Нормальное распределение
⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2 Среди распределений непрерывных случайных величин центральное место занимает нормальный закон или закон распределения Гаусса, плотность вероятности которого имеет вид:
где Так как нормальное распределение зависит от двух параметров Нормальный закон распределения применяется в тех случаях, когда случайная величина Х является результатом действия большого числа различных факторов. Каждый фактор в отдельности на величину Х влияет незначительно и нельзя указать, какой именно в большей степени, чем остальные. Примерами случайных величин, имеющих нормальное распределение, могут служить: отклонение действительных размеров деталей, обработанных на станке, от номинальных размеров, ошибки при измерении, отклонения при стрельбе и другие. Докажем, что в формуле (5) параметр а является математическим ожиданием, а параметр
Первый из интегралов равен нулю, так как подынтегральная функция является нечетной. Второй интеграл известен как интеграл Пуассона:
Вычислим дисперсию:
График плотности вероятности нормального распределения называют нормальной кривой Гаусса (рис.3).
Рис.3. Отметим некоторые свойства кривой: 1.Функция плотности распределения вероятностей определена на всей числовой оси, то есть 2.Область значений функции 3. Ветви кривой Гаусса асимптотически стремятся к оси 4.Кривая симметрична относительно прямой
5.Функция имеет один максимум в точке с абсциссой 6. Кривая Гаусса имеет две точки перегиба с координатами 7.Если при неизменном 8.Асимметрия и эксцесс для нормального распределения равны нулю.
Найдем вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону на участок
Поэтому
Пользуясь заменой переменной
получим:
Интеграл
После несложных преобразований получим формулу для вероятности попадания случайной величины на заданный промежуток
Функция Лапласа обладает следующими свойствами: 1. 2. 3. График функции распределения приведен на рис.4.
Рис.4. Пусть требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины Х по абсолютной величине не превосходит заданного положительного числа Воспользуемся формулой (7) и свойством нечетности функции Лапласа:
Положим
Это означает, что для нормально распределенной случайной величины с параметрами а и
Читайте также: Вопрос 43. Распределение ускорений в твердом теле (формула Ривальса). Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|