Тест 3. Вычисление интегралов.
Таблица неопределённых интегралов некоторых функций.
1.)
| 2.)
|
3.)
| 4.)
|
5.)
| 6.)
|
7.)
| 8.)
|
9.)
| 10.)
|
11.)
| 12.)
|
13.)
| 14.)
|
15.)
| 16.)
|
17.)
| 18.)
|
19.)
| 20.)
|
21.)
| 22.)
|
23.)
| 24.)
|
25.)
| 26.)
|
27.)
| 28.)
|
Основные свойства неопределённого интеграла.
| Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.
|
| Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.
|
| Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной.
|
| Постоянный множитель можно вынести из-под знака интеграла, если k = const ¹0.
|
| Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций отдельно.
|
Основные методы интегрирования.
Непосредственное интегрирование
| Вычисление интегралов с помощью таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределённых интегралов.
|
Метод подстановки (метод замены переменной)
| Введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного, т. е. перейти к непосредственному интегрированию:
или
|
Метод интегрирования по частям
| Основан на использовании формулы дифференцирования произведения двух функций:
|
Основные свойства определённого интеграла.
Если а = b, то
| Если а > b, то
|
| Каковы бы ни были числа а, b и с, всегда имеет место это равенство
|
| Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла.
|
| Определённый интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их интегралов.
|
Если всюду на отрезке [ а, b] функция f(x)³0, то
| Если всюду на отрезке [ а, b] функция f(x)³g(x), то
|
Формула Ньютона Лейбница.

Замена переменной в определённом интеграле:
| Интегрирование по частям в определённом интеграле:
|
Связь между дифференцированием и интегрированием:
Простейшая функция
| Дифференциал
| Интеграл
|
1.)
|
|
|
2.)
|
|
|
3.)
|
|
|
4.)
|
|
|
5.)
|
|
|
6.)
|
|
|
7.)
|
|
|
8.)
|
|
|
9.)
|
|
|
10.)
|
|
|
11.)
|
|
|
12.)
|
|
|
13.)
|
|
|
14.)
|
|
|
15.)
|
|
|
16.)
|
|
|
17.)
|
|
|
18.)
|
|
|
19.)
|
|
|
20.)
|
|
|
21.)
|
|
|
22.)
|
|
|
23.)
|
|
|
Задание 1. Найти производные и первообразные указанных функций:
Вычислить производные следующих функций:
| Вычислить одну из первообразных следующих функций:
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить все первообразные следующей функции (вычислить неопределённый интеграл): , где С = const.
|
Задание 2. Вычислить неопределённые интегралы:
, где С = const.
|
|
|
, где С = const.
|
|
|
, где С = const.
|
|
|
, где С = const.
|
|
|
, где С = const.
|
|
|
, где С = const.
|
|
|
, где С = const.
|
|
|
Непосредственное интегрирование:
Задание 3. Вычислить неопределённые интегралы. Результаты интегрирования проверить дифференцированием:
Интегрирование:
| Дифференцирование:
|
|
|
|
|
|
|
Метод подстановки (метод замены переменной)
1. метод внесения под знак дифференциала:
Задание 4. Вычислить неопределённые интегралы. Результаты интегрирования проверить дифференцированием:
Интегрирование:
| Дифференцирование:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод подстановки (метод замены переменной)
2. непосредственная замена:
Задание 5. Вычислить неопределённые интегралы. Результаты интегрирования проверить дифференцированием:
Интегрирование:
| Дифференцирование:
|
|
|
|
|
Метод интегрирования по частям
Задание 6. Вычислить неопределённые интегралы. Результаты интегрирования проверит дифференцированием:
Интегрирование:
| Дифференцирование:
|
|
|
|
|
|
|
Интегрирование рациональных функций

Разложим подынтегральную функцию на сумму простейших дробей:
x 3+1 x 2-3 x +2
x 3-3 x 2+2 x x +3
3 x 2-2 x +1
3 x 2-9 x +6
7x-5
Получили


Тогда


Разложим подынтегральную функцию на сумму простейших дробей:
x 3+2 x 2+2 x +4
x 3+2 x 2+4 x x -2
-2 x 2-4 x +2
-2 x 2-4 x -8

Тогда:

Определённый интеграл
Задание 7. Вычислить определённые интегралы по формуле Ньютона-Лейбница.
Задание 8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
у =- х 2+6 х -5 и у = х -5.
|
Ответ:125/6 кв.ед.
|
у = х 2-2 х -1 и у = х -1
|
Ответ: 4,5 кв.ед.
|
Тест 3. Вычисление интегралов.
Вопрос 1Вычислить неопределённый интеграл
|
а.)
| б.)
| в.)
| г.)
|
Вопрос 2Вычислить неопределённый интеграл
|
а.)
| б.)
| в.)
| г.)
|
Вопрос 3Вычислить неопределённый интеграл
|
а.)
| б.)
| в.)
| г.)
|
Вопрос 4Вычислить неопределённый интеграл
|
а.)
| б.)
| в.)
| г.)
|
Вопрос 5Вычислить неопределённый интеграл
|
а.)
| б.)
| в.)
| г.)
|
Вопрос 6Вычислить неопределённый интеграл
|
а.)
| б.)
| в.)
| г.)
|
Вопрос 7Вычислить неопределённый интеграл
|
а.)
| б.)
| в.)
| г.)
|
Вопрос 8Вычислить неопределённый интеграл
|
а.)
| б.)
| в.)
| г.)
|
Вопрос 9Вычислить неопределённый интеграл
|
а.)
| б.)
| в.)
| г.)
|
Вопрос 10Вычислить неопределённый интеграл
|
а.)
| б.)
| в.)
| г.)
|
Вопрос 11Вычислить определённый интеграл
|
а.) 0,5
| б.) 1
| в.) 2
| г.)
|
Вопрос 12Вычислить определённый интеграл
|
а.) ¥
| б.) 3
| в.) 1
| г.)
|
Вопрос 13Вычислить определённый интеграл
|
а.) 2
| б.) 4
| в.) 6
| г.)
|
Вопрос 14Вычислить определённый интеграл
|
а.) 16
| б.) 0
| в.) 32
| г.)
|
Вопрос 15Вычислить определённый интеграл
|
а.) 1
| б.) 2
| в.) 0
| г.)
|
Воспользуйтесь поиском по сайту: