Метод введения новой переменной.
Методы решения уравнений и неравенств повышенной сложности в математических олимпиадах Яковлев Артем, 10 класс, Маряхичева О.А.., учитель математики МБОУ «СОШ п.Опытный» Цивильского района ЧР Краткая аннотация: Ключевые слова: математика, уравнения, неравенства, нестандартные способы решения Ежегодно я принимаю участие в олимпиадах по математике различного уровня, где встречаюсь с решением уравнений и неравенств. Я решил изучить нестандартные методы решения уравнений и неравенств, что бы применять их в следующем году. Поэтому Цель моей работы: Изучить и научиться применять методы решения уравнений и неравенств, встречающихся в математических олимпиадах. Задачи: 1) Изучить и разобрать различные методы решений уравнений и неравенств 2) Выбрать несколько наиболее простых и понятных способов решения 3) Попробовать применить эти способы решений в математических олимпиадах последних 3-ёх лет 4) Сделать вывод об актуальности этих методов в решении уравнений и неравенств в математических олимпиадах. Исследуя литературу по данной теме, я выделил для себя 4 основных метода решения уравнений и неравенств: 1) Метод разложения на множители 2) Метод введения новой переменной 3) Функционально-графический метод. 4) Использование классических неравенств при решении олимпиадных задач Рассмотрим данные методы более подробно. Метод разложения на множители Алгебраические уравнения и неравенства можно представить в виде P(x) = 0, P(x) ≤ 0 или P(x) ≥0 соответственно, где P(x) – многочлен. При решении алгебраических уравнений и неравенств зачастую приходится раскладывать многочлен на множители, то есть представлять его в виде произведения нескольких многочленов. Основным способам разложения многочлена на множители является применение формул сокращенного умножения, выделение полного квадрата, вынесение общего множителя, подбор корня многочлена по его старшему и свободному коэффициентам (следствие теоремы Безу).
Пример 1. Решите уравнение y - y 2-2 y 3= Р ешение. Необходимо преобразовать уравнение таким образом, чтобы выделить куб суммы или разности двух выражений. 3 y - 3 y 2 - 6 y 3 -1 = 0, y 3-3 y 2+3 y -1-7 y 3=0, (y -1)3=7 y 3. Извлечем корень кубический из правой и левой частей уравнения, получим y - 1 = y Далеко не всегда многочлены имеют рациональные корни. В этом случае при разложении на множители приходится искать специальные способы – искусственные приемы: представление одного из слагаемых в виде суммы, прибавление и вычитание одного и того же выражения с целью последующей группировки, деление многочлена на многочлен (после отыскания корней по следствию из теоремы Безу). Пример 2: Разложить на множители x4 +3x3 –x2-4x+2. Целых корней многочлен не имеет (нужно проверить лишь делители числа 2). Проведем группировку слагаемых: (x4+x3) + (2x3+2x2)+(-2x2-2x) –x2 -2x-2= x2(x2+x) + + 2x(x2+x)-2(x2+x) – (x2+2x-2) = (x2+x) (x2+2x-2)- (x2+2x-2)= (x2+2x-2) (x2+x-1) Пример 3: Решите неравенство t 4-4 t 3+12 t 2-24 t +24<0 Решение.
(t 2-2 t)2+(8 t 2-24 t +24)<0. Но (t 2 - 2 t)2 ³ 0 для любых t, а 8 t 2 - 24 t + 24 > 0 для любых t, так как а>0, а дискриминант – отрицательный. Следовательно, все неравенство будет больше нуля. Ответ: решений нет. Метод введения новой переменной. Суть метода: 1. В уравнении какая-то его часть заменяется другой переменной (a,y,t,...) (прежнее неизвестное одновременно с новым в уравнении быть не может);
2. Решается новое уравнение; 3. Возвращаются к обозначенному и, используя полученное число (корни), вычисляется требуемое неизвестное. Но в уравнениях и неравенствах олимпиадного характера не всегда очевидно что надо заменять. Решим уравнение:
2y ( 1) 2y = 0 y = 0 x = -7 2)
3 4
z = 19 ± 6 y = ± x = -7 ± Здесь надо было заметить, что 7 – это число, относительно которого симметричны числа, стоящие в знаменателях исходного уравнения. Функционально-графический метод.
Чаще всего функционально-графический метод применяют, когда в обеих частях уравнения стоят функции разного вида. Такое уравнение имеет вид f (x) = g (x) Алгоритм функционально-графического метода заключается в следующем.
1. Правую и левую части уравнений f (x) и g (x) рассматривают как функции, входящие в уравнение. 2. В одной координатной системе строят графики функций у = f (x) и y = g (x). Корнями уравнения будут являться абсциссы точек пересечения построенных графиков. Пример 1. Решите уравнение [Всероссийская олимпиада по математике школьный этап 2012–2013 учебный год]. Упростим левую часть x+2x=3x, если x >0 График будет такой: Значение функции будет равно 3 при х= 1. Ответ: 1.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|