Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Нормальное распределение

Среди распределений непрерывных случайных величин центральное место занимает нормальный закон или закон распределения Гаусса, плотность вероятности которого имеет вид:

, (5)

где – параметры нормального распределения.

Так как нормальное распределение зависит от двух параметров и , то его называют ещё двухпараметрическим распределением.

Нормальный закон распределения применяется в тех случаях, когда случайная величина Х является результатом действия большого числа различных факторов. Каждый фактор в отдельности на величину Х влияет незначительно и нельзя указать, какой именно в большей степени, чем остальные. Примерами случайных величин, имеющих нормальное распределение, могут служить: отклонение действительных размеров деталей, обработанных на станке, от номинальных размеров, ошибки при измерении, отклонения при стрельбе и другие.

Докажем, что в формуле (5) параметр а является математическим ожиданием, а параметр – среднеквадратическим отклонением:

Первый из интегралов равен нулю, так как подынтегральная функция является нечетной. Второй интеграл известен как интеграл Пуассона:

Вычислим дисперсию:

График плотности вероятности нормального распределения называют нормальной кривой Гаусса (рис.3).

Рис.3.

Отметим некоторые свойства кривой:

1.Функция плотности распределения вероятностей определена на всей числовой оси, то есть .

2.Область значений функции , то есть кривая Гаусса располагается выше оси абсцисс и не пересекает её.

3. Ветви кривой Гаусса асимптотически стремятся к оси , то есть

4.Кривая симметрична относительно прямой . Таким образом для нормального распределения математическое ожидание совпадает с модой и медианой распределения.

5.Функция имеет один максимум в точке с абсциссой , равный . С возрастанием кривая Гаусса становится более пологой, а при убывании – более «островершинной».

6. Кривая Гаусса имеет две точки перегиба с координатами и .

7.Если при неизменном изменять математическое ожидание, то кривая Гаусса будет сдвигаться вдоль оси : вправо – при возрастании а, и влево – при убывании.

8.Асимметрия и эксцесс для нормального распределения равны нулю.

Найдем вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону на участок . Известно, что

Поэтому

Пользуясь заменой переменной

получим:

. (6)

Интеграл не выражается через элементарные функции, поэтому для вычисления интеграла (6) пользуются таблицами значений специальной функции, которая называется функцией Лапласа, и имеет вид:

После несложных преобразований получим формулу для вероятности попадания случайной величины на заданный промежуток :

. (7)

Функция Лапласа обладает следующими свойствами:

1. .

2. является нечетной функцией.

3. .

График функции распределения приведен на рис.4.

Рис.4.

Пусть требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины Х по абсолютной величине не превосходит заданного положительного числа , то есть вероятность осуществления неравенства .

Воспользуемся формулой (7) и свойством нечетности функции Лапласа:

Положим и выберем . Тогда получим:

Это означает, что для нормально распределенной случайной величины с параметрами а и выполнение неравенства является практически достоверным событием. В этом заключается так называемое правило «трех сигм».

⇐ Предыдущая 12