В кн.: Леонид Витальевич Канторович — учёный и человек. Том 1. Новосибирск: Филиал «Гео» Изд. СО РАН, 2002, 177–181.

С. С. Кутателадзе

Пространства Канторовича

Осенью 1983 года Л. В. Канторович участвовал в чествовании Сергея Львовича Соболева по случаю его семидесятипятилетия. Стояла сырая и холодная погода, и в обед Леонид Витальевич зашёл к нам домой, где вместе с моим отцом они довольно энергично стали согреваться сибирской водочкой. Осмелев, я прямо спросил у Леонида Витальевича, что он считает самым важным достижением своей жизни. Не задумываясь, он ответил: «Самое полезное — линейное программирование». Поскольку техническая сущность этого научного предмета не представлялась мне всё же достаточно масштабной для математика его силы, я продолжал допытываться: «А для души?» Леонид Витальевич (человек тонкий и хорошо разбиравшийся в собеседниках) улыбнулся и сказал ожидаемое: «А для души, конечно, K-пространства».

Развитие теории K-пространств в рамках функционального анализа — главная жемчужина абстрактного идейного наследия Л. В. Канторовича — заслуживает специального обсуждения. В определенном смысле K-­пространства открытие столь же гениальное, как и таблица Менделеева. И то и другое было «изобретено» из соображений, в известном смысле, практической целесообразности, и только последующее развитие науки смогло объяснить, почему эти «изобретения» так хорошо работают. С самого начала своих исследований Л. В. Канторович рассматривал элементы K-пространств как обобщённые числа, но только в рамках современной математики выяснился глубинный смысл этой аналогии. Оказалось, что элементы K-пространств — объекты для математики столь же естественные, как и сами вещественные числа: каждое из K-­пространств является новой равноправной моделью вещественной прямой, а следовательно, играет в математике ту же фундаментальную роль. Любопытно отметить, что в 80-­е годы в связи с развитием новых логических моделей K-­пространства были переоткрыты одним из известных американских математиков, и это «открытие» ему настолько понравилось, что он не смог удержаться от его публикации даже после того, как ему указали на его неоригинальность.

Обратимся к истокам ­K-пространств. Первой работой Л. В. Канторовича в области упорядоченных векторных пространств была заметка 1935 года в Докладах Академии наук СССР, в которой он пишет:

«В этой заметке я определяю новый тип пространств, которые я называю линейными полуупорядоченными пространствами. Введение этих пространств позволяет изучать линейные операции одного общего класса (операции, значения которых принадлежат такому пространству) как линейные функционалы».

Здесь Л. В. Канторович сформулировал важную методологическую установку, которую теперь называют принципом Канторовича или, более подробно, принципом переноса для K-­пространств. Подчеркнём, что в определение линейного полуупорядоченного пространства была включена аксиома условной порядковой полноты, обозначенная I₆. Таким образом, уже в первой работе Л. В. Канторовичем выделен класс K-пространств, носящих теперь его имя. Изучение K-пространств Леонид Витальевич связал с выяснением области применимости фундаментальной теоремы Хана — Банаха и сформулировал теорему 3, которая теперь в литературе именуется теоремой Хана — Банаха — Канторовича. В ней фактически утверждается, что в классической теореме о мажорированном продолжении линейного функционала можно реализовать принцип Канторовича, т. е. заменить в теореме Хана — Банаха вещественные числа элементами произвольного K-пространства, а линейные функционалы — операторами со значениями в таком пространстве.

Характерное для творчества Л. В. Канторовича разнообразие интересов сочетается с идейной целостностью. Неудивительно поэтому, что уже в своих ранних работах Л. В. Канторович обращается к приложениям теории полуупорядоченных пространств в численных методах. Идейную сторону своего подхода Леонид Витальевич описывает в заметке 1936 года словами:

«При доказательстве существования решения различных классов функциональных уравнений в анализе весьма часто применяется способ последовательных приближений; при этом доказательство сходимости этих приближений основывается на том, что данное уравнение может быть мажорировано некоторым уравнением простого вида. Такого рода доказательства встречаются в теории бесконечных систем линейных уравнений и в теории интегральных и дифференциальных уравнений. Рассмотрение полуупорядоченных пространств и операций в них позволяет с большой лёгкостью развить в абстрактной форме полную теорию функциональных уравнений упомянутого вида».

И в самом деле, метод мажорант, восходящий к Коши, обретает свою естественную и законченную форму в рамках теории K-­пространств.

В связи с задачами прикладного характера Л. В. Канторович обращается к идее абстрактно нормированных пространств и вводит специальную аксиому полноты. Таким образом, само введение пространств типа B_K, или, как теперь говорят, пространств Банаха — Канторовича, имело как абстрактные корни, так и основательную прикладную мотивацию. Метод мажорант, в общей форме построенный Леонидом Витальевичем, получил существенное развитие как в его собственных исследованиях, так и в работах его учеников и последователей и занял видное место в арсенале теоретических средств вычислительной математики.

Как уже отмечалось выше, эвристический принцип переноса, выдвинутый Л. В. Канторовичем в связи с концепцией K-­пространства, находил позже многочисленные подтверждения в исследованиях как самого автора, так и его последователей. По существу этот принцип оказался одной из тех стержневых идей, которые, играя организующую роль в становлении нового направления, привели в конечном итоге к глубокой и изящной теории K-пространств, богатой разнообразными приложениями. Уже в начальный период развития теории предпринимались попытки формализации указанных эвристических соображений. На этом пути появились так называемые теоремы о сохранении соотношений, которые утверждают, что если некоторое высказывание, включающее конечное число функциональных соотношений, доказано для вещественных чисел, то аналогичный факт автоматически оказывается верным и для элементов K­пространства.

Однако оставался неясным внутренний механизм, управляющий феноменом сохранения соотношений, границы применимости подобных утверждений, а также общие причины многих аналогий и параллелей с классической теорией функций. Вся глубина и универсальный характер принципа Канторовича были раскрыты в рамках булевозначного анализа.

Булевозначным анализом называют раздел функционального анализа, использующий специальную теоретико-модельную технику — булевозначные модели теории множеств. Любопытно, что создание булевозначных моделей не было связано с теорией упорядоченных векторных пространств. Необходимые для этого языковые и технические средства окончательно сформировались в рамках математической логики уже к 1960 году. Однако всё ещё не было той генеральной идеи, которая впоследствии вдохнула жизнь в созданный математический аппарат, привела к бурному прогрессу в теории моделей. Такая идея пришла с открытием П. Дж. Коэна, установившего в 1963 году абсолютную неразрешимость (в точном математическом смысле) классической проблемы континуума. Именно в связи с осмыслением метода форсинга П. Дж. Коэна возникли булевозначные модели теории множеств, создание которых принято связывать с именами П. Вопенки, Д. Скотта и Р. Соловея.

Булевозначный статут понятия K-пространства установлен в начале 70­х годов Е. И. Гордоном. Основной его результат утверждает, что любое расширенное K-пространство есть интерпретация поля вещественных чисел в подходящей булевозначной модели. Более подробно, пусть B — полная булева алгебра, а ℝ — поле вещественных чисел в булевозначной модели, построенной на основе B. Тогда с ℝ вполне определённым способом связано расширенное K­пространство, база которого изоморфна исходной булевой алгебре B. При этом оказывается, что любая теорема (в рамках аксиоматики Цермело — Френкеля с аксиомой выбора) о вещественных числах имеет свой аналог для K-пространства, причём перевод одних теорем в другие осуществляется посредством точно определённых стандартных процедур, т. е. по сути дела, алгоритмически. Тем самым установка Л. В. Канторовича «элементы K-пространства суть обобщённые числа» обретает в булевозначном анализе четкую математическую формулировку. С другой стороны, эвристический принцип переноса, игравший вспомогательную, наводящую роль во многих исследованиях в добулевозначной теории K-пространств, превращается в рамках булевозначного анализа в точный исследовательский метод.

Дальнейшее развитие булевозначного анализа показало, что подобный перевод (перенос, трансляция), изготовляющий из известных фактов новые теоремы, возможен не только для K-пространств, но и практически для всех объектов, так или иначе, с ними связанных: для пространств типа B_K, различных классов линейных и нелинейных операторов, операторных алгебр и т. п. Отметим, что принцип Канторовича для пространств типа B_K (с точностью до элементарных оговорок) реализован А. Г. Кусраевым в следующем виде: пространство Банаха — Канторовича допускает погружение в подходящую булевозначную модель теории множеств, превращаясь в банахово пространство. Иначе говоря, пространство типа B_K — это булевозначная интерпретация банахова пространства. При этом именно необычная, считавшаяся надуманной аксиома разложимости нормы, введённая Л. В. Канторовичем, и обеспечивает возможность такого погружения.

Обращаясь к идейным установкам теории K-пространств в последней математической работе, которая была опубликована посмертно в Сибирском математическом журнале и которую Л. В. Канторович заканчивал непосредственно перед своей кончиной, он отмечал:

«При развитии теории функциональных пространств одна сторона реальной действительности оказалась в ней на некоторое время упущенной. Для практических объектов, наряду с алгебраическими и другими соотношениями, большое значение имеет соотношение сравнения. Простое сравнение, имеющее место между всеми объектами, упорядочение, имеет обеднённый характер, например, можно все виды упорядочить по их весу, но это мало что дает. Гораздо более естественным является упорядочение, которое для тех случаев, когда это естественно, определяется или фиксируется, а в других случаях оставляется неопределенным (частичное упорядочение или полуупорядочение). Например, два набора продуктов несомненно следует считать сравнимыми и первый из них бóльшим, если в нём каждого продукта больше, соответственно, чем во втором. Если же часть больше в одном, часть больше в другом, то можно сравнение не фиксировать. Так в своё время была построена теория полуупорядоченных пространств и прежде всего теория K-пространств, определённых выше. Она получила разнообразные применения как в теоретических вопросах анализа, так и в построении некоторых прикладных методов, например, теории мажорант в связи с интенсивным изучением метода последовательных приближений. В то же время полностью её возможности до сих пор ещё нераскрыты. Недооценено также и значение этой ветви функционального анализа для экономики. Между тем в экономике соотношения сравнения и сопоставления играют исключительную роль, и уже при возникновении K-пространств было ясно, что при анализе экономики они найдут свое место и дадут полезные плоды.

Теория K-пространств имеет и другое значение — их элементы могут использоваться как числа. В частности, при построении пространств типа Банаха в качестве нормы могут вместо чисел использоваться элементы такого пространства, конечномерного или бесконечномерного. Такая нормировка объектов является гораздо более точной. Скажем, функция нормируется не своим максимумом на всем интервале, а десятком чисел — максимумами её на частях этого интервала».

Подчеркну, что в приведенном фрагменте Л. В. Канторович отмечает неразрывную связь K-пространств с теорией неравенств и экономической проблематикой. Стоит также указать, что идеи линейного программирования имманентны теории K-пространств в следующем строго математическом смысле: выполнение в абстрактной математической структуре любого из принятых вариантов формулировок принципа двойственности с неизбежностью приводит к тому, что исходный объект является K-пространством.

Удивительно прозорливым оказалось положение Л. В. Канторовича о том, что элементы K-пространства суть обобщённые числа. Эвристический принцип Канторовича нашел блестящее подтверждение в рамках современной математической логики. K-пространства, утвердившиеся в качестве новой равноправной модели вещественной прямой, навсегда вошли в сокровищницу мировой науки.

Уходят в прошлое годы общения с Л. В. Канторовичем, время его максимального вклада в науку. Но всё отчётливее становятся масштабы его личности и унифицирующих идей, устремлённых в будущее.

http://www.math.nsc.ru/LBRT/g2/english/ssk/kspaces.html

В кн.: Леонид Витальевич Канторович — учёный и человек. Том 1. Новосибирск: Филиал «Гео» Изд. СО РАН, 2002, 177–181.

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: