Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Основные теоремы о пределах

Государственное образовательное учреждение

Среднего профессионального образования

МАТЕМАТИКА

Методическое пособие

для студентов заочной формы обучения

по специальностям

Методическое пособие предназначено для студентов – заочников, обучающихся по специальностям В пособии по каждой теме дисциплины содержится краткий теоретический материал, образцы решения и оформления примеров, литература, необходимая при изучении материала, а также вопросы для самопроверки.

Приведены задания обязательной контрольной работы по дисциплине «Математика».

Введение

Курс математики, который предстоит освоить студенту – заочнику, является фундаментом математического образования. Математические знания имеют важное значение для успешного изучения общетеоретических и специальных дисциплин, которые предусмотрены учебными планами различных специальностей.

По специальностям математика изучается в течении двух семестров. По результатам изучения дисциплины студенты должны выполнить две контрольные работы и сдать экзамен. В межсессионный период и во время сессий со студентами – заочниками проводятся лекционные и практические занятия, а также консультации.

В настоящем пособии содержатся общие рекомендации студентам – заочникам по работе над курсом математики, программа курса, методические указания по темам дисциплины с вопросами для самопроверки, решения типовых задач и задания контрольной работы №2.

Общие рекомендации по работе

над курсом математики

Формой обучения студента – заочника является самостоятельная работа над учебным материалом, которая состоит их следующих элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, самопроверка, выполнение контрольных работ. В процессе самостоятельной работы студент может обращаться к преподавателю с вопросами для получения письменной или устной консультации. В помощь заочникам организуются чтение лекций, практические занятия. Завершающим этапом изучения отдельных частей курса математики является сдача семестрового экзамена в соответствии с учебным планом по специальности.

Изучение материала по учебнику

Изучение материала по учебнику следует выполнять согласно указанным в программе курса темам. Изучая тот или иной вопрос темы по учебнику, целесообразно выполнять на бумаге все вычисления и вычерчивать имеющиеся в учебнике чертежи.

При самостоятельном изучении материала полезно вести конспект. В конспект по мере проработки материала рекомендуется вписывать определения, теоремы, формулы, уравнения и т.п. Поля конспектов могут послужить для выделения тех вопросов, на которые необходимо получить письменную или устную консультации. Ведение конспекта должно быть аккуратным, расположение текста хорошо продуманным. Конспект поможет в подготовке к теоретической части экзамена.

Решение задач

Чтение учебника должно сопровождаться разбором предлагаемых решений задач. Решение рекомендуется выполнять в отдельной тетради.

Каждый этап решения задачи должен быть обоснован, исходя из теоретических положений курса. Решение задач и примеров следует излагать подробно, вычисления располагать в строгом порядке, отделяя вспомогательные вычисления от основных. Чертежи можно выполнять от руки, но аккуратно.

В промежуточные вычисления не следует вводить приближенные значения корней, числа p и других математических констант.

Самопроверка

Опыт прочного усвоения материала темы показывает, что самопроверку проводить необходимо. В настоящем пособии приводятся для самопроверки вопросы, которые акцентируют внимание на наиболее важных, ключевых положениях темы. В процессе выполнения самопроверки необходимо избегать пользования учебником или конспектом. Желание обратиться к учебнику или конспекту показывает недостаточное усвоение материала темы.

Консультации

При изучении теоретического материала или при решении задач у студента могут возникнуть вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается. В такой ситуации студенту следует обратиться к преподавателю для получения от него письменной или устной консультации. При этом необходимо точно указать вопрос, учебник и место в учебнике, где рассмотрен затрудняющий студента вопрос. Если непреодолимые затруднения возникли при решении задачи, то следует указать характер затруднения, привести план решения.

Контрольная работа

В процессе изучения курса студент должен выполнить одну контрольную работу, которая проходит рецензирование. По полученным результатам студент может сделать выводы о степени усвоения им соответствующего раздела курса, внести коррективы в процесс последующей самостоятельной работы по изучению теоретического материала.

К выполнению контрольной работы следует приступать после тщательного разбора имеющихся в учебнике и сборниках задач решений с ответами. В дополнение к предложенным задачам сборников в данном пособии рассмотрены некоторые примеры.

Контрольные работы должны выполняться самостоятельно, так как в противном случае рецензирование работы как диалог общения преподавателя – рецензента и студента с целью оказания последнему методической помощи не достигнет цели.

Прорецензированные и зачтенные контрольные работы вместе со всеми исправлениями и дополнениями, сделанными по требованию рецензента, следует сохранять, поскольку без их предъявления студент не допускается к сдаче экзамена.

Лекции, практические занятия

Во время экзаменационных сессий для студентов - заочников читаются лекции, проводятся занятия. На лекциях и практических занятиях проводится обзор наиболее важных разделов курса, могут рассматриваться отдельные вопросы программы, отсутствующие или недостаточно полно освященные в рекомендуемых учебных пособиях.

Зачеты и экзамены

К зачету допускаются студенты, выполнившие контрольную работу (работы должны быть зачтены преподавателем-рецензентом). Экзамен проводится в письменной форме. Студенту предстоит ответить на вопросы экзаменационного билета. Как правило, экзаменационный билет содержит один теоретический вопрос и три практических задания. Определения, теоремы, правила должны формулироваться точно и с пониманием существа дела: решение задач должно выполняться без ошибок и уверенно. Только при выполнении этих условий знания студента могут быть признаны удовлетворяющими требованиям, предъявленными программой.

Программа дисциплины

«МАТЕМАТИКА»

Раздел I. Введение в математический

анализ

Тема 1: Множества. Переменные величины и функции

Числовые множества. Определение функции. Классификация функций. Область определения и область значения функций. Свойства функций: нули функции, четность, нечетность, периодичность, монотонность, точки локального экстремума, промежутки знакопостоянства.

Тема 2. Теория пределов

Предел функции в точке и на бесконечности. Основные теоремы о пределах: предел суммы и разности двух функций, предел произведения двух функций, предел отношения двух функций. Техника вычисления пределов.

Раздел II. Дифференциальное исчисление

Тема 3. Производная и дифференциал функции

Определение производной. Геометрический и механический смысл производной. Правила дифференцирования функции. Таблица производных. Производные от сложных функций. Дифференциал. Производные высших порядков.

Тема 4. Применение производной к исследованию функций

Условия возрастания и убывания функции. Точки экстремума функции. Выпуклость, вогнутость кривой, точки перегиба. Общая схема исследования функции и построения ее графика.

Раздел III. Интегральное исчисление

Тема 5. Неопределенный интеграл

Понятие первообразной. Свойства неопределенных интегралов. Таблица интегралов. Основные методы интегрирования: непосредственный метод, метод подстановки.

Тема 6: Определенный интеграл

Определение определенного интеграла, его геометрический смысл. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона – Лейбница. Основные методы вычисления определенного интеграла: непосредственный метод, метод замены переменных.

Литература

Основная

1. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие., М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. литературы., 1990

2. Алгебра и начала анализа/ Под редакцией Г.Н.Яковлева., М.: Наука.: Наука. Гл. ред. физ. мат. литературы., 1981. – Ч.1,2.

3. Богомолов В.Н. Практические занятия по математике., М.: Высшая школа, 1982.

4. Шипачев В.С. Высшая математика., М.: Высшая школа., 1990.

5. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике., М.: Высшая школа., 1998

6. Апанасов П.Т., Орлов М.И. Сборник задач по математике., М.: Высшая школа., 1987.

Дополнительная

7. Справочник по математике., М.: «Лист».,1999.

8. Математическая энциклопедия. М., 1977 – Т.1; 1979 – Ч.2.; 1983 Т.3.

9. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. литературы., 1989.

Методические указания

Введение в математический анализ

Понятие функции, свойства функций

Определение: Пусть даны два числовых множества X и Y. Функцией называется правило, по которому каждой переменной соответствует одно и только одно значение .

Функция обозначается или или

Переменная x – независимая переменная или аргумент функции; переменная y – зависимая переменная или значение функции.

Определение: Множество всех значений независимой переменной x, при которых функция существует называется областью определения функции и обозначается D(y).

Определение: Множество всех возможных значений зависимой переменной y называется областью значений функции и обозначается E(y).

Используют следующие способы задания функции:

1.Аналитический способ – задание функций с помощью формул. Например,

, .

2.Графический способ – задание функций с помощью графика. Например,

y x

3.Табличный способ – задание функций с помощью таблиц.

Например,

x	-3	-2	-1
y

t
S

Свойства функций приведены в таблице:

Название свойства

Определение

Графическое изображение

Нули функции

Нулём функции называется то значение х, при котором функция обращается в 0, то есть

y x₁ x₂ x₃ x

Нули – это точки пересечения графика функции с осью Ох.

Четность функции

Функция называется чётной, если для любого х из области определения выполняется равенство

y x

Четная функция симметрична относительно оси Оу

Нечет-ность функции

Функция называется нечётной, если для любого х из области определения выполняется равенство

y x

Нечетная функция симметрична относительно начала координат.

Функция которая не является ни чётной,ни нечётной называется функцией общего вида.

y x

Возрас-тание функции

Функция

называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е.

y f(x₂) f(x₁) x₁ x₂ x

Убывание функции

Функция

называется убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е.

y f(x₁) f(x₂) x₁x₂ x

Промежутки, на которых функция либо только убывает, либо только возрастает называются промежутками монотонности.

y x₂ x₁ x

имеет 3 промежутка монотонности:

Локаль-ный максимум

Точка х₀ называется точкой локального максимума, если для любого х из окрестности точки х₀ выполняется неравенство:

y max x₀ x

Локаль-ный минимум

Точка х₀ называется точкой локального минимума, если для любого х из окрестности точки х₀ выполняется неравенство:

y min x₀ x

Точки локального максимума и точки локального минимума называются точками локального экстремума.

y max min x₁ x₂ x

точки локального экстремума.

Перио-дичность функции

Функция f(x) называется периодичной, с периодом Т, если для любого х выполняется равенство

y 0 1 2 3 x

Проме-жутки знакопос-тоянства

Промежутки, на которых функция либо только положительна, либо только отрицательна называются промежутками знакопостоянства.

y x₁ x₂ x₃ x

Непре-рывность функции

Функция

называется непрерывной в точке

, если предел функции при

равен значению функции в этой точке, т.е.

y x

Точки разрыва

Точки, в которых нарушено условие непрерывности называются точками разрыва функции.

y x₀ x

- точка разрыва.

Теория пределов

Определение: Число А называется пределом функции y=f(х) при х, стремящемсяк а, если для любой последовательности чисел х₁, х₂, х_3,…,.х_n _,… сходящейся к числу а, следует, что последовательность значений функции f(х₁), f(х₂),…, f(х_n)… сходится к числу А.

Предел функции в точке а обозначается

Основные теоремы о пределах

Приведем основные теоремы, на которых основано вычисление пределов:

! Все правила имеют смысл, если пределы функций и существуют.

Техника вычисления пределов

При вычислении предела элементарной функции f(x) приходится сталкиваться с двумя существенно различными типами примеров.

· Функция f(x) определена в предельной точке x = a. Тогда

· Функция f(x) в предельной точке x = a не определена или же вычисляется предел функции при x→∞. Тогда вычисление предела требует в каждом случае индивидуального подхода.

Необходимо помнить, что

^{, , , , , .}

Более сложными случаями нахождения предела являются такие, когда функция f(x) в точке x = a или при x→∞ представляет собой неопределенность (типа , , , , , , ).

При вычислении пределов при основные теоремы о пределах сохраняют силу и, кроме того, используются правила:

а) чтобы раскрыть неопределенность типа , необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на наибольшую степень переменной;

б) чтобы раскрыть неопределенность типа , необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на наименьшую степень переменной;

в) чтобы раскрыть неопределенность типа , иногда достаточно числить и знаменатель дроби разложить на множители и затем сократить дробь на множитель, приводящий к неопределенности;

г) чтобы раскрыть неопределенность типа , зависящую от

иррациональности, достаточно перевести иррациональность из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель и сократить на множитель, приводящий к неопределенности;

д) чтобы раскрыть неопределенность типа , необходимо числитель и знаменатель дроби одновременно умножить на сопряженное выражение и тем самым свести к неопределенности вида или .

Рассмотрим некоторые примеры.

Вычислить пределы функций:

Пример 1:

Пример 2:

Пример 3:

Пример 4:

Пример5:

Вопросы для самопроверки:

1. Что называется функцией?

2. Что такое область определения и область значений функции

3. Перечислите способы задания функций, их достоинства.

4. Перечислите основные свойства функций.

5. Дайте определение предела функции в точке.

6. Какая функция называется непрерывной в точке?

7. Сформулируйте основные свойства пределов.

8. Как раскрывается неопределенность вида , ?

Дифференциальное исчисление

Понятие производной

Определение: Производной функции по аргументу x называется предел отношения ее приращения к приращению аргумента x, когда приращение аргумента стремится к нулю:

Если этот предел конечный, то функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x. Если же этот предел есть ∞, то говорят, что функция y=f(x) имеет в точке x бесконечную производную.

Механический смысл производной: скорость есть первая производная пути по времени, т.е. .

Геометрический смысл производной: тангенс угла наклона касательной к графику функции равен первой производной этой функции, вычисленной в точке касания, т.е.

Уравнение касательнойк графику функции в точке :

Уравнение нормали к графику функции в точке :

Таблица производных

Процесс нахождения производных называется дифференцированием функции.

Рассмотрим примеры.

Найти производные функций:

Пример 1:

Решение:

Пример2:

Решение:

Пример 3:

Решение:

Дифференциал функции

Определение: Дифференциалом функции y=y(x) называется произведение ее производной на дифференциал независимой переменной:

Для большей наглядности рассмотрим пример.

Пример 1: Найти дифференциал функции

Решение:

Так как , то .

Дифференцирование сложной функции

Пусть y= y(u), где u= u(x) – дифференцируемые функции. Тогда сложная функция y=y[u(x)] есть также дифференцируемая функция, причем

, или

Это правило распространяется на цепочку из любого конечного числа дифференцируемых функций: производная сложной функции равна произведению производных функций, ее составляющих.

Производные сложных функций находятся при помощи таблицы: