Странность странных аттракторов

Если наши результаты, касающиеся неустойчивости непериодического течения, применить к атмосфере, которая явно не периодична, то получается, что предсказать погоду на достаточно отдаленное будущее невозможно никаким методом, если только теперешнее состояние не известно точно.
Э. Лоренц

Обсуждая крупное научное достижение, рождение новой идеи, всегда интересно посмотреть, что думали по этому поводу предшественники и современники автора. И часто оказывается, что они высказывали близкие мысли. Идея "витала в воздухе". Не является исключением и открытие хаоса в детерминированных системах.

Суть идеи прекрасно сформулирована в рассказе Рея Брэдбери "И грянул гром". Одна из компаний устраивает с помощью машины времени для своих клиентов сафари --- охоту на доисторических животных. Компания тщательно выбирает животных для отстрела и специальные маршруты передвижения охотников, чтобы происшедшее практически не имело последствий. Однако, по случайности, герой рассказа во время неудачной охоты сошел с маршрута и раздавил золотистую бабочку. Затем он возвращается в свое время и осознает, как драматически повлияла судьба бабочки на дальнейший ход событий. Неуловимо изменился химический состав воздуха, оттенки цветов, изменились правила правописания и, наконец, результаты последних выборов. К власти пришел режим, жестоко расправившийся со своими противниками. В свой последний миг герой рассказа понимает, что гибель бабочки нарушила хрупкое равновесие; повалились маленькие костяшки домино, большие костяшки, гигантские костяшки...

Образ падающих костяшек увеличивающегося размера превосходно иллюстрирует важнейшее свойство детерминированных систем с хаотическим поведением --- чувствительность к начальным данным. Начальные отклонения с течением времени нарастают, малые причины приводят к большим следствиям. Это явление иногда называют эффектом бабочки, так объясняя название: взмах крыльев бабочки в неустойчивой системе может со временем вызвать бурю, изменить погоду в огромном регионе.

А вот какое рассуждение, посвященное предсказуемости, приводится в фейнмановских лекциях по физике: "Обычно думают, что недетерминированность, невозможность предсказать будущее --- это особенность квантовой механики, и именно с ней связывают представление о свободе воли и т.д. Но если бы даже наш мир был классическим, т.е. если бы законы механики были классическими, все равно из этого не следует, что то же или какие-то аналогичные представления не возникли бы. Да, конечно, с точки зрения классики, узнав местоположение и скорость всех частиц в мире (или в сосуде с газом), можно точно предсказать, что будет дальше. В этом смысле классический мир детерминирован. Но представьте теперь, что наша точность ограничена и что мы не знаем точно положение только одного из атомов; знаем, скажем, его с ошибкой в одну миллиардную. Тогда, если он столкнется с другим атомом, неопределенность в знании его координат после столкновения возрастет. А следующее столкновение еще сильнее увеличит ошибку. Так что если сначала ошибка и была еле заметной, то все равно вскоре она вырастает до огромнейшей неопределенности.

Ясно, что мы не можем по-настоящему предвидеть положение капель, если мы не знаем движения воды абсолютно точно.

Правильнее будет сказать, что для данной точности (сколь угодно большой, но конечной) можно всегда указать такой большой промежуток времени, что для него становится невозможным сделать предсказания. И этот промежуток (в этом вся соль) не так уж велик... Время с уменьшением ошибки растет только логарифмически, и оказывается, что за очень и очень малое время вся наша информация теряется".

Американское издание фейнмановских лекций вышло в 1963 г. В том же году в "Journal of the Atmospheric Sciences" появилась статья американского метеоролога Эдварда Лоренца, положившая начало новому направлению в естествознании --- исследованию хаоса в детерминированных системах.

Тем не менее, можно только удивляться научной смелости Э. Лоренца, выбравшего простейшую модель --- систему всего лишь трех обыкновенных дифференциальных уравнений, просчитавшего ее на компьютере и сумевшего понять, что он имеет дело не с ошибками вычислений, а с открытием.

Математический образ детерминированных непериодических процессов, для которых невозможен долгосрочный прогноз, назвали странными аттракторами. Эти аттракторы (от английского to attract --- притягивать) действительно странные и очень красивые.

Рис. 1. Странный аттрактор, соответствующий установившемуся режиму в модели, описывающей колебательную химическую реакцию. Точка, определяющая состояние объекта, принадлежит трехмерному пространству (математики говорят, что фазовое пространство этой динамической системы трехмерно). Представлены проекции аттрактора на две различные плоскости.

На рис.1 показан "портрет" такого аттрактора, описывающего колебания в некой химической реакции, которую моделировали на компьютере. Аттрактор на рис.2 получен при обработке эксперимента по изучению знаменитой колебательной химической реакции Белоусова-Жаботинского [25].

Рис. 2. Проекция аттрактора, полученная при экспериментальном исследовании реакции Белоусова-Жаботинского. Эта колебательная химическая реакция при определенных условиях может идти в хаотическом режиме [25].

Смысл динамического хаоса легко понять, глядя на второй рисунок. Точка, определяющая состояние системы (например, концентрации химических реакций), движется по этому аттрактору, как "сани" по американской горке. Эти "сани" будут поворачивать и двигаться то по левой, то по правой "ленте". Допустим, мы запустили рядом двое "саней" (например, одни --- идеальная модель системы, другие --- сама система). Сначала, когда они двигаются близко друг к другу, по положению одних "саней" можно сказать, где находятся другие (тут и возможен прогноз). Но, начиная с некоего момента времени (горизонта прогноза), одни "сани" поворачивают влево, а другие --- вправо. Даже точно зная, где одни "сани", мы теряем возможность что-либо сказать о других.

Рис. 3. Изменение одной из величин, характеризующих магнитное поле в модели, описывающей солнечную активность. Хаотичность в этой модели приводит к "сбоям" в солнечной активности --- в течение десятков лет солнце остается спокойным. Такое поведение согласуется с результатами наблюдений.

Из рис.1-3 видно, что в странных аттракторах довольно много порядка. То же относится ко всему детерминированному хаосу. Поиски этого порядка заняли у многих специалистов по нелинейной науке, или нелинейщиков, как их часто называют, последние двадцать лет. Эти поиски оказались захватывающим занятием. Например, оказалось, что в природе существует всего несколько универсальных сценариев перехода от порядка к хаосу. Можно изучать самые разные явления, писать разные уравнения и получать одни и те же сценарии. Это поразительно. Исследователи пытаются увидеть за этим новый, более глубокий уровень единства природы. Выяснилось, что множество систем нашего организма работают в хаотическом или близком к нему режиме. Причем часто хаос выступает как признак здоровья, а излишняя упорядоченность --- как симптом болезни. Это привело к появлению новых методов анализа кардиограмм и энцефалограмм, миограмм, новых видов диагностики технических систем.

Хаос подарил новые способы защиты информации, позволяя закрывать "радиоодеялом" свои планы, намерения, распоряжения. Он дал новые способы записи информации и ее сжатия. Космические снимки, данные сейсмостанций, томограммы похожи на неукротимого джинна, выпущенного из бутылки. Информацию надо хранить в наиболее компактном виде, причем так, чтобы с ней удобно было обращаться. Ведь что-то приходится вспоминать часто, что-то --- иногда, а что-то --- в исключительных случаях.

Помнится, Воланд объяснял Левию Матвею, что свет невозможен без тьмы. Точно так же во множестве конкретных случаев становится ясно --- порядок неотделим от хаоса. А хаос порой выступает как сверхсложная упорядоченность.

Рис. 4. Одна из причудливых картин мира нелинейной динамики. На ней показано, как меняются в фазовом пространстве величины, определяющие "странность" странных аттракторов --- ляпуновские показатели [27].

Хаос дал новые темы художникам. На рис.4 --- один из образов, созданных вычислительной машиной под управлением дизайнера. Специалисты по компьютерной графике все чаще используют хаотические алгоритмы, чтобы горы на картинках были "как настоящие".

Пожалуй, один из самых заманчивых и опасных талисманов во дворе Хаоса --- новые способы управления сложными системами. В самом деле, близкие траектории у странных аттракторов разбегаются. Достаточно чуть-чуть подтолкнуть систему --- и вот уже точка двигается не по правой ветви, а по левой. И богатырь на распутье уже пошел не по той дороге, где "женатому быть", а по той, где "коня потерять", а с ним и все остальное. Родилась новая область исследований --- управление хаосом. У разных людей очень часто возникает один и тот же вопрос. Если все действительно обстоит таким образом, можно ли развалить государство, пользуясь только телефоном и, конечно, компьютерами, просчитывающими опасную неустойчивую траекторию, на которую можно столкнуть державу?

Твердое "нет" на этот вопрос у большинства нелинейщиков уже сменилось растерянно-осторожным "не знаю".

Итак, лет пятнадцать назад были осознаны принципиальные ограничения в проблеме прогноза. Понято, что во многих важных случаях существует горизонт предсказуемости, за который нам не суждено заглянуть. И после этого... прогноз стал отраслью индустрии. Почему?

.