Количественные критерии оценки тесноты связи

 

 

По направлению выделяют связь прямую и обратную. При прямой связи с уменьшением или увеличением значений факторного признака происходит уменьшение или увеличение значений результативного. Например, увеличение степени механизации труда способствует росту рентабельности строительного производства. В случае обратной связи значения результативного признака изменяются в противоположном направлении по сравнению с изменением факторного признака. Так, с увеличением уровня фондоотдачи снижает себестоимость единицы произведенной продукции.

По аналитическому выражению выделяют связи прямолинейные (или просто линейные) и нелинейные (криволинейные). Если статистическая связь между явлениями приближенно выражена уравнением прямой линии, то ее называют линейной связью; Если же она выражена уравнением какой либо кривой линии (параболы, гиперболы: степенной, показательной, экспоненциальной и т.д.), то такую связь называют нелинейной или криволинейной.

Для выявления наличия связи, ее характера и направления в статистике используются методы: приведения параллельных данных, аналитических группировок, графический, корреляции и регрессии.

Метод приведения параллельных данных основан на составлении двух или нескольких рядов статистических величин. Такое сопоставление позволяет установить наличие связи и получить представление о ее характере. Сравним изменение двух величин:

 

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9

 

Y 5 6 9 10 14 17 15 20 23

 

 

Мы видим, что с увеличением величины x величина y также возрастает. Можно сделать предположение, что связь между ними прямая и что ее можно описать или уравнением прямой, или уравнением параболы второго порядка.

Статистическую связь между двумя признаками можно изобразить графически и по графику судить о наличии, направлении и форме связи. На оси абсцисс откладываются значения факторного признака, на оси ординат – результативного. На графике откладывают все единицы, обладающие определенными значениями x и y и строится поле корреляции.

Уточнение формы связи, нахождение ее аналитического выражения производится путем построения уравнения регрессии.

Парная регрессия характеризует связь между двумя признаками: результативным и факторным. Аналитически связь между ними описывается уравнениями:

прямой`у_x=a₀+a₁x;

параболы `y_x=a₀+a₁x+a₂x²;

гиперболы`y=a₀+a₁^.¾

х

экспоненты `y_x=a^.a₁^x

Оценка параметров уравнения регрессии a₀, a₁ (a₂ – в уравнении параболы второго порядка) осуществляется методом наименьших квадратов, в основе которого лежит предположение о независимости наблюдений исследуемой совокупности и нахождении параметров модели (a₀ и a₁), при котором минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических (фактических) значений результативного признака от теоретических, полученных по уравнению регрессии:

 

S=å(y-`y_x)²®min

 

Система нормальных уравнений для нахождения параметров линейной парной регрессии методом наименьших квадратов имеет следующий вид:

 

ìna₀+a₁åx=åy;

í

îa₀åx+a₁åx²=åxy,

 

 

где n – объем исследуемой совокупности (число единиц наблюдения).

В уравнении регрессии параметр a₀ показывает усредненное влияние на результативный признак неучтенных (не выделенных при исследовании факторов; параметр а₁ (а в уравнении параболы и а₂) – коэффициент регрессии показывает, насколько изменяется в среднем значение результативного признака при изменении факторного на единицу его собственного измерения.

Наиболее приемлемым способом отбора факторных признаков является шаговая регрессия (шаговый регрессионный анализ). Сущность метода шаговой регрессии заключается в последовательном включении факторов в уравнение регрессии и последующей проверке их значимости. Факторы поочередно вводятся в уравнение так называемым «прямым методом». При проверке значимости введенного фактора определяется, насколько уменьшается сумма квадратов остатков и увеличивается величина множественного коэффициента корреляции (R²). Одновременно используется и обратный метод, т.е. исключение факторов, ставших незначимыми на основе t-критерия Стьюдента.

При построении модели регрессии студент может столкнуться и с проблемой мультиколлинеарности, под которой понимается тесная зависимость между факторными признаками, включенными в модель. Мультиколлинеарность существенно искажает результаты исследования.

Одним из индикаторов определения наличия мультиколлинеарности между факторными признаками является превышение величины парного коэффициента корреляции 0,8 (r_{xi xj} ³ 0,8).

Устранение мультиколлинеарности может реализоваться через исключение корреляционной модели одного или нескольких линейно-связанных факторных признаков в новые, укрупненные факторы.

Пример. По данным о сумме активов (у), кредитных вложений (х₁) и величине собственного капитала (х₂) коммерческих банков Белоруссии построить множественное уравнение связи. Связь предполагается линейной.

Расчетная таблица для определения параметров уравнения регрессии представлена в табл. 9.4.

Решение

 

`y_x=a₀+a₁x+a₁x+a₂x₂.

 

Система нормальных уравнений имеет вид:

 

ìna₀+a₁åx₁+a₂åx₂=åy;

ía₀åx₁+a₁åx₁²+a₂åx₁x₂=åyx₁; (9.6)

îa₀åx₂+a₁åx₁x₂+a₂åx₂²=åyx_2;

 

 

 

ì7a₀+8761a₁+1046a₂=14757

í8671a₀+14266159a₁+1510415a₂=21956214;

î1046a₀+1510415a₁+175876a₂=2534726.

 

Отсюда: a₀=-443,4; a₁=0,0368; a₂=16,77;

`y_x1x2=-443,4+0,0368x₁+16,77x₂.

Расчёты показали, что с увеличением кредитных вложений на 1 млрд нац. руб. стоимость их активов возрастёт соответственно на 0,0368 и 16,77 млрд нац. руб.

Оценка существенности связи. Принятие решений на основе уравнения регрессии. Проверка адекватности моделей, построенных на основе уравнения регрессии, начинается с проверки значимости каждого коэффициента регрессии.

Если связь между признаками у и х криволинейная и описывается уравнением работы второго порядка:

 

`y_x=a₀+a₁x+a₂x²,

 

то система нормальных уравнений имеет вид:

 

ìna₀+a₁åx+a₂åx²=åy;

ía₀åx+a₁åx²+a₂åx³=åyx; (9.3)

îa₀åx²+a₁åx³+a₂åx⁴=åyx².

 

Оценка обратной зависимости между х и у, когда с увеличением (уменьшением) х уменьшается (увеличивается) значение результативного признака у, может быть осуществлена на основе уравнения гиперболы вида:

 

a₁

`Y_x=a₀+¾

x

 

Система нормальных уравнений для нахождения параметров гиперболы следующая:

 

ì 1

ï na₀+a₁å¾=åy;

ï x

í

ï 1 1 y

ï a₀å¾+a₁å¾=å¾.

î x x² x

 

Множественная (многофакторная) регрессия. Изучение связи между тремя и более связанными между собой признаками носит название множественной (многофакторной) регрессии, описываемой функцией вида:

 

`Y_1,2,…,x_k=f(x₁,x₂,…,x_k).

 

Построение моделей множественной регрессии включает этапы:

1) выбор формы связи (уравнения регрессии);

2) отбор факторных признаков;

3) обеспечение достаточного объёма совокупности для получения несмещённых оценок.

Выбор типа уравнения затрудняется тем, что для любой формы зависимости можно выбрать целый ряд уравнений, которые в определённой степени будут описывать эти связи. Поскольку уравнение регрессии строится главным образом для объяснения и количественного выражения взаимосвязей, оно должно хорошо отражать сложившиеся между исследуемыми факторами фактические связи.

Практика построения многофакторных моделей взаимосвязи показывает, что все реально существующие зависимости между социально-экономическими явлениями можно описать, используя пять типов моделей:

 

Оценка существенности связи. Принятие решений на основе уравнения регрессии.

Проверка адекватности моделей, построенных на основе уравнений регрессии, начинается с проверки значимости каждого коэффициента регрессии, с помощью t-критерия Стьюдента:

 

ça_iú

t = ¾; где б²_ai – коэффициент регрессии

б_ai

 

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: