Молекулярная физика. Термодинамика
Расчетное задание № 1 Кинематика, динамика, законы сохранения энергии. И импульса материальной точки. Элементы теории поля. Законы вращательного движения твердого тела. Колебания и волны. Элементы теории относительности. Основные формулы
Кинематическое уравнение движения материальной точки (центра масс твердого тела) вдоль оси x где f(t) - некоторая функция времени. Проекция средней скорости на ось x Средняя путевая скорость где Ds - путь, пройденный точкой за интервал времени Dt. Путь Ds в отличие от разности координат Dx = x2-x1не может убывать и принимать отрицательные значения, т.е. Ds ³ 0. Проекция мгновенной скорости на ось x Проекция среднего ускорения на ось x Проекция мгновенного ускорения на ось x Кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности
Модуль угловой скорости Модуль углового ускорения Связь между модулями линейных и угловых величин, характеризующих движение точки по окружности:
где Модуль полного ускорения
Угол между полным Импульс материальной точки массой m, движущейся со скоростью
Второй закон Ньютона где Силы, рассматриваемые в механике: а) сила упругости где x - абсолютная деформация; б) сила тяжести в) сила гравитационного взаимодействия где
г) сила трения (скольжения) где f - коэффициент трения; N - сила нормального давления. Закон сохранения импульса или для двух тел (i=2)
где Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно,
Потенциальная энергия: а) упругодеформированной пружины где б) гравитационного взаимодействия где в) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести,
где g - ускорение свободного падения; h - высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива при условии h<<R, где R — радиус Земли). Закон сохранения механической энергии Работа А, совершаемая результирующей силой, определяется как мера изменения кинетической энергии материальной точки:
Кинематическое уравнение гармонических колебаний материальной точки x = A cos(wt+j), где х - смещение; А -амплитуда колебаний; w - угловая или циклическая частота; j - начальная фаза. Скорость и ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания: u = -Aw sin (wt+j); a = - Aw2 cos (wt+j). Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты: а) амплитуда результирующего колебания б) начальная фаза результирующего колебания Траектория точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, x = A1 cos wt; y = A2 cos (wt+j); а) б) в)
Уравнение плоской бегущей волны где y - смещение любой из точек среды с координатой x в момент t; u - скорость распространения колебаний в среде. Связь разности фаз Dj колебаний с расстоянием Dxмежду точками среды, отсчитанным в направлении распространения колебаний; где l - длина волны. Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси z где Мz - результирующий момент внешних сил относительно оси z, действующих на тело; e - угловое ускорение; Jz - момент инерции относительно оси вращения. Моменты инерции некоторых тел массой m относительно оси z, проходящей через центр масс: а) стержня длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню, б) обруча (тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра), где R - радиус обруча (цилиндра); в) диска радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска, Проекция на ось z момента импульса тела, вращающегося относительно неподвижной оси z, где w - угловая скорость тела. Закон сохранения момента импульса систем тел, вращающихся вокруг неподвижной оси z,
где Jz - момент инерции системы тел относительно оси z; w - угловая скорость вращения тел системы вокруг оси z. Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z,
Релятивистская масса
где mo - масса покоя частицы; u - ее скорость; с - скорость света в вакууме; b - скорость частицы, выраженная в долях скорости света (b = u/с). Взаимосвязь массы и энергии релятивистской частицы
где Ео=mос2 - энергия покоя частицы. Полная энергия свободной частицы Е = Ео + Т, где Т - кинетическая энергия релятивистской частицы. Кинетическая энергия релятивистской частицы
Импульс релятивистской частицы
Связь между полной энергией и импульсом релятивистской частицы Примеры решения задач Пример 1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид x = A + Bt + Ct3, где А = 2 м, В = 1 м/с, С = - 0,5 м/с3. Найти координату х, скорость Решение. Координату xнайдем, подставив в уравнение движения числовые значения коэффициентов A, B и C и времени t: x = (2 + 1×2 - 0,5×23)м = 0. Мгновенная скорость относительно оси хесть первая производная от координаты по времени:
Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по времени: В момент времени t = 2 с
Пример 2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону j = A + Bt + Ct2, где A= 10 рад, В = 20 рад/с, С = - 2 рад/с2. Найти полное ускорение точки, находящейся на расстоянии г=0,1 м от оси вращения, для момента времени t =4 с. Решение. Полное ускорение Так как векторы
Модули тангенциального и нормального ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами где w - модуль угловой скорости тела; e - модуль его углового ускорения. Подставляя выражения
Угловую скорость w найдем, взяв первую производную угла поворота по времени: В момент времени t = 4 с модуль угловой скорости w = [20 + 2(-2)4] рад/с = 4 рад/с. Угловое ускорение найдем, взяв первую производную от угловой скорости по времени:
Подставляя значения w, e и r в формулу (2), получаем
Пример 3. Шар массой m1, движущийся горизонтально с некоторой скоростью Решение. Доля энергии, переданной первым шаром второму, выразится соотношением
где Т1 - кинетическая энергия первого шара до удара; u2 и Т2 - скорость и кинетическая энергия второго шара после удара. Как видно из формулы (1), для определения e надо найти u2. Согласно условию задачи импульс системы двух шаров относительно горизонтального направления не изменяется и механическая энергия шаров в другие виды не переходит. Пользуясь этим, найдем:
Решим совместно уравнения (2) и (3):
Подставив это выражение u2 в формулу (1) и сократив на u1 и m1, получим Из найденного соотношения видно, что доля переданной энергии зависит только от масс сталкивающихся шаров.
Пример 4. Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу m= 80г (рис.2), перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы с массами m1 = 100г и m2 = 200г. Определить ускорение, с которым будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе. Трением и массой нити пренебречь. Решение: Рассмотрим силы, действующие на каждый груз и на блок в отдельности. На каждый груз действуют две силы: сила тяжести и сила упругости (сила натяжения нити). Направим ось х вертикально вниз и напишем для каждого груза уравнение движения (второй закон Ньютона) в проекциях на эту ось. Для первого груза
для второго груза
Под действием моментов сил
где Согласно третьему закону Ньютона, с учетом невесомости нити После сокращения на
Формула (4) позволяет массы m1, m2 и m выразить в граммах, как они даны в условии задачи, а ускорение - в единицах СИ. После подстановки числовых значений в формулу (4) получим
Пример 5. Ракета установлена на поверхности Земли для запуска в вертикальном направлении. При какой минимальной скорости u1, сообщенной ракете при запуске, она удалится от поверхности на расстояние, равное радиусу Земли (R=6,37×106 м)? Всеми силами, кроме силы гравитационного взаимодействия ракеты и Земли,пренебречь. Решение. Со стороны Земли на ракету действует сила тяжести, являющаяся потенциальной силой. При неработающем двигателе под действием потенциальной силы механическая энергия ракеты изменяться не будет. Следовательно, Т1 + П1 = Т2 + П2, (1) где Т1, П1 и Т2, П2 - кинетическая и потенциальная энергии ракеты после выключения двигателя в начальном (у поверхности Земли) и конечном (на расстоянии, равном радиусу Земли) состояниях. Согласно определению кинетической энергии, Потенциальная энергия ракеты в начальном состоянии По мере удаления ракеты от поверхности Земли ее потенциальная энергия возрастает, а кинетическая - убывает. В конечном состоянии кинетическая энергия Т2 станет равной нулю, а потенциальная - достигнет максимального значения:
Подставляя выражения Т1, П1, Т2 и П2 в (1), получаем откуда Заметив, что GM/R2=g (g - ускорение свободного падения у поверхности Земли), перепишем эту формулу в виде что совпадает с выражением для первой космической скорости. Произведем вычисления:
Пример 6. Платформа в виде сплошного диска радиусом R=1,5 м и массой m1=180 кг вращается около вертикальной оси с частотой n=10 мин-1. В центре платформы стоит человек массой m2=60 кг. Какую линейную скорость u относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы? Решение. Согласно условию задачи, момент внешних сил относительно оси вращения z, совпадающей с геометрической осью платформы, можно считать равным нулю. При этом условии проекция Lz момента импульса системы платформа-человек остается постоянной:
где Jz - момент инерции платформы с человеком относительно оси z; w - угловая скорость платформы. Момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел, входящих в состав системы, поэтому в начальном состоянии С учетом этого равенство (1) примет вид
где значения моментов инерции J1 и J2 платформы и человека соответственно относятся к начальному состоянию системы; Момент инерции платформы относительно оси z при переходе человека не изменяется: Подставим в формулу (2) выражения моментов инерции, начальной угловой скорости вращения платформы с человеком (w = 2pn) и конечной угловой скорости (w' = u/R, где u - скорость человека относительно пола): После сокращения на R2 и простых преобразований находим скорость Произведем вычисления:
Пример 7. Частица массой m = 0,01 кг совершает гармонические колебания с периодом Т = 2с. Полная энергия колеблющейся частицы Е = 0,1 мДж. Определить амплитуду А колебаний и наибольшее значение силы Fmax, действующей на частицу. Решение. Для определения амплитуды колебаний воспользуемся выражением полной энергии частицы: где w = 2p/Т. Отсюда амплитуда
Так как частица совершает гармонические колебания, то сила, действующая на нее, является квазиупругой и, следовательно, может быть выражена соотношением F = -kx, где k - коэффициент квазиупругой силы; х - смещение колеблющейся точки. Максимальной сила будет при максимальном смещении xmax, равном амплитуде: Fmax = kA. (2) Коэффициент k выразим через период колебаний: k = mw2 = m×4p2/T2. (3) Подставив выражения (1) и (3) и (2) и произведя упрощения, получим Произведем вычисления:
Пример 8. Складываются два колебания одинакового направления, выраженные уравнениями где А 1 = 3 см, А 2 = 2 см, t 1 = 1/6 с, t 2 = 1/3 с, Т = 2 с. Построить векторную диаграмму сложения этих колебаний и написать уравнение результирующего колебания. Решение. Для построения векторной диаграммы сложения двух колебаний одного направления надо фиксировать какой-либо момент времени. Обычно векторную диаграмму строят для момента времени t = 0. Преобразовав оба уравнения к канонической форме х = A cos (wt+j), получим Отсюда видно, что оба складываемых гармонических колебания имеют одинаковую циклическую частоту
Начальные фазы первого и второго колебаний соответственно равны Произведем вычисления:
Изобразим векторы А1 и А2. Для этого отложим отрезки длиной А1 = 3 см и А2 = 2 см под углами j1 = 30о и j2 = 60о к оси 0х. Результирующее колебание будет происходить с той же частотой w и амплитудой А, равной геометрической сумме амплитуд А1 и А2: А = А1 + А2. Согласно теореме косинусов: Начальную фазу результирующего колебания можно также определить непосредственно из векторной диаграммы (рис. 3):
Произведем вычисления:
или j = 0,735 рад. Так как результирующее колебание является гармоническим, имеет ту же частоту, что и слагаемые колебания, то его можно записать в виде где А = 4,84 см, w = 3,14 с-1, j = 0,735 рад.
Молекулярная физика. Термодинамика Основные формулы
Количество вещества тела (системы) n = N/NA, где N - число структурных элементов (молекул, атомов, ионов и т.п.), составляющих тело (систему); NА - постоянная Авогадро (NА = 6,02×1023моль-1). Молярная масса вещества M = m/n, где m - масса однородного тела (системы); n - количество вещества этого тела. Относительная молекулярная масса вещества Mr = SniAr,i, где ni - число атомов i-го химического элемента, входящих в состав молекулы данного вещества; Ar,i - относительная масса этого элемента. Относительные атомные массы приводятся в таблице Д.И.Менделева. Связь молекулярной массы М с относительной молекулярной массой вещества M = Mrk, где k = 10-3 кг/моль. Количество вещества смеси газов n = n1 + n2 + … + nn = N1/NA + N2/NA + … + Nn/NA, или где ni, Ni, mi, Mi - соответственно количество вещества, число молекул, масса, молекулярная масса i-го компонента смеси. Уравнение Менделеева-Клайперона (уравнение состояния идеального газа) где m - масса газа, М - молекулярная масса газа, R - молекулярная газовая постоянная, n - количество вещества, Т - термодинамическая температура. Опытные газовые законы, являющиеся частными случаями уравнения Менделеева-Клайперона для изопроцессов: а) закон Бойля-Мариотта (изотермический процесс: T=const, m=const) pV = const, или для двух состояний газа p1V1 = p2V2; б) закон Гей-Люссака (изобарный процесс: p=const, m=const) или для двух состояний в) закон Шарля (изохорный процесс: V=const, m=const) или для двух состояний г) объединенный газовый закон (m=const)
где p1,V1,T1 - давление, объем и температура газа в начальном состоянии; p2,V2,T2 - те же величины в конечном состоянии. Закон Дальтона, определяющий давление смеси газов, р = р1 + р2 + … + рn где pi - парциальные давления компонентов смеси; n - число компонентов смеси. Парциальным давлением называется давление газа, которое производил бы этот газ, если бы только он один находился в сосуде, занятом смесью. Молекулярная масса смеси газов где mi - масса i-го компонента смеси; ni = mi/Mi - количество вещества i-го компонента смеси; n - число компонентов смеси. Массовая доля i-го компонента смеси газа (в долях единицы или процентах) где m - масса смеси. Концентрация молекул где N - число молекул, содержащихся в данной системе; r - плотность вещества; V - объем системы. Формула справедлива не только для газов, но и для любого агрегатного состояния вещества. Основное уравнение кинетической теории газов p = где áeпñ - средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы áeпñ = где k - постоянная Больцмана. Средняя полная кинетическая энергия молекулы áeiñ = где i - число степеней свободы молекулы. Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры p = nkT. Скорости молекул:
где mi - масса одной молекулы. Относительная скорость молекулы u = u/uB, где u - скорость данной молекулы. Удельные теплоемкости газа при постоянном объеме (сv) и постоянном давлении (cp)
Связь между удельной с и молекулярной С теплоемкостями с = С/М, С = сМ. Уравнение Майера Сp – Cv = R Внутренняя энергия идеального газа Первое начало термодинамики где Q - теплота, сообщенная системе (газу); DU - изменение внутренней энергии системы; А - работа, совершенная системой против внешних сил. Работа расширения газа:
A = p(V2-V1) при изобарном процессе;
при адиабатном процессе, где g = сp/cv - показатель адиабаты. Уравнения Пуассона, связывающие параметры идеального газа при адиабатном процессе:
Термический КПД цикла где Q1 - теплота, полученная рабочим телом от теплоотдатчика; Q2 - теплота, переданная рабочим телом теплоприемнику. Термический КПД цикла Карно где T1 и T2 - термодинамические температуры теплоотдатчика и теплоприемника. Коэффициент поверхностного натяжения
где F - сила поверхностного натяжения, действующая на контур l, ограничивающий поверхность жидкости; DЕ - изменение свободной энергии поверхностной пленки жидкости, связанное с изменением площади DS поверхности этой пленки. Формула Лапласа, выражающая давление р, создаваемое сферической поверхностью жидкости: где R - радиус сферической поверхности. Высота подъема жидкости в капиллярной трубке где q - краевой угол (q = 0 при полном смачивании стенок трубки жидкостью; q = p при полном несмачивании); R - радиус канала трубки; r - плотность жидкости; g - ускорение свободного падения. Высота подъема жидкости между двумя близкими параллельными друг другу плоскостями где d - расстояние между плоскостями.
Примеры решения задач
Пример 1. Определить молярную массу М смеси кислорода массой Решение. Молярная масса смеси М есть отношение массы смеси m к количеству вещества смеси
Масса смеси равна сумме масс компонентов смеси:
Количество вещества смеси равно сумме количеств вещества компонентов:
Подставив в формулу (1) выражения
Найдем молярные массы кислорода
Подставим значения величин в (2) и произведем вычисления:
=
Пример 2. Найти среднюю кинетическую энергию Решение. На каждую степень свободы молекулы газа приходится одинаковая средняя энергия
Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул газа
Число всех молекул газа
где Если учесть, что количество вещества
Подставив выражение N в формулу (2), получаем
Произведем вычисления, учитывая, что для кислорода
Пример 3. Вычислить удельные теплоемкости Решение. Удельную теплоемкость
где Приравняв правые части (1) и (2) и разделив обе части полученного равенства на
или
где | ||||||||||||||
|
|