Запишем степень интеграла в виде произведения интегралов

Оценка параметров нелинейного статического ОУ

 

 

(1)

 

 

(2)

 

 

 

(3)

 

Пусть известна грубая оценка ,

 

Тогда

 

 

(4)

 

(5)

 

 

, (6)

 

где .

 

 

, (7)

 

где ,

 

,

 

.

 

 

(8)

 

 

Идентификация нелинейных инерционных ОУ

Постановка задачи

 

Модель ОУ - Нелинейное дифференциальное уравнение

 

, (1)

 

где - производная выхода;

- производная входа;

 

– нелинейная скалярная функция, подлежащая идентификации по наблюдениям входа и выхода объекта .

 

 

Модель Вольтерра. Эта модель связана с рядом Вольтерра, которым представляется выход нелинейного динамического объекта.

 

y[v(t)] , при k→∞ сколь угодно точно аппроксимирует y[v(t)]

 

Аппрокси­мирующая последовательность имеет вид

 

(2)

 

где ряд (2) называется функциональным рядом Вольтерра,

 

Ряд Вольтерра для стационарных объектов

 

(3)

 

Или более компактно

 

(4)

 

где

(5)

- многомерные импульсные переходные функции объекта (ядра Вольтерра).

 

Совокупность ядер ряда однозначно определяет дина­мические свойства нелинейного объекта.

 

Структурная схема нелинейной стационарной системы, описываемой функциональ­ными рядами Вольтерра, может быть представлена в виде

 

 

- ядро первого порядка,

 

 

- ядро второго порядка,

 

- ядро Вольтерра третьего порядка

 

 

Рис. Импульсная переходная функция 2-го порядка

 

 

 

Если - выход ОУ, то ряд (4), (5) описывает модель этого ОУ

 

 

(6)

 

 

1) , если

 

 

2)

 

 

 

 

(7)

 

 

Задача идентификации нелинейного ОУ заключается в выборе тестовых воздействий , который позволял бы по измеренным значениям выхода оценивать ядра в (6)

 

(8)

 

1. Выбор амплитуды входного воздействия

2. Влияние соседних членов ряда Вольтерра на точность идентификации ядра - порядка

 

Рассмотрим один из приемов оценки ядер. Его идея заключается в конструировании из реакций НОУ такого выражения, которое было бы с опре­деленной точностью равно m - слагаемому ряда Вольтерра (8)

 

Пусть v(t) - вход стационарного нелинейного ОУ. Сформируем воздействия: - различные вещественные числа, не равные нулю и соответствующие амплитудам входа

 

Измеряем реакции ОУ у[γ_rv(t)] r=1,…,N.

 

(9)

 

где b _r - вещественные числа, которые выбираются следующим образом:

 

Подставим (8) в (9)

 

(10a)

 

 

(10)

 

 

Выберем числа b_r таким образом, чтобы в правой части (10) обратились в нуль все N членов, кроме m-го, а коэффициент при m-кратном интеграле стал равным единице

(11)

 

 

 

Алгоритм:

· Вход ;

· выбираем амплитуды входа для эксперимента;

· находим коэффициенты из условия (11);

· проводим активный эксперимент, в результате которого фиксируем реакции нелинейного ОУ на входы и вычисляем последовательно (9);

 

·

 

Пример. Для ядра 1-го порядка

 

 

. (12)

 

 

Подобным образом находим ядро второго порядка, положив

 

v(t)=d(t)

 

и т.д.

 

 

Параметризация задачи, т. е. представление функции в виде разложения по заданной системе функций

 

1) , если

 

2)

 

n =2

 

(13)

 

 

(13a)

 

 

 

 

. (14)

 

 

Подставляя выражения (13a), (14) в (13), получаем:

 

 

, (15)

 

где

— реакция линейного элемента с весовой функцией на входной сигнал v(t);

 

 

Теперь задача идентификации сведена к определе­нию параметров разложения (15), т. е.

.

 

 

Общее число этих параметров

Модель Гаммерштейна

Рассмотрим модель Гаммерштейна с одним входом и одним выходом

 

y(t) (t)

z(t)

v(t)

 

 

 

 

НЧ ЛЧ

Здесь ставится задачу идентификации двух функций и

(16)

 

(17)

 

 

(18)

 

Подставим выражения (17), (18) в (16):

 

 

 

 

(19)

 

где

 

 

 

.

:

(20)

 

 

 

 

Модель Винера: ОУ - последовательное соединение динамического линейного звена с весовой функцией и нелинейного безынерционного .

 

 

 

 

 

(21)

(22)

 

 

(23)

 

Запишем степень интеграла в виде произведения интегралов

 

 

 

(24)

, - (25)

 

- сепарабельная функция

 

 

(26)

 

 

 

· Любую динамическую нелинейную систему без об­ратной связи, образованную соединением инерционных линейных систем и аналитических безынерционных нелинейностей, можно описать рядом Вольтерра.

 

 

Любую функциональную нелинейную систему без об­ратной связи, образованную соединением инерционных линейных систем и аналитических безынерционных нелинейностей, можно описать рядом Вольтерра.

 

 

 

 

Если линейная часть системы - апериодическое звено с коэффициентом усиления К и постоянной времени Т, то

 

, .

 

 

Приведенные примеры являются иллюстрацией к общему положению, согласно которому любую функциональную нелинейную систему без об­ратной связи, образованную соединением инерционных линейных систем и аналитических безынерционных нелинейностей, можно описать рядом Вольтерра..

, (13)

где - выбранная система функций, содержащая элементов.

. (14)

 

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: