Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов
УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра физики
ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ И ТЕРМОДИНАМИКИ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к практическим занятиям по курсу общей физики
Уфа 2005 Составители С.А. Шатохин, Э.В. Сагитова
УДК [539.19+536](07) ББК [22.36+22.317](Я7)
Основы молекулярной физики и термодинамики: Методические указания к практическим занятиям по курсу общей физики. / Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т; Сост.: С.А. Шатохин, Э.В. Сагитова -Уфа, 2005. - 32 c.
Приведены примеры решения различных типов задач по темам практических занятий раздела «Основы молекулярной физики и термодинамики». Предназначены для студентов 1 и 2 курсов.
Библиогр.: 5 назв.
Рецензенты: А.С. Краузе Э.З. Якупов
© Уфимский государственный авиационный
технический университет, 2005 Содержание
Введение........................................................................................................... 4 Основные формулы........................................................................................ 5 Примеры решения задач................................................................................ 9 1. Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов........................ 9 2. Основы термодинамики.......................................................................... 15 Список литературы....................................................................................... 32 Введение Практические занятия являются одной из важнейших компонент учебного процесса по физике. Они способствуют приобщению студентов к самостоятельной работе, учат анализировать изучаемые физические явления, использовать на практике полученные теоретические знания. Предназначены для студентов, изучающих раздел курса общей физики «Основы молекулярной физики и термодинамики». В методических указаниях представлены примеры решения типичных задач разной степени трудности. Решения сопровождаются необходимыми примерами и комментариями. Задачи систематизированы по основным темам раздела. Приведены основные формулы, облегчающие усвоение алгоритмов решения задач.
Основы молекулярной физики и термодинамики
Основные формулы
Количество вещества где N – число молекул, NA – постоянная Авогадро, m – масса вещества, M – молярная масса.
Уравнение Менделеева- Клайперона
где р – давление газа, V – его объем, R – молярная газовая постоянная, T – термодинамическая температура.
Уравнение молекулярно – кинетической теории газов
где n 0 – концентрация молекул, < E пост> – средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул, m 0 – масса молекулы, < υ кв> – средняя квадратичная скорость.
Средняя кинетическая энергия молекулы
где i – число степеней свободы, k – постоянная Больцмана.
Внутренняя энергия идеального газа
Скорости молекул: средняя квадратичная средняя арифметическая наиболее вероятная
Средняя длина свободного пробега молекулы
где d – эффективный диаметр молекулы.
Среднее число столкновений молекулы в единицу времени
Уравнение диффузии
где D – коэффициент диффузии, Ρ – плотность, dS – элементарная площадка, перпендикулярная к оси Х.
Уравнение теплопроводности
где χ – коэффициент теплопроводности.
Сила внутреннего трения гдеη – динамическая вязкость.
Коэффициент диффузии
Вязкость (динамическая)
Теплопроводность где сV - удельная изохорная теплоемкость.
Молярная теплоемкость идеального газа: Изохорная Изобарная
Первое начало термодинамики
Работа расширения газа при процессе: Изобарном Изотермическом адиабатном
где
Уравнение Пуассона (уравнение адиабатного процесса)
Коэффициент полезного действия цикла Карно
где Q и T – количество теплоты, полученное от нагревателя, и его температура, Q 0 и T 0 – количество теплоты, переданное холодильнику, и его температура. Изменение энтропии при переходе из состояния 1 в состояние 2 Уравнение Ван - дер - Ваальса: для 1 моль газа для ν моль газа где a и b – постоянные Ван - дер - Ваальса, VM – объем 1 литра газа.
Критические параметры
Собственный объем молекулы
Высота поднятия жидкости в капилляре радиусом r
Примеры решения задач Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов
Задача 1. Определить, сколько киломолей и молекул водорода содержится в объеме 50 м3 под давлением 767 мм рт. ст. при температуре 18°С. Какова плотность и удельный объем газа?
можно определить ν: Число молекул N, содержащихся в данном объеме, находим, используя число Авогадро NА (которое определяет какое количество молекул содержится в одном киломоле). Общее количество молекул, находящихся в массе m данного газа, может быть установлено, так как известно число молей ν. Подставляя в формулу число киломолей, устанавливаем число молекул, содержащихся в объеме V: Плотность газа ρ = m / V определяем из уравнения Менделеева - Клайперона: Подставляя числовые значения в единицах СИ в формулу, определим плотность газа:
Удельный объем газа d определяем из уравнения Менделеева - Клайперона:
![]() Ответ: 11,9 м3/кг.
Задача 2. В сосуде объемом 2 м3 находится смесь 4 кг гелия и 2 кг водорода при температуре 27°С. Определить давление и молярную массу смеси газов.
М 1 – егомолярная масса; V – объем сосуда; Т – температура газа; R = 8,31 Дж/(моль·К) –молярная газовая постоянная; р 2 – парциальное давление водорода; m 2 – масса водорода; М 2 – его молярная масса.
По закону Дальтона: Из уравнений (1) и (2) выразим р 1и р 2и подставим в уравнение (3):
С другой стороны, уравнение Менделеева - Клайперона для смеси газов имеет вид:
Сравнивая (4) и (5) найдем молярную массу смеси газов по формуле:
где ν1 и ν2 – число молей гелия и водорода соответственно.
![]() Ответ: 3·10-3 кг/моль.
Задача 3. При каком давлении средняя длина свободного пробега молекул водорода < λ > = 2,5 см при температуре 68°С? Диаметр молекул водорода принять равным d = 2,3·10 –10 м.
Это проводится следующим образом:
где NA – число Авогадро и k – постоянная Больцмана. Следовательно, Число молекул в 1 м3 выразим через среднюю длину свободного пробега. Из формулы
![]() Ответ: 0,8 Па.
Задача 4. Определить плотность разреженного азота, если средняя длина свободного пробега молекул 10 см. Какова концентрация молекул?
где d – эффективный диаметр молекул (для азота d = 0,31·10 –9 м). Концентрацию молекул найдем из равенства:
где NA – число Авогадро; М = 28·10 –3 кг/моль – молярная масса азота. Решая совместно уравнения (1) и (2), находим:
![]() Ответ: 1,09·10-6 кг/м3.
Задача 5. Вычислить коэффициент внутреннего трения и коэффициент диффузии кислорода, находящегося при давлении 0,2 МПа и температуре 280 К.
где ρ– плотность газа; < λ > – средняя длина свободного пробега молекул; <υ ар > – средняя арифметическая скорость молекул. Из (1) и (2) следует Среднюю арифметическую скорость и среднюю длину свободного пробега молекул находим по формулам:
где R = 8,31 Дж/(моль·К) – молярная газовая постоянная; Т – термодинамическая температура; d = 2,9·10 –10 м – эффективный диаметр молекулы кислорода; n 0 – число молекул в 1 м3 (концентрация). Из уравнения Менделеева - Клайперона определяем n 0 (см. задачу 3): где р – давление; k = 1,38·10 –23 Дж/К – постоянная Больцмана. Подставляя (6) в уравнение (5), получаем: Окончательный вид расчетной формулы для коэффициента диффузии найдем, подставляя выражения (4) и (7) в уравнение (2):
Плотность кислорода определяется по формуле: Подставляя (9) и (8) в (3), получаем расчетную формулу для коэффициента внутреннего трения: Вычисляем: Ответ:
Задача 6. Наружная поверхность кирпичной стены площадью 25 м2 и толщиной 37 см имеет температуру 259 К, а внутренняя поверхность–293 К. Помещение отапливается электроплитой. Определить ее мощность, если температура в помещении поддерживается постоянной. Теплопроводность кирпича 0,4 Вт/(м·К).
За время t – электроплита должна выделить такое же количество теплоты: Приравнивая правые части уравнений (1) и (2), получаем:
откуда Ответ: 0,92 кВт.
2. Основы термодинамики
Задача 7. Чему равны средние кинетические энергии поступательного и вращательного движения молекул, содержащихся в 2 кг водорода при температуре 400 К.
число степенейсвободы молекулы водорода равно 5. В среднем на одну степень свободы приходится энергия:
Число молекул, содержащихся в массе газа m:
где R = kNA – молярная газовая постоянная. Средняя кинетическая энергия вращательного движения молекул водорода: Подставляя числовые значения и формулы (1) и (2), имеем: Ответ: 4986 кДж, 3324 кДж.
Задача 8. При адиабатическом сжатии давление воздуха было увеличено от Р 1 = 100 кПа до Р 2 = 1 МПа. Затем при неизменном объеме температура воздуха была понижена до первоначальной. Определить давление Р 3 газа в конце процесса.
Процесс адиабатического сжатия 1-2 совершается без теплообмена и согласно уравнению Пуассона:
Макроскопические параметры P, V, T воздуха в состоянии 1, 2, 3 связаны соотношением:
откуда P 1 V 1 = P 3 V 3. По условию задачи V 2 = V 3.Используя уравнение (1) можно записать
Тогда Ответ: Задача 9. Вычислить массу столба воздуха высотой 1 км и сечением 1 м2, если плотность воздуха у поверхности Земли
Продифференцировав (1), получим С другой стороны убыль давления dP при переходе от высоты h 0 к высоте h 0 + dh
где Используя уравнения (2) и (3) получим: или Вычислим массу столба воздуха Подставив данные, приведенные в условии задачи получим: m = 1,13 · 103 кг. Ответ: m = 1,13 · 103 кг.
Задача 10. Определить скорость вылета поршня массой 4 кг из цилиндра при адиабатном расширении кислорода в 40 раз, если начальное давление воздуха 107 Па, а объем 0,3 л.
где т и υ – масса и скорость поршня. Для подсчета работы адиабатически расширяющегося газа воспользуемся формулой:
Ответ: 54 м/с.
Задача 11. Молекулярный пучок кислорода ударяется о неподвижную стенку. После соударения молекулы отражаются от стенки с той же по модулю скоростью. Определить давление пучка на стенку, если скорость молекул 500 м/с и концентрация молекул в пучке 5·10 24 м -3.
где F – сила давления, S – площадь. Силу давления найдем из второго закона Ньютона:
где m – масса кислорода, ударившегося о стенку за время t, Δ υ – изменение скорости молекул при ударе. Массу одной молекулы кислорода найдем из закона Авогадро: За время t о стенку ударяются молекулы, находящиеся в объеме: Изменение скорости при соударении: Подставляя выражения (3), (4) в (2), находим: Ответ: 1,33·105 Па.
Задача 12. Определить удельные теплоемкости ср, сv, для смеси 1 кг азота и 1 кг гелия.
происходит нагревание. Если нагревание происходит при постоянном объеме, то: Окончательно получим: Если нагревание происходит при постоянном давлении, то
где
Подставляя это значение в уравнение (2), получим:
Произведем вычисления: Ответ:
Задача 13. В цилиндре под поршнем находится водород, который имеет массу 0,02 кг и начальную температуру 27°С. Водород сначала расширился адиабатически, увеличив свой объем в 5 раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в 5 раз. Найти температуру в конце адиабатического расширения и работу, совершаемую газом. Изобразить процесс графически.
постоянном давлении и постоянном объеме. Для водорода γ = 1,4. Отсюда выражение для конечной температуры Т 2 будет:
Работа А 1 газа при адиабатическом расширении равна изменению внутренней энергии:
![]() Работа А 2 газа при изотермическом процессе может быть выражена в виде:
![]() Знак «минус» показывает, что при сжатии газа работа совершается над газом внешними силами. Полная работа, совершенная газом при описанных процессах, равна:
![]() График процесса приведен на рисунке 1.
Ответ: 8,7 · 103 Дж.
Задача 14. Кислород массой m = 2 кг занимает объем V 1= 1 м3 и находится под давлением р 1= 0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V 2= 3 м3, а затем при постоянном объеме до давления р 3= 0,5 МПа. Найти изменение Δ U внутренней энергии газа, совершенную им работу А и количество теплоты Q, переданное газу. Построить график процесса.
Начальную и конечную температуры найдем, используя уравнение Менделеева - Клайперона:
Решая его относительно Т, получим: Подставляя в выражение (1) числовые значения входящих в него
величин, находим: Работа расширения газа при постоянномдавлении выражается формулой: Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме, равна нулю, т.е. А 2 = 0. Следовательно, полная работа, совершенная газом, равна: График процесса приведен на рисунке 2.
Ответ: 3,65 МДж.
Задача 15. Идеальный двухатомный газ, содержащий количество вещества n = 1 моль и находящийся под давлением Р 1 = 0,1 МПа при температуре Т 1 = 300 К, нагревают при постоянном объеме до давления Р 2 = 0,2 МПа. После этого газ изотермически расширялся до начального давления и затем изобарно был сжат до начального объема V 1. Построить график цикла. Определить температуру Т газа для характерных точек цикла и его термический КПД h.
Переход газа на участке 1-2 происходит изохорически при V 1 = const. Давления и температуры газов в состояниях 1 и 2 связаны между собой соотношением:
Отсюда T 2 = 2 Т 1 = 600 K. Так как переход газа 2-3 изотермический, то Т 2 = Т 3. Термический КПД цикла определяется выражением
где Q 1 – количество теплоты, полученное от нагревателя за цикл, Q 2 – количество теплоты, отданное холодильнику за цикл. Газ получает количество теплоты на участках 1-2 и 2-3 Q 1= Q 1-2 + Q 2-3, где Q 1-2 = C v v (T 2 - T 1) – количество теплоты, полученное при изохорическом нагревании,
Газ отдает количество теплоты на участке 3-1 при изобарическом сжатии: Q 3-1 = Q 2 = Cр
Подставив значения Q 1 и Q 2, С v и С р
Ответ: T 2 = T 3 = 600 K, η = 9,9 %.
Задача16. Кислород массой 1 кг совершает цикл Карно. При изотермическом расширении газа его объём увеличивается в 2 раза, а при последующем адиабатическом расширении совершается работа 3000 Дж. Определить работу, совершенную за цикл.
На рисунке 3 участок 1-2 соответствует изотермическому расширению газа (Т 1 = Т 2), участок 2-3 – адиабатическому расширению газа, участок 3-4 – изотермическому сжатию (Т 3 = Т 4) и участок 4-1 – адиабатическому сжатию. При изотермическом расширении внутренняя энергия идеального газа остается постоянной, следовательно, все подводимое тепло Q 1 идет на работу по расширению газа на участке 1-2, т.е.
![]() При изотермическом сжатии на участке 3-4 Q 2 тепло отдается холодильнику (Q 2), и это количество теплоты определяется работой, затраченной на сжатие газа:
Состояния 2 и 3 лежат на одной адиабате, поэтому можно записать:
Для состояний 4 и 1, которые отвечают одной адиабате, имеем:
Поделив выражение (3) на (4), получим:
так как Т 1 = Т 2и Т 3 = Т 4. Работа при адиабатическом расширении на участке 2-3 равна:
Работа при адиабатическом сжатии на участке 4-1 равна:
Так как Т 1 = Т 2, а Т 3 = Т 4, то А 2 - 3 = -А 4 - 1, т.е. полная работа по адиабатическому сжатию и расширению равна нулю. Следовательно, работа цикла: А = А 1 - 2 – А 3 - 4. Из уравнений (1), (2) и (5) получим: Из уравнения (6) выразим разность температур Т 2 – Т 3, равную Т 1 – Т 3, и подставим в уравнение (7): Ответ: 831,6 Дж.
Задача 17. В результате изотермического расширения объем 8 г кислорода увеличился в 2 раза. Определить изменение энтропии газа.
сообщенное газу, Т – абсолютная температура, S 1 и S 2 – значения энтропии в начальном и конечном состояниях системы. При изотермическом расширении все подводимое количество теплоты идет на работу по расширению, т.е. dQ = dA = pdV. Из уравнения Менделеева – Клапейрона:
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|