Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Проверка нормальности распределения критерием Шапиро-Уилка

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К выполнению курсовых работ по курсу

«Математическая обработка результатов эксперимента»

д.т.н., профессор

Александровская Л.Н.

Кириллин А.В.

Москва 2016

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Целью выполнения курсовой работы является закрепление теоретического материала и получение практических навыков обработки результатов эксперимента.

Результатами эксперимента являются результаты летных испытаний самолета ТУ-154.

В качестве исследуемого параметра выбрана вертикальная скорость в момент касания взлетно-посадочной полосы (ВПП), лимитирующая надежность и безопасность автоматической посадки по III А категории.

Для обработки предоставляются три массива измерений вертикальной скорости (в м/с), полученных в различающихся условиях:

1. Посадка на ВПП с автоматическим сбросом газа

X₁ = 0,7 X₂ = 0,4 X₃ = 0,9 X₄ = 0,8 X₅ = 1,5 X₆ = 1,2 X₇ =1,0 X₈ = 1,2

X₉ = 1,4 X₁₀ = 1,1 X₁₁ = 1,2 X₁₂ = 0,8 X₁₃ = 1,3 X₁₄ = 1,2 X₁₅ = 0,45 X₁₆ = 1,4

2. Оценка качества в предельных эксплуатационных условиях

X₁₇ = 1,3 X₁₈ = 0,9 X₁₉ = 1,1 X₂₀ = 1,2 X₂₁ = 1,1 X₂₂ = 1,7 X₂₃ = 0,6 X₂₄ = 1,0 X₂₅ = 1,6

X₂₆ = 0,6 X₂₇ = 0,4 X₂₈ = 0,4 X₂₉ = 0,8 X₃₀ = 0,1 X₃₁ = 0,5 X₃₂ = 0,4 X₃₃ = 0,6 X₃₄ = 1,0

X₃₅ = 1,3 X₃₆ = 0,9 X₃₇ = 1,0 X₃₈ = 0,8 X₃₉ = 0,2 X₄₀ = 0,6 X₄₁ = 1,0 X₄₂ = 0,8 X₄₃ = 1,0

3. Уточнение методики выполнения автоматического выравнивания

X₄₄ = 1,3 X₄₅ = 1,4 X₄₆ = 0,5 X₄₇ = 0,7 X₄₈ = 0,7 X₄₉ = 0,4 X₅₀ = 1,3 X₅₁ = 1,4 X₅₂ = 0,1 X₅₃ = 0,8

X₅₄ = 0,7 X₅₅ = 0,3 X₅₆ = 0,4 X₅₇ = 0,2 X₅₈ = 0,4 X₅₉ = 0,1 X₆₀ = 0,7 X₆₁ = 0,6 X₆₂ = 0,1 X₆₃ = 0,6

X₆₄ = 0,7 X₆₅ = 0,1 X₆₆ = 0,7 X₆₇ = 0,5 X₆₈ = 1,1 X₆₉ = 1,1 X₇₀ = 0,1 X₇₁ = 0,1

Задачей обработки является определение значения вертикальной скорости V_y_доп такого, что

Вер с доверительной вероятностью γ = 0,95,

т.е. толерантного интервала для заданного значения R₃.

На рис. 1 представлена структурная схема решения поставленной задачи.

Рис. 1. - Структурная схема решения поставленной задачи

В рамках приведенной структуризации студенты выбирают тему курсовой работы.

Защита курсовой работы проходит в форме кафедральной студенческой конференции.

ОФОРМЛЕНИЕ РАБОТЫ

1. Работа оформляется в электронном виде. На защиту предоставляется распечатка, дискета, иллюстративный материал, необходимый для доклада.

2. Работа должна содержать титульный лист, введение, теоретическую часть, экспериментальную часть, выводы, список использованной литературы.

3. На титульном листе помещается название института, кафедры, курса, работы, ФИО студента, преподавателя, группа студента.

4. Во введении анализируется роль и место выбранной частной задачи в общей задаче.

5. В теоретической части проводится аналитический обзор возможных методов решения частной задачи, выбор конкретного метода и алгоритма ее решения.

6. В экспериментальной части указывается, с помощью какого программного средства произведены расчеты, приводятся результаты расчетов.

7. В выводах анализируются полученные результаты и принятое на их основе решение.

ЗАДАНИЕ №1

ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОДНОРОДНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ

Исходные данные:

Имеется 4 группы результатов летных испытаний самолета ТУ-154, полученных при различающихся условиях.

1. n=16

V_y(м/с) = 0.7; 0.4; 0.9; 0.8; 1.5; 1.2; 1.0; 1.2; 1.4; 1.1; 1.2; 0,8; 1.3; 1.2; 0,45; 1.4

2. n=27

V_y(м/с) = 1.3; 0.9; 1.1; 1.2; 1.1; 1.7; 0.6; 1.0; 1.6; 0.6; 0.4; 0.4; 0.8; 0.1; 0.5; 0.4; 0.6; 1.0; 1.3; 0.9; 1.0; 0.8; 0.2; 0.6; 1.0; 0.8; 1.0

3. n=28

V_y(м/с) = 1.3; 1.4; 0.5; 0.7; 0.7; 0.4; 1.3; 1.4; 0.1; 0.8; 0.7; 0.3; 0.4; 0.2; 0.4; 0.1; 0.7; 0.6; 0.1; 0.6; 0.7; 0.1; 0.7; 0.5; 1.1; 1.1; 0.1; 0.1

4. n=60

m=0.8 м/с

=0.4

Вариант 1. Проверка однородности методом парных сравнений.

1. Рассчитать для каждой выборки m, S², m₃, m₄ и показатели асимметрии и эксцесса по формулам:

;

2. Проверить нормальность законов распределения вероятностей выборок по критерию Крамера.

;

где U_1-α/2 – квантиль стандартного нормального распределения.

3. Проверить равенство дисперсий по критерию Фишера для двух наиболее различающихся оценок:

где – соответственно максимальная и минимальная из 4-х дисперсий;

n₁, n₂ – объем их выборок;

F_{1 – α} – квантиль распределения Фишера.

4. Проверить равенство математических ожиданий для двух наиболее различающихся оценок: ,

где – оценки дисперсии, соответствующие m_max, m_min;

t_{1- α}– квантиль распределения Стьюдента.

– округлить до ближайшего меньшего числа.

Вариант 2. Проверка однородности методом парных сравнений

1) Повторить пункты 3-4 для сравнения результатов наиболее отличающихся от значений m = 0.8 м/c; σ = 0.4;

2) Проанализировать полученные результаты.

ЗАДАНИЕ №2

ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОДНОРОДНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ МНОГОМЕРНЫМ МЕТОДОМ

1. Проверка равенства дисперсий по критерию Бартлетта.

;

При гипотеза равенства дисперсий принимается.

2. Проверка равенства р математический ожиданий:

где F_1-_α - квантиль распределения Фишера.

;

При гипотеза равенства математических ожиданий принимается.

ЗАДАНИЕ №3

ПРОВЕРКА ОДНОРОДНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСПЕРСИЯМ И МАТЕМАТИЧЕСКОМУ ОЖИДАНИЮ

1. Рассчитать оценки и проверить гипотезы однородности:

;

где F_{1 – α} – квантиль распределения Фишера;

α – уровень значимости.

В числитель помещается большая из оценок .

где t – квантиль распределения Стьюдента;

m₁> m₂;

При каком уровне значимости неравенство выполняется?

2. Рассчитать погрешности статистических решений по приближенным формулам:

;

при α = β = 0,05; 0,1;

n = 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100.

3. Результаты расчетов внести в таблицы и проанализировать.

ЗАДАНИЕ №4

ПРОВЕРКА НОРМАЛЬНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТНОЙ СКОРОСТИ САМОЛЕТА В МОМЕНТ КАСАНИЯ ВЗЛЕТНО-ПОСАДОЧНОЙ ПОЛОСЫ

Исходные данные приведены в лекции.

Проверить возможность аппроксимации приведенных данных нормальным законом распределения по ряду критериев:

1) Критерий Шапиро-Уилка;

2) Критерий Шапиро-Франчиа.

Проанализировать полученные результаты: какой из критериев является более жестким.

Проверка нормальности распределения критерием Шапиро-Уилка

Исходная выборка упорядочивается.

Вычисляются статистики:

для при четных n, при нечетных n, где коэффициенты a_n_-_k₊₁ затабулированы.

2) Вычисляется статистика критерия и сравнивается с критическими точками.

При W < W_α гипотеза нормальности отвергается. Критерий применяется при n = 3 – 50, расчет мощности отсутствует.

Таблица 1

Значения коэффициента a _n_-_i₊₁


	0,707 0,687 0,665 0,643 0,623 0,605 0,589 0,574 0,56 0,547 0,536 0,525 0,515 0,506 0,497 0,489 0,481 0,473 0,464 0,459 0,454 0,449 0,445 0,441 0,437 0,433 0,429 0,425	0,168 0,241 0,280 0,303 0,316 0,324 0,329 0,33 0,332 0,332 0,332 0,331 0,329 0,327 0,325 0,323 0,321 0,318 0,316 0,313 0,310 0,307 0,304 0,302 0,299 0,279 0,294	0,09 0,14 0,174 0,198 0,214 0,226 0,235 0,241 0,246 0,249 0,252 0,254 0,255 0,256 0,256 0,258 0,257 0,256 0,255 0,254 0,253 0,252 0,251 0,250	0,056 0,095 0,122 0,143 0,159 0,171 0,180 0,188 0,194 0,199 0,203 0,206 0,208 0,212 0,213 0,214 0,214 0,215 0,215 0,215 0,215 0,215 0,215	0,04 0,07 0,092 0,11 0,124 0,135 0,145 0,152 0,159 0,164 0,169 0,174 0,176 0,179 0,181 0,182 0,184 0,185 0,186 0,186 0,187	0,03 0,054 0,073 0,088 0,100 0,111 0,120 0,127 0,133 0,140 0,144 0,148 0,151 0,154 0,156 0,158 0,160 0,162 0,163	0,024 0,043 0,059 0,072 0,084 0,093 0,101 0,109 0,115 0,120 0,124 0,128 0,132 0,135 0,137 0,139 0,141	0,019 0,036 0,050 0,061 0,071 0,080 0,088 0,094 0,100 0,105 0,109 0,113 0,116 0,119 0,122	0,016 0,030 0,042 0,053 0,062 0,070 0,076 0,082 0,088 0,092 0,096 0,100 0,104	0,014 0,026 0,037 0,060 0,054 0,061 0,067 0,073 0,078 0,082 0,086	0,012 0,023 0,032 0,040 0,048 0,054 0,060 0,065 0,070

Таблица 2

Значения критических точек W_α для различных уровней значимости

	0,01	0,02	0,05	0,1	0,5
	0,753 0,687 0,686 0,713 0,73 0,749 0,764 0,781 0,792 0,805 0,814 0,825 0,835 0,844 0,851 0,858 0,863 0,686 0,873 0,878 0,881 0,884 0,888 0,891 0,894 0,896 0,898 0,9 0,902 0,904 0,906 0,908 0,91	0,756 0,707 0,715 0,743 0,76 0,778 0,791 0,806 0,817 0,828 0,837 0,846 0,855 0,863 0,869 0,874 0,879 0,884 0,888 0,,892 0,895 0,898 0,901 0,904 0,906 0,908 0,91 0,912 0,914 0,915 0,917 0,919 0,92	0,767 0,748 0,762 0,788 0,803 0,818 0,829 0,842 0,85 0,859 0,866 0,874 0,881 0,887 0,892 0,897 0,901 0,905 0,908 0,911 0,914 0,916 0,918 0,92 0,923 0,924 0,926 0,927 0,929 0,93 0,931 0,933 0,934	0,789 0,792 0,806 0,826 0,838 0,851 0,859 0,869 0,876 0,883 0,889 0,895 0,901 0,906 0,91 0,914 0,917 0,92 0,923 0,926 0,928 0,93 0,931 0,933 0,935 0,936 0,937 0,939 0,94 0,93 0,942 0,943 0,944	0,959 0,935 0,927 0,927 0,928 0,932 0,935 0,938 0,94 0,943 0,945 0,947 0,95 0,952 0,954 0,956 0,957 0,959 0,96 0,961 0,962 0,963 0,964 0,965 0,965 0,966 0,966 0,967 0,967 0,968 0,968 0,969 0,969

Критерий Шапиро-Франчиа

Статистика критерия имеет вид:

где m_i_,_n – математическое ожидание i-й порядковой статистики стандартного нормального распределения.

Применяется аппроксимация:

где не искажает существенно критерий W’.

Используя аппроксимацию для квантиля стандартного нормального распределения, можно записать:

и для имеем:

При гипотеза нормальности отвергается. Критерий может применяться при больших значениях n.

ЗАДАНИЕ №5

ПОСТРОЕНИЕ ЭМПИРИЧЕСКОГО ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Исходные данные: на практическом занятии.

1) Построить вариационный ряд: x₁, …, x_n.

2) Каждому значению вариационного ряда поставить в соответствие вероятность .

3) Построить график эмпирического закона распределения.

4) На этом же графике для тех же значений x_i построить функцию нормального закона распределения.

5) Сравнить эмпирический и нормальный законы распределения по критерию Колмогорова по таблицам или формуле .

6) Сделать выводы.

ЗАДАНИЕ №6

ПОСТРОЕНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ТОЛЕРАНТНОГО ИНТЕРВАЛА

Исходные данные приведены на лекции.

Построить параметрический толерантный интервал для законов распределения – нормального, полунормального, равномерного, рэлеевского, логистического, Пирсона.

1) Построить односторонний толерантный интервал для нормального закона распределения по приближенной формуле:

для R₃ = 0,95; 0,975; 0,99;

γ = 0,9; 0,95;

n = 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100.

2) Построить односторонние толерантные интервалы для равномерного, рэлеевского, логистического, Пирсона распределений по приближенной формуле:

где ,

P_R₃находится по таблицам квантилей распределения Пирсона для показателей асимметрии β₁ и β₂, приведенных в таблице 1.

Таблица 1

Распределение	β₁	β₂
Равномерное		1,8
Логистическое		4,2
Полунормальное	(0,995)²	3,869
Рэлеевское	(0,63)²	3,26
Пирсона (экспериментальное)		2,1

для указанных выше значений R3, γ, n.

Результаты расчетов внести в таблицы. Сравнить со случаем нормального закона распределения.

3) Проверить, какое значение вертикальной скорости самолета ТУ-154 в момент касания взлетно-посадочной полосы подтверждается с R3 = 0,95, γ = 0,9, n = 71, m = 0,8, S = 0,4, β₁ = 0, β₂= 2,1 по формуле:

x_max = m + KS

при аппроксимации экспериментальных данных указанными законами распределения.

ЗАДАНИЕ №7

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О ЗНАЧЕНИИ ВЕРОЯТНОСТИ ВЫПОЛНЕНИЯ ТРЕБОВАНИЙ

Исходные данные приведены в лекции.

Построить доверительный интервал на параметрическую оценку вероятности выполнения требований. Проверить статистическую гипотезу R ≥ R₃ при R₃ = 0,95; γ = 0,9; x_доп = 1,5; x_доп = 1,6; x_доп = 1,7.

1) Рассчитать оценки:

2) Рассчитать коэффициент:

3) Построить доверительный интервал на оценку :

где – квантили стандартного нормального распределения.

4) Построить области принятия гипотез R > R₃, R < R₃, R = R₃, по соотношению:

и определить область, соответствующий K из (1).

5) Рассчитать точность статистического решения по соотношению:

при α = β= 1 – γ для

n = 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100;

γ = 0,9; 0,95 и различных K из (1).

6) Результаты внести в таблицу и проанализировать.

ЗАДАНИЕ №8

ПОСТРОЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ГИСТОГРАММЫ, ГИСТОГРАММЫ ЧАСТОТ, СООТВЕТСТВУЮЩИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЮ ПИРСОНА. ПРОВЕРКА СОГЛАСОВАННОСТИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ И ВЫРОВНЕННЫХ ДАННЫХ

1. Рассчитать m₁, S², β₁, β₂методом, приведенным на лекции.

2. По гистограмме определить тип семейства Пирсона.

3. Для второго типа распределения Пирсона рассчитать частоты по формулам:

;

4. Проверить согласованность экспериментальных и выровненных данных по критерию x²:

5. Построить экспериментальные и выровненные гистограммы, проверить их согласие по критерию Колмогорова:

6. Сделать выводы.

ЗАДАНИЕ №9

РАСЧЕТ НАИБОЛЬШЕГО ОЖИДАЕМОГО ЗНАЧЕНИЯ В ВЫБОРКЕ ОБЪЕМА n ИЗ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Рассчитать z при n = 100, 1000, 10⁴, 30 000, 10⁵, 300 000, 10⁶, 2,3*10⁶.

2. Сравнить с квантилями стандартного нормального распределения 0,99 (n = 100); 0,999 (n = 10³); 0,9999 (n = 10⁴); 0,99999 (n = 10⁵); 0,999999 (n = 10⁶).

3. Сделать выводы.

ЗАДАНИЕ №10

АППРОКСИМАЦИЯ «ХВОСТОВОЙ» ЧАСТИ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ПАРЕТО

1. Закон распределения вероятностей Парето имеет вид:

с математическим ожиданием и дисперсией

2. Методом моментов приравнивая , получим .

3. Рассчитать при м.

4. Построить гистограмму эмпирического закона распределения вероятностей дальности касания самолета ВПП и закона распределения вероятностей Парето.

801.811 802.034 803.34 804.463 806.131 806.914 809.008

817.54 819.394 819.724

823.478 827.723

834.859

844.923 846.308

854.632 855.015

862.973 865.331 869.864

5. Сравнить по критерию Колмогорова при p = 0,05; p = 0,01.

при p = 0,05 ; при p = 0,01 .

ТРЕБОВАНИЕ К ОФОРМЛЕНИЮ КУРСОВОЙ РАБОТЫ

Курсовая работа должна содержать:

1. Титульный лист

2. Задание

3. Теоретическая часть

4. Расчетная часть с таблицами и графиками

5. Выводы

6. Список литературы

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1 Теоретические основы испытаний и экспериментальная обработка сложных технических систем // Л.Н. Александровская, В.Н. Круглов, А.Г. Кузнецов и др.; Учебное пособие – М.: Логос, 2003.

2 Методы анализа и оценивания рисков в задачах менеджмента безопасности сложных технических систем // С.П. Крюков, С.Д. Бодрунов, Л.Н. Александровская и др. – СПб.: Корпорация «Аэрокосмическое оборудование», 2007

3 Гост Р50779.10-2000 (ИСО 3534-1-93) Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения.

4 ГОСТ Р ИСО5725-2-2002. Точность (правильность и прецизионность) методов и результатов измерений. Части 1 и 2.

5 ГОСТ Р ИСО5479-2002. Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения.

6 ГОСТ Р ИСО16269-6-2005. Статистические методы. Статистическое представление данных. Определение статистических толерантных интервалов.

Воспользуйтесь поиском по сайту: