Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Углы, связанные с окружностью

Степень с рациональным показателем

 

Свойства степеней

 

 

Корни и их свойства

Корнем n -ой степени из числа a называется число, n -ая степень которого равна а, то есть: . Следовательно, по определению

Арифметическим корнем четной степени n -ой степени из неотрицательного числа a называется число, n -ая степень которого равна a.

Свойства арифметических корней

1.

2. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей: при

При a <0, b <0имеет место равенство

3.Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

при b >0

При a <0, b <0имеет место равенство

4. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число: при

5. Если увеличить степень корня в m раз и одновременно возвести в m -ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится: при

6. При извлечении корня из корня показатели корней перемножаются, а подкоренное выражение не меняется. при

ФОРМУЛЫ

СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ

 

РАЗНОСТЬ КВАДРАТОВ   a2-b2 = (a – b)(a+b)
КВАДРАТ СУММЫ   (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 КВАДРАТ РАЗНОСТИ   (a - b)2 = a2 - 2ab + b2  

 

СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ

Определение. Логарифмом числа х по основанию а называется показатель степени, в которую надо возвести а, чтобы получить х, то есть:

log ax = b Û ab = x, если а > 0, а 1, х > 0

Основное логарифмическое тождество

а log ax = х, если а > 0, а 1, х > 0

 

Свойства логарифмов 1. log ax у = log ax + log aу

2. log = log ax - log aу

3 log ax к = к logа х

Формула перехода к логарифму по новому основанию

Следствия 1.

2.

3.

 

Т Р И Г О Н О М Е Т Р И Я

Алгебраические соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента

sin 2x + cos 2x = 1 tgx ctg x = 1

 

1 + tg 2 x = 1 + ctg 2 x =

Формулы двойного аргумента

cos 2х = cos 2х - sin 2х

 

sin 2х = 2 sin х cos х

Знаки синуса, косинуса и тангенса.

Из определения тригонометрических функций следует, что синус положителен там, где положительна ордината, то есть в 1 и11 четверти. Косинус положителен в 111 и 1У четвертях, а тангенс в 1 и 111.

 

 

Значения тригонометрических функций некоторых углов

 

 

   
sin       -1  
cos     - - - -1    
tg     Не $ - -1 -   Не $  
сtg Не $     - -1 - Не $   Не $

 

 

Делимость целых чисел

Если для двух целых чисел и существует такое целое число что ,то говорят, что число делится на Обозначение:

Признаки делимости в десятичной системе счисления

Признак делимости на 2

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 4

Число делится на 4 только тогда, когда две его последние цифры нули или составляют число, которое делится на 4

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5, т. е. если она 0 или 5.

Признак делимости на 6

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3).

ПЛАНИМЕТРИЯ

Площадь треугольника

ТЕОРЕМА Площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание.

 

Следствие: площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

 

ТЕОРЕМА Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними.

 

ТЕОРЕМА Площади двух треугольников, имеющих по равному углу, относятся как произведения сторон, заключающих этот угол.

 

ТЕОРЕМА(ФОРМУЛА ГЕРОНА) Площадь треугольника со сторонами а, в, с вычисляется по формуле , где

 

ТЕОРЕМА. Площадь треугольника вычисляется по формуле , где а,в,с – стороны треугольника, а R – радиус описанной около треугольника окружности

 

ТЕОРЕМА. Площадь треугольника вычисляется по формуле , где , а,в,с – стороны треугольника, а r – радиус вписанной в треугольник окружности

Площади четырехугольников

 

ТЕОРЕМА Площадь прямоугольника равна произведению его высоты на основание, то есть произведению его сторон.

 

ТЕОРЕМА Площадь параллелограмма (в частности, ромба) равна произведению его высоты на основание.

 

ТЕОРЕМА Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними.

 

ТЕОРЕМА Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними (теорема верна для любого выпуклого четырехугольника).

 

ТЕОРЕМА Площадь трапеции равна произведению полусуммы его оснований на высоту, или произведению его средней линии на высоту.

 

ТЕОРЕМА Если диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны, то его пло­щадь равна половине произведения диагоналей.

 

Следствие: площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

 

ТЕОРЕМА ВАРИНЬОНА Четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом, площадь которого равна половине площади исходного четырехугольника.

ТЕОРЕМА. Сумма углов четырехугольника. равна 360º

 

 

СВОЙСТВА ВПИСАННЫХ И ОПИСАННЫХ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ

ТЕОРЕМА В выпуклом вписанном четырехугольнике суммы противолежащих углов равны между собой и равны 180°.

ТЕОРЕМА Если в четырехугольник вписана окружность, то суммы противолежащих сторон его равны.

Углы, связанные с окружностью

Угол, образованный двумя хордами, проведенными из одной точки, называется вписанным.

ТЕОРЕМА Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Следствия:

все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны;

вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.

ТЕОРЕМА Угол, вершина которого лежит внутри круга, измеряется полусуммой двух дуг, заключенных между его сторонами

ТЕОРЕМА Угол, вершина которого лежит вне круга, а стороны пересекаются с окружностью, измеряется полуразностью двух дуг, заключенных между его сторонами.

ТЕОРЕМА Угол, составленный касательной и хордой, измеряется половиной дуги, заключенной внутри угла.

 

СТЕРЕОМЕТРИЯ

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...