Графический образ симплекса модели линейного программирования для распределения производственных мощностей

Математическая модель распределения производственных мощностей

Четыре этапа создания любой математической модели:

Первый этап — форматирование факторной нагрузки математической модели.

Второй этап — исследование математических задач, к которым приводит востребованная математическая модель, т.е. тех математических технологий, которые лягут в основу вычислительной (рекурсивной) схемы модели.

Третий этап — этап верификации математической модели.

Четвертый этап — тестирование, опытная и рабочая эксплуатация экономико-математической модели.

 

Первый этап — форматирование факторной нагрузки математической модели: формирование списка основные объекты модели, формулирование законов, связывающих основные объекты модели.

Этот этап состоит в регистрации в естественно-языковых, математических и специальных символах смысловых (семантических) представлений об объектах и о связях между объектами модели.

 

1 шаг. Первая Лингвистическая форма математической модели (на естественном русском языке, символьный формат, кириллица)

Предприятию выдан заказ, в котором определены сроки, номенклатура и объем поставки:

требуется за время 6 (часов) выпустить 30 единиц продукции одного вида и 96 единиц продукции второго вида; для выполнения заказа имеются две машины (технологических линии) типа 1 итипа 2 с заданными мощностями по производству каждого вида продукции в единицу времени. Известна стоимость единицы времени работы каждой машины (технологической линии) при производстве продукции каждого вида.

Составить оптимальный план (программу) производства: выпустить заказанный объем продукции в заданное время с наименьшими затратами.

Гипотезы макроэкономического моделирования

Гипотезы формулируются для обеспечения возможности генерации совокупности операций и отношений между макроэкономическими параметрами, которые учитываются при моделировании, т.е. возможности построения необходимой алгебраической системы, обладающей достаточной имплементацией (вычислительной реализуемостью) и эксплицитностью (завершенностью).

В рамках любой экономической модели каждая гипотеза интерпретируется определенным набором функциональных отношений (формул), дающих возможность вычислять необходимое подмножество эндогенных параметров, т.е. строить необходимые рекурсии (вычислительные схемы) для вычисления этих параметров.

Математическая модель - формализованное (абстрактное) представление с определенной степенью правдоподобия реальных процессов, которые необходимо проанализировать при подготовке управленческого решения, при анализе альтернатив на этапе принятия решения, при оценке степени достижения цели на этапах реализации управленческих решений.

 

 

2 шаг. Вторая Лингвистическая форма математической модели (на языке математических символов, символьный формат, абстрактно-алгебраический параметрический формат, в аналитических и топологических параметрах)

Проводится параметризация пространства исследуемой задачи -

Вводятся аналитические переменные (параметры): Т, N, а, b, х,

где х -время, затраченное на производство продукции вида i (1, 2) соответственно на машинах типа j (1, 2).

Вводятся топологические переменные (параметры, индексы):
i - тип продукта, j - тип машины (технологической линии)

Принимается решение:

х_ij - искомые (контролируемые) переменные, определяющие стратегию производства (программу производства).

Исследуемая задача приобретает вид:

Предприятию выдан заказ, в котором определены сроки, номенклатура и объем поставки:

требуется за время Т=6 выпустить N₁= 30 продукции вида i=1 и N ₂ = 96 продукции вида i=2; для выполнения заказа имеются две машины типа j=1 и j=2 с мощностями по производству каждого вида продукции в единицу времени а _ij . Известна стоимость единицы времени работы каждой машины (технологической линии) при производстве продукции каждого вида b _ij .

Таблица индексации искомых переменных х_ij - времени, затраченного на производство продукции вида i (1, 2) соответственно на машинах типа j (1, 2).

	xij время	машина
продукт	j=1	j =2
i =1	x11	x12
i =2	x21	x22

Требуется определить оптимальную загрузку машин (программу) с использованием критерия – минимальные издержки производства

Заданы технологические и стоимостные коэффициенты
(нормативные параметры модели):

производительность		Стоимость ед. времени
аij	Тип машины j	bij	Тип машины j
j=1 j =2	j=1 j =2
i =1			Вид продукции i	i =1
i =2			i =2

Условия задачи

Ограничения на искомые переменные: 0 =< x_ij =< 6 для "_ij

Время работы –

1 маш.: f1= x₁₁ + x₂₁ =< 6;

2 маш.: f2=x₁₂ + x₂₂ =< 6

Объем 1 прод. - f3=а₁₁x₁₁ + а₁₂x₁₂ = N₁ = 30

Объем 2 прод. - f4=а₂₁x₂₁ + а₂₂x₂₂ = N ₂ = 96

Критерий оптимизации производственного плана – производственной программы

Цена заказа - F = b₁₁x₁₁ + b₁₂x₁₂ + b₂₁x₂₁ + b₂₂x₂₂ min

 

Выпишем все алгебраические зависимости, представляющие модель в целом:

min F = b₁₁x₁₁ + b₁₂x₁₂ + b₂₁x₂₁ + b₂₂x₂₂;

f1= x₁₁ + x₂₁ =< Т;

f2= x₁₂ + x₂₂ =< Т;

f3= а₁₁x₁₁ + а₁₂x₁₂ = N₁;

f4= а₂₁x₂₁ + а₂₂x₂₂ = N₂;

f5= x₁₁>=0;

f6= x₂₁>=0;

f7= x₁₂ >=0;

f8= x₂₁>=0;

N₁ = 30;

N₂ = 96;

T= 6.

x₁₁ и x₂₁ - приняты как базисные переменные (минимальное порождающее подмножество).

x₁₂ и x₂₂- небазисные переменные, получаемые через базисные x₁₁ и x₂₁.

Вывод о типе модели математического программирования – это модель линейного программирования.

Для представления графического вида симплекса (через базисные переменные) выполним Формальные преобразования:

Из всех алгебраических зависимостей исключаются небазисные переменные (x₁₂ и x₂₂)

F = 222 - 2 x₁₁ - x₂₁

x₁₁>=0 (1), x₂₁>=0 (2), x₁₁=< 5 (3), x₂₁=< 4 (4)

x₁₁+ x₂₁ =< 6 (5), x₁₁+ 4x₂₁ => 8 (6),

 

Графический образ симплекса модели линейного программирования для распределения производственных мощностей

Симплекс модели линейного программирования – n -мерный многогранник, симплициальный комплекс, выпуклая оболочка – в линейном программировании область допустимых решений, каждая точка внутри симплекса является допустимым решением системы уравнений и неравенств, представляющих математическую модель.

 

x₂₁

 

 

(3)

 

(4)

 

F₀

 

 

(x₁₁=5; x₂₁=1)

(6)

(5)

F→min

(2)

F→min x₁₁

(1)

Решение задачи: minF = 211

x₁₁=5; x₂₁=1;

f3= а₁₁x₁₁ + а₁₂x₁₂ = N₁; x₁₂ = (1/а₁₂)(N₁(30) - а₁₁x₁₁) = 30/13 – (6/13)5 = 0;

f4= а₂₁x₂₁+а₂₂x₂₂ =N₂; x₂₂ = (1/а₂₂)(N₂(96) – а₂₁x₂₁) =96/13–(24/13)1 = 5,54

а₂₂ = 13 а₂₁= 24 72/13 =

 

Второй этап — определение и исследование математических задач, к которым приводит востребованная математическая модель, т.е. тех математических технологий, которые лягут в основу вычислительной (рекурсивной) схемы модели.

3 шаг. Третья Лингвистическая форма математической модели (на языке программирования для ЭВМ, символьный формат, символьный формат, в символах языка программирования)

Используем современный индустриальный подход к проектированию математической модели. С этой целью используем аналитическую вычислительную среду прикладного инструментального пакета Excel

 

В операторных символах прикладного пакета Excel

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: