Образование комплексного чертежа. Комплексный чертеж отрезка прямой

ВВЕДЕНИЕ

С древнейших времен человечество пыталось отобразить окружающий нас мир в виде изображений на поверхности каких-либо материалов. В роли этих поверхностей могли выступать в разное время гладкие поверхности скал, кожа, пергамент, береста, камень, дерево и, наконец, бумага. Эти изображения несли в себе графическую информацию, которую можно было передавать друг другу и, что особенно ценно, следующим поколениям. Осознанно или, не осознавая этого, графические изображения строились методами проецирования. Все графические изображения можно подразделить на два вида. К первому из них относятся рисунок и живопись, ко второму – чертеж. Несмотря на то, что оба вида изображений получены методами проецирования, между ними имеется существенная разница, заключающаяся в следующем. В рисунке или живописной картине автор отображает собственное видение и индивидуальное восприятие окружающего мира. И это замечательно, т.к. рисунок и живопись являются искусством. В отличие от художественного рисунка чертеж не должен нести в себе никаких черт индивидуального восприятия, а должен быть выполнен по определенным законам и правилам для того, чтобы восприниматься абсолютно одинаково, независимо от того, кто его выполнял или кто его использовал в работе.

Предметом изучения начертательной геометрии являются методы построения чертежей. Задолго до того, как начертательная геометрия оформилась как наука, человечество уже пользовалось чертежами. Однако эти чертежи представляли собой смесь рисунка и чертежа в современном понимании.

Основателем начертательной геометрии по праву считается великий французский ученый и политический деятель Гаспар Монж. Именно он заложил теоретические основы начертательной геометрии в том виде, в котором мы до сих пор ими пользуемся.

Основной целью изучения начертательной геометрии в вузе является освоение закономерностей, по которым строятся графические изображения методами проецирования, а также развитие пространственного мышления у студентов.

 

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБРАЗЫ

С позиций начертательной геометрии предметы окружающего нас мира являются геометрическими образами. Абстрагируясь их можно свести к трем геометрическим образам: точка, линия и поверхность. Точка – это геометрический образ, не имеющий размеров. В результате движения точки по какой-либо траектории образуется геометрический образ, называемый линией, т.е. линия – это траектория движения точки. Линия имеет одно измерение – это ее длина. В результате движения линии образуется геометрический образ, называемый поверхностью, т.е. поверхность – это траектория движения линии по определенному закону. Поверхность имеет два измерения. Плоскость является частным случаем поверхности. Поверхность считается не имеющей толщины, но при этом является непрозрачной. Способ получения геометрических образов путем движения какого-либо другого геометрического образа называется кинематическим способом.

В данном курсе начертательной геометрии для обозначения геометрических образов на чертеже вводятся следующие обозначения. Для точек вводится обозначение в виде заглавных букв латинского алфавита (A, B, C …). Линии обозначаются строчными буквами латинского алфавита (a, b, c …). Поверхности обозначаются заглавными буквами греческого алфавита (например, Δ, Γ, Σ, Φ …).

 

МЕТОДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ

Основой аппарата получения графических изображений является проецирование. Понятие проецирования встречается в нашей повседневной жизни независимо от нас. Например, тени предметов, отражения в зеркале или на поверхности воды являются проекциями, созданными самой природой. В начертательной геометрии при построении изображений используют следующие методы проецирования: метод центрального проецирования, метод параллельного проецирования, метод прямоугольного или ортогонального проецирования.

Метод центрального проецирования. Точки A, O иплоскость Π₁ находятся в пространстве. Если из точки O провести луч через точку A до пересечения с плоскостью Π₁, то точка A₁ пересечения луча с плоскостью Π₁ называется проекцией точки A на плоскость Π₁ (рис.3.1). При этом точка O называется центром проекций; луч, исходящий из точки O, называется проецирующим лучом; плоскость Π₁ называется плоскостью проекций. Такое проецирование называется центральным.

Для того, чтобы получить проекцию отрезка прямой линии, достаточно спроецировать две его точки. Тогда центральной проекцией отрезка BC на плоскость Π₁ будет являться отрезок прямой линии B₁C₁ (рис.3.1).

Методом центрального проецирования строятся перспективные изображения. Зрительные органы человека воспринимают окружающий мир на сетчатке глаза по принципам центрального проецирования. Поэтому наиболее наглядными изображениями являются изображения, полученные по методу центрального проецирования.

Метод параллельного проецирования. В случае если центр проекций O удалить в бесконечность, проецирующие лучи станут параллельными определенному направлению и друг другу. Такой способ проецирования называется параллельным (рис.3.2). В этом случае отрезок прямой B₁C₁ называется параллельной проекцией отрезка BC на плоскость проекций Π₁.

Параллельное проецирование является частным случаем центрального проецирования, когда центр проекций удален в бесконечность.

Метод ортогонального (прямоугольного) проецирования. В случае, если параллельные проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций, то метод проецирования называется прямоугольным или ортогональным. Проекции, полученные таким методом, называются ортогональными или прямоугольными проекциями (рис.3.3).

 

 

В дальнейшем в настоящем курсе начертательной геометрии используется метод ортогонального проецирования.

Обратимость чертежа. Проекции, полученные вышеописанными методами проецирования на одну плоскость проекций, не обладают свойством обратимости или однозначности чертежа. Это свойство заключается в том, что при проецировании на одну плоскость проекций можно получить проекцию оригинала геометрического образа, расположенного в пространстве. При этом, имея одну проекцию геометрического образа, невозможно восстановить однозначно положение оригинала геометрического образа в пространстве. Например, проекция отрезка CD (C₁D₁) совпадает с проекцией отрезка AB (A₁B₁). Поэтому по этой проекции невозможно судить о каком отрезке в пространстве идет речь (рис.3.4). Это утверждение относится ко всем трем методам проецирования.

 

ОБРАЗОВАНИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ

Для устранения неоднозначности чертежа, получаемого проецированием на одну плоскость проекций, Г.Монж предложил проецировать на две плоскости проекций (рис.4.1). При этом плоскость проекций Π₁ принято считать горизонтальной, а вторую плоскость проекций Π₂ располагать перпендикулярно первой и называть ее фронтальной. Проекции геометрических образов на плоскости проекций должны иметь те же индексы, что и плоскости проекций, и называться соответственно горизонтальной и фронтальной проекцией геометрического образа.

Однако, как совместить пространственное положение двух плоскостей проекций с плоским листом бумаги, на котором строится изображение? Для этого необходимо мысленно повернуть одну из плоскостей проекций вокруг их линии пересечения до совмещения с другой плоскостью проекций. В этом случае обе плоскости как бы совмещаются в одной. Проекции проецирующих лучей соединяются в одну прямую линию и чертеж отрезка прямой можно изобразить на листе бумаги как на рис.4.2. При этом нет необходимости каждый раз писать название плоскостей, изображать их контуры и линию их пересечения. Достаточно показать фронтальную и горизонтальную проекции геометрического образа, а также проекции проецирующих лучей, которые называются линиями связи. Результат упрощений показан на рис.4.3. Такой чертеж называется комплексным чертежом. В данном случае приведен комплексный чертеж отрезка прямой линии. Комплексный чертеж обладает свойством обратимости чертежа, т.е. по оригиналу геометрического образа можно получить его проекции, а по его проекциям можно однозначно восстановить оригинал геометрического образа в пространстве. Комплексный чертеж по-иному можно назвать взглядом на геометрический образ с двух разных точек зрения. Горизонтальная проекция – это взгляд на геометрический образ сверху, а фронтальная проекция – это взгляд на геометрический образ спереди.

 

 

Величина длины отрезка в пространстве (натуральная величина) при проецировании искажается. При прямоугольном проецировании длина проекции отрезка всегда меньше (или равна) натуральной величине отрезка в пространстве. Для ее нахождения необходимо рассмотреть прямоугольный треугольник ABA^/, в котором натуральная величина отрезка является гипотенузой (рис.4.4, 4.5).

 

 

Для определения величины гипотенузы достаточно построить катеты этого прямоугольного треугольника, которыми являются величина одной из проекций, например, A₁B₁ и величина разницы по высоте между точками A и B. Эту разницу можно взять с другой плоскости проекций A₂A₂^/. Аналогичным образом можно построить другой прямоугольный треугольник, который образуется при проецировании на фронтальную плоскость проекций. При этом одним из катетов будет фронтальная проекция отрезка A₂B₂, а вторым катетом является расстояние, которым определяется то, насколько одна точка ближе (или дальше) другой. Это расстояние измеряется на горизонтальной плоскости проекций. Таким образом, можно построить два разных прямоугольных треугольника, но гипотенуза у них будет одинаковая по величине и равная натуральной величине отрезка. Эти треугольники можно построить на комплексном чертеже, начертив второй катет непосредственно к проекции, являющейся первым катетом. При этом необходимо помнить, что приведенные построения не являются элементами комплексного чертежа, а всего лишь позволяют определить натуральную величину отрезка.

При проецировании искажаются не только длины отрезков, но и величины углов. Произвольный по величине угол между двумя прямыми линиями проецируется в натуральную величину на плоскость проекций, если его стороны параллельны плоскости проекций. В отличие от произвольного угла, прямой угол проецируется в натуральную величину на плоскость проекций, если хотя бы одна из его сторон параллельна этой плоскости проекций (это можно доказать, используя теорему о трех перпендикулярах). Последнее утверждение носит название теоремы о проецировании прямого угла.

 

 

е положения плоскостей.

1. Плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций, называется фронтально проецирующей (рис.6.10).

2. Плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтально проецирующей (рис.6.11).

3. Плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтальной плоскостью уровня (рис.6.12).

4. Плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций, называется фронтальной плоскостью уровня (рис.6.13).

Плоскости уровня одновременно являются и проецирующими плоскостями. Плоскости частного положения можно задавать вышеперечисленными способами, а также, так называемой, вырожденной проекцией. Одна из проекций плоскости частного положения вырождается в прямую линию на той плоскости проекций, по отношению к которой она занимает проецирующее положение. Вторая проекция занимает всю область на второй плоскости проекций, как обычно, но ее не показывают (рис.6.10-6.13).

 

 

Прямые уровня и прямые ската проецирующих плоскостей и плоскостей уровня претерпевают некоторые изменения. На рис.6.14-6.17 заданы те же плоскости, что на рис.6.10-6.13, но с помощью пересекающихся прямых, в роли которых выступают фронтали и горизонтали. Для фронтально проецирующей плоскости ее горизонталь превращается в фронтально проецирующую прямую, а фронтальная проекция фронтали совпадает с вырожденной проекцией плоскости. Для горизонтально проецирующей плоскости ее фронталь превращается в горизонтально проецирующую прямую, а горизонтальная проекция горизонтали совпадает с вырожденной проекцией плоскости. Для горизонтальной плоскости уровня горизонтальная проекция горизонтали может располагаться как угодно, а фронтальная проекция горизонтали совпадает с вырожденной проекцией плоскости, фронталь при этом превращается в профильно проецирующую прямую. Для фронтальной плоскости уровня фронтальная проекция фронтали может располагаться как угодно, а горизонтальная проекция фронтали совпадает с вырожденной проекцией плоскости, горизонталь при этом превращается в профильно проецирующую прямую.

Для проецирующих плоскостей линиями ската являются сами фронтали и горизонтали, т.к. они перпендикулярны друг другу. Для плоскостей уровня одна из линий ската может быть любой прямой, лежащей в плоскости, а вторая превращается в проецирующую прямую.

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: