка, классификация кривых второго порядка на евклидовой плоскости и целый ряд других. Отметим, что речь идет только лишь о доказательстве, т.к. вся подготовительная работа - математическая мотивировка, введение необходимой символики, формулировка теоремы и проч. - делается заранее.

Особо следует подчеркнуть, что преподаватель, как правило, не может уклониться ни от рассмотрения сложных определений, ни от проведения громоздких доказательств. В практике педагогического вуза такое уклонение невозможно или крайне нежелательно, поскольку упомянутые и подразумеваемые объекты дают научное обоснование основным линиям школьного курса математики. В практике университета без глубокого знания этих объектов невозможна эффективная подготовка исследователя. Если же говорить в общем плане, то неадекватные представления об объеме и сложности математических рассуждений существенно искажают представления о самой математике, даже при большом объеме изучаемого материала.

4. Многие проблемные ситуации, с необходимостью возникающие при развертывании перед студентами системы математического знания, образуют весьма узкое, по сравнению с гуманитарными дисциплинами, поле для студенческих дискуссий.

Достаточно часто для решения математического вопроса бывает необходимо понять, является ли данная функция непрерывной, является ли отображение групп изоморфизмом, равен ли нулю детерминант и т.п. Даже если читатель не знает, что такое непрерывность, изоморфизм или детерминант, понятно, что возможны только два ответа на каждый из поставленных вопросов - «да» или «нет».

Примером более широкого поля для дискуссий является соотношение между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Однако и здесь ясно, что существуют только четыре логические возможности: а) непрерывность и диф-ференцируемость никак не связаны между собой; б) непрерывность и дифферен-цируемость вытекают друг из друга; в) из непрерывности следует дифференцируе-мость, но обратное неверно; г) из диффе-ренцируемости следует непрерывность, но обратное неверно. В такой ситуации можно организовать дискуссию студентов, выслушать аргументы в поддержку каждой из возможностей или придумать какие-то иные формы активизации. Однако в данном конкретном случае это вряд ли целесообразно, поскольку ответ дает краткая, выразительная и важная теорема: «Дифференцируемая функция непрерывна. Обратное неверно». При этом доказательство ее весьма невелико и занимает три-четыре строки.

Учет вышеупомянутых свойств математики выявляет одно неочевидное обстоятельство: при ее изучении оказываются не вполне уместными, неприменимыми или трудно применимыми многие стандартные приемы активизации студентов. (Говоря несколько мягче, эти приемы требуют выработки специфических форм их применения.)

Действительно, если студент изначально, до вуза, не встречался с необходимостью проведения длинных цепочек логических умозаключений, если он не готов физически или хотя бы психологически к тяжелому труду по быстрому, единовременному освоению больших единиц информации (свойства 2, 3), то его обучение математике в вузе будет весьма затруднено, а то и невозможно. Не случайно В.А. Крутецкий считает, что «пониженная утомляемость в процессе занятий математикой» является одним из компонентов математических способностей школьника [7.С. 206].

Обращаясь к свойству 1, мы видим, что при изучении математики язык, на котором только и возможно ее изложение и понимание, одновременно и строится, и применяется. При этом тратится огромное количество энергии и времени на выработку чисто технических умений и навыков, которое сродни умению играть гаммы. Разумеется, гаммы не составляют сущности исполнительского мастерства, однако не существует музыкантов-исполнителей, которые не потратили бы на их освоение огромного количества времени и сил. Подобно этому формальное знание математических формул и тождественных преобразований не составляет сущности математики, однако без знания огромного набора формул и свободного владения тождественными преобразованиями невозможно говорить об изучении математики, и уж тем более о творчестве в области математики.

Итак, студент, изучающий математику, работает, как правило, на пределе личных интеллектуальных возможностей и в условиях дефицита времени. При этом он осваивает материал, главным свойством которого является, по крайней мере, на первых порах, его логическая структура. В этих условиях оказывается чрезвычайно затруднительным применение метода интервью, метода организации дискуссий, метапланового метода структурирования проблемы и т.п. Возникает естественный вопрос о способах реализации междисциплинарного подхода в процессе преподаванию математики. К счастью, ряд других свойств математики позволяют реализовать его в специфических формах.