Задания Б для самостоятельной работы

Во всех заданиях:

* вводимые и выводимые данные сопровождать краткими поясняющими текстами,

* для проверки численных значений результатов предусмотреть в программе соответствующие вычисления,

1. Решить систему из двух линейных уравнений и проверить найденное решение подстановкой результатов в уравнения.

2. Вычислить площадь S остроугольного треугольника, заданного координатами вершин на плоскости, по формуле Герона, а затем – величины углов, используя соотношение , где С – угол между сторонами с длинами La и Lb, а также, для проверки результатов, вычислить сумму углов.

3. Вычислить координаты точек на плоскости, делящих отрезок прямой, заданный координатами концов, в отношении m:n:k. Выполнить поверку работы программы вычислением m, n и k на основе полученных координат точек деления отрезка прямой.

4. Решить квадратное уравнение считая, что оно имеет только вещественные корни. Проверить результаты подстановкой корней в уравнение.

5. Вычислить коэффициенты уравнения прямой Y=K·X+B, проходящей через точки с координатами (X1, Y1) и (X2, Y2), и найти точку пересечения этой прямой с осью абсцисс. Проверить результаты подстановкой в уравнение для заданных координат точек.

6. Вычислить координаты точки пересечения двух прямых, заданных уравнениями: A·X+B·Y=C и D·X+E·Y=F. Проверить результаты подстановкой в уравнения.

7. Точка имеет координаты X0, Y0. Вычислить координаты точки после поворота осей координат относительно начала на угол A против часовой стрелки.
Проверить работу программы для:
a) A=arctg(Y0/X0), b) A=p, c) A=arctg(Y0/X0)-p/2.

8. Вычислить координаты вершин треугольника, находящихся на пересечении прямых Y=k1·X+b1 и Y=k2·X+b2 между собой и с осью X. Найти площадь S этого треугольника, а также длины сторон. Проверить работу программы вводом данных для уравнений Y=X+1 и Y= -X+1.

9. Вычислить координаты точек пересечения прямой и окружности на плоскости.
A·X+B·Y=C, X²+Y²=R². Проверить результаты подстановкой в уравнения.

10. Вычислить площадь S равнобедренного треугольника, вписанного в окружность радиуса R, если известна длина La его стороны, не равная длинам других сторон. Найти также длины других сторон треугольника и угол A между ними. Проверить работу программы на равностороннем треугольнике по его площади, которую следует вычислить заранее.

11. Вычислить координаты точки пересечения эллипса A·X²+B·Y²=R² и гиперболы Y=C/X. Проверить результаты: при A=B=C=1 и R²=2 должно быть X1=X3=1,Y1=Y3=1 X2=X4=-1, Y2=Y4=-1.

12. Найти числа X и Y, произведение которых равно A, а разность равна B. Вывести найденные значения, а также, для контроля, – их произведение и разность. Проверить работу программы также при A=1 и B=0, где решение очевидно.

13. Вычислить площадь треугольника, заданного координатами вершин в пространстве, по формуле Герона. Подобрать два варианта исходных данных для проверки работы программы.

14. Найти числа X и Y, сумма которых равно A, а сумма квадратов равна B. Вывести найденные значения, а также, для контроля, – их сумму и сумму квадратов. Проверить работу программы также при вводе A=1 и B=1, где решение очевидно.

15. Для треугольника, заданного длинами сторон La, Lb, Lc, найти угол, противоположный стороне длины La, используя соотношение , где P – полупериметр треугольника. Найти также другие углы. Проверить результаты для различных исходных данных по сумме углов.

16. Вычислить координаты точек пересечения кривых, заданных уравнениями и . Проверить результаты подстановкой в исходные уравнения.

17. Вычислить площадь правильного N–угольника, вписанного в окружность радиуса R. Найти относительные ошибки замены площади круга площадью такого N–угольника при значениях N, равных 6, 60 и 360. Проверить правильность решения: при N=4 и любом R относительная ошибка должна быть равна 0,363.

18. Вычислить площадь правильного N–угольника, в который вписана окружность диаметра D. Найти относительные ошибки замены площади такого N–угольника площадью круга при значениях N, равных 12, 120, 720. Проверить правильность решения: при N=4 и любом D относительная ошибка должна быть равна 0,274.

19. Вычислить площадь равнобедренного треугольника, вписанного в окружность радиуса R, если известен угол A между его сторонами равной длины. Вычислить также отношение площади круга радиуса R к площади треугольника. Проверить работу программы при вычислении отношения площади круга радиуса R к площади треугольника при вводе следующих значений угла A:
a) p/3, когда площадь треугольника равна ,
b) p/2, когда площадь треугольника равна R²

20. Найти числа X и Y, сумма которых равно A, а разность равна B. Вывести найденные значения, а также, для контроля, – их сумму и разность. Проверить работу программы также при вводе A=1 и B=1, где решение очевидно.

21. Для треугольника, заданного длинами сторон La, Lb, Lc, найти угол a, противоположный стороне длины La, используя соотношение , где P – полупериметр треугольника. Найти также другие углы. Проверить результаты для различных исходных данных по сумме углов.

22. На плоскости найти угол A между двумя сторонами (1, 2) и (1, 3) остроугольного треугольника, заданного координатами вершин X1, Y1, X2, Y2,X3, Y3 (X1<X2<X3), длины L12, L13 этих сторон и затем – площадь треугольника S по формуле S=L12·L13·Sin(A)/2. Значение угла A вывести в градусах. Проверить работу программы при вводе X1=0, Y1=0, X2=1, Y2=0, X3=2 и Y3=(2, -2).

23. Вычислить площадь S равнобедренного треугольника, в который вписана окружность радиуса R, если известна длина La его стороны, не равная длинам других сторон. Найти также длину L других сторон треугольника и его углы. Проверить работу программы на равностороннем треугольнике по его площади, которую следует вычислить заранее.

24. Найти площадь прямоугольного треугольника, в который вписана окружность радиуса R, а также значения его углов, если известна длина La его катета Ка. Для проверки работы программы предусмотреть вычисление La по найденной длине Lb другого катета. Проверить работу программы также при R=1 и La= , когда прямоугольник будет равнобедренным.

25. Найти координаты центра тяжести треугольника на плоскости, то есть координаты точки, лежащей на медиане и отстоящей на 2/3 ее длины от вершины, из которой медиана проведена. Для проверки результата выполнить вычисления для всех трех медиан. Проверить работу программы также для равнобедренного прямоугольного треугольника с координатами вершин (0; 0), (3; 0), (0; 3), где решение очевидно.

26. Вычислить S – площадь остроугольного треугольника по формуле , где La и Lb – длины сторон, а С – угол между ними. Затем вычислить длину третьей стороны Lc, используя соотношение Lc²=La²+Lb² -2·La·Lb·cosC и остальные углы, используя соотношение sinA/sinC=La/Lc. Проверить результаты для различных исходных данных по сумме углов.

27. Найти:
a) уравнение прямой Y=k2·X+b2, проходящей через точку (X0,Y0) и перпендикулярную заданной прямой Y=k1·X+b1
b) точку (X1,Y1) пересечения этих прямых,
c) площадь и длины сторон треугольника, вершинами которого являются точки (X1,Y1), (X0,Y0) и точка (X2,Y2) пересечения оси Y с заданной прямой.
Проверить результаты, предварительно вычислив площадь треугольника с вершинами в этих точках при вводе k1=1, b1=1, X0=0, Y0=2.

28. Дано уравнение
A·X²+B·Y²+C·X+D·Y+E=0.
Вычислить коэффициенты уравнения
A1·X²+B1·Y²+C1·X+D1·Y+E1=0,
получающиеся после переноса начала координат в точку X1, Y1 и проверить результаты. Выполнить также проверку решения обратным преобразованием координат.