Тема 5. Теорема косинусов и уравнения
(заметим, что первое равенство справедливо и в случае, если одно из чисел
при этом равенство имеет место тогда и только тогда, когда точки Рис.1
Пусть теперь
Приведем примеры уравнений вида (2). Пример 1. Решите уравнение Решение. Алгебраический метод. ОДЗ уравнения – множество всех действительных чисел. Перепишем уравнение как и возведем обе части его в квадрат. После приведения подобных получим уравнение Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат. Тогда
отсюда получаем, что Геометрический метод. Коэффициент Тогда
и, значит, уравнение имеет вид (2). Построим аналог рисунка для этого случая (см. рис. 2). Так как неравенство (1) обращается в равенство, если только
рис. 2
точка Поэтому Преимущество геометрического метода в его наглядности. Отпадает необходимость в проверке, которая требует рутинных вычислений. Есть возможность при решении уравнений использовать геометрические факты. Пример 2. Решите уравнение Решение. Алгебраический метод таков же, как и при решении предыдущего примера. Отличие состоит только в большем числе преобразований и усложнении проверки (возникновение постороннего решения). Геометрический метод. Коэффициент Тогда
Поэтому данное уравнение имеет вид (2). Построим аналог рисунка для этого случая (см. рис. 3). Ясно, что число х будет решением уравнения в том и только в том случае, если точка и
Отсюда находим, что
Как видим, геометрический метод сопровождается геометрическими рассуждениями, обоснованием своих выводов, сделанных на основе чертежа. Это положительно сказывается на развитии мышления учащихся и предупреждает формализм, присущий алгебраическому методу решения подобных иррациональных уравнений. Пример 3. Докажите, что уравнение равносильно системе уравнений Найдите их решение. Решение. Алгебраический метод при решении подобных задач (как было показано при решении задач примеров 1 и 2) малоэффективен. Геометрический метод. Примем Нетрудно заметить, что: заданное уравнение – это уравнение вида (2) для данного случая; первое уравнение системы – Это уравнение (2) для случая
решением уравнения тогда и только тогда, когда она будет решением системы. Следовательно, уравнение и система равносильны. Подставляя Как и при решении предыдущего уравнения использовались геометрические рассуждения. При обосновании выводов использовался чертеж.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|