I и II замечательные пределы. Вычисление замечательных пределов
Предел функции в точке и на бесконечности. Теоремы о пределах Понятие предела функции Пусть у=f(х) − функция с областью определения Х, причем а− некоторое число. Число b называется пределом функции f(х) в предельной точке а, если значения функции неограниченно приближаются к число b, при всех значениях х, достаточно близких к а. Предел функции в точке а обозначается Если область определении X функции f(х) содержит сколь угодно большие по абсолютной величине положительные (отрицательные) значения х, то в этом случае можно рассматривать предел функции на бесконечности. Число b называетсяпределом функцииf(х)при х→+∞ если для любой последовательности соответствующая последовательность значений функции сходится к числу b: =b Таким образом, число b называетсяпределом функции f(х) при х→∞, если значения функции неограниченно приближаются к числу b (то есть ), когда аргумент х, изменяясь, принимает сколь угодно большие по абсолютной величине значения. Свойства предела функции
10. =0, если f(x)=0, g(x)≠0
если f(x)=0. Функция у=f(x) называется бесконечно большой при х→а, если f(x)=∞. Пример 1.Вычислить предел: lim (2x3-4x2+5) x→2
Решение.lim (2x3-4x2+5)=2 ∙23-4∙ 22+5=5 x→2 Пример 2. Вычислить предел: Решение.Предел знаменателя равен нулю: (2х-6)=2∙3-6=0, поэтому теорему о пределе частного применить нельзя. Т.к. (2х-6)=0, то 2х-6 при х→2 величина бесконечно малая, тогда бесконечно большая. Поэтому при х→2 величина бесконечно малая, т.е. =0
Если при подстановке в функцию предельного значения аргумента в функцию получится неопределенность вида , , 0∙∞, ∞−∞, 00, ∞0, 10, то используются специальные приёмы, которые называют раскрытием неопределённость. Неопределенность 1. Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов, надо и числитель и знаменатель почленно разделить на переменную величину в наибольшей степени. 2. Для раскрытия неопределенности вида , заданную отношением иррациональных функций, надо и числитель и знаменатель почленно разделить на переменную величину в наибольшей степени с учетом степеней корней. Неопределенность 1. Чтобы раскрыть неопределенность вида , необходимо предварительно сократить дробь (разложив на множители по формуле или . 2. Чтобы раскрыть неопределенность вида , в которой числитель или знаменатель иррациональны, следует избавиться от иррациональности, умножив и числитель и знаменатель дроби на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения и сократить дробь. [2] Пример 3.Вычислить предел: Решение. При непосредственной подстановке получается неопределённость . Для раскрытия неопределённости необходимо предварительно сократить дробь (разложив на множители) = = = =- Пример 4. Вычислить предел: Решение. При непосредственной подстановке получается неопределённость . Для раскрытия неопределённости необходимо, предварительно решить квадратное уравнение и разложить на множители квадратный трёхчлен ах2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) = = = = Пример 5.Вычислить предел: Решение. При непосредственной подстановке получается неопределенность , поэтому вынесем за скобку степень с наивысшем показателем, сократим их в числителе и знаменателе.
Пример 6. Найти Решение. Предел знаменателя равен 0, предел числителя также равен 0. Получим неопределенность вида к тому же под знаком предела имеем иррациональность. В этом случае для раскрытия неопределенности необходимо тождественно преобразовать заданное под знаком предела выражение, умножая числитель и знаменатель на сопряженный сомножитель, упростить дробь и перейти к пределу: I и II замечательные пределы. Вычисление замечательных пределов При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел называемый первым замечательным пределом. Пример 7. Вычислить пределы: Решение. Обозначим 4х=t, тогда при х→0 и t→0, поэтому
Пример 8. . Решение. . Пример 9. . Решение.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|