 |
Основные законы распределения дискретных случайных величин
|
|
|
|
Конспект лекции для автора курсового проекта как для преподавателя
Дискретные случайные величины и их числовые характеристики
Дискретная случайная величина (ДСВ) может принимать конечное или бесконечное счетное число значений.
Пример ДСВ 
– число точек на грани игрального кубика, выпадающее при его подбрасывании.
! Задание привести пример ДСВ из окружающей жизни
Законом распределения ДСВ называется соотношение между ее возможными значениями и их вероятностями (т. е. вероятностями, с которыми случайная величина принимает эти возможные значения).
Закон распределения может быть задан формулой (формулы Бернулли, Пуассона и др.), таблицей или графиком, а также функцией распределения.
Функцией распределения случайной величины 
называется функция
,
определяющая вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее 
.
Свойства функции распределения:
а) функция распределения принимает значения только из отрезка [0,1]:
0 ≤ F(x) ≤ 1;
б) F(x) – неубывающая функция, т.е. если x2 > x1, то F(x2) > F(x1);
в) F(- ∞) = 0; F(+ ∞) = 1;
г) вероятность того, что случайная величина примет значение из
интервала 
(причем 
), равна:
;
д) F(x) непрерывна слева, т. е. F(x) = F(x – 0)
Закон распределения дискретной случайной величины может быть представлен в виде многоугольника распределения – фигуры, состоящей из точек 
, соединенных отрезками (рис. 1.3).
Рис. 1.3. Многоугольники унимодального (а), полимодального (б) и антимодального (в) распределений
Математическим ожиданием 
ДСВ называется среднее значение данной случайной величины
,
т. е. математическое ожидание – это сумма произведений значений случайной величины 
на соответствующие вероятности 
.
|
|
|
Свойства математического ожидания.
а) 
, где 
;
б) 
;
в) 
;
г) если случайные величины и 
независимы, то 
.
Мода 
распределения – это значение СВ, имеющее наиболее вероятное значение. Если мода единственна, то распределение называется унимодальным (рис. 1.3, а), в противном случае – полимодальным (рис. 1.3, б) Если в середине диапазона изменения аргумента наблюдается минимум на графике многоугольника вероятностей, тогда распределение называется антимодальным (рис. 1.3, в).
Медиана 
– это значение случайной величины, которое делит таблицу распределения на две части таким образом, что вероятность попадания в одну из них равна 0,5
.
Медиана обычно не определяется для дискретной случайной величины.
Величина 
, определяемая равенством 
, называется квантилью порядка 
. Соответственно квантиль порядка 0,5 является медианой.
Дисперсией 
ДСВ называется математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания
,
.
Дисперсия служит для характеристики рассеяния СВ относительно ее математического ожидания
Свойства дисперсии:
а) 
, где ;
б) 
;
в) 
,
где 
– ковариация двух случайных величин и ;
г) если и некоррелированы, то 
, тогда 
.
Средним квадратическим отклонением 
называется величина, которая имеет ту же размерность, что и СВ :
.
Пример Дискретная случайная величина задана законом распределения:
|
| -1 | |||
| 0,1 | 0,2 | 0,1 | 0,6 |
Найти числовые характеристики СВ: 
, моду.
Решение. Построим многоугольник распределения данной случайной величины.
| Математическое ожидание:
|
Дисперсия:
СКО: 
Мода равна 2.
Основные законы распределения дискретных случайных величин
1. Закон распределения Бернулли. Случайная величина , распределенная по закону Бернулли, принимает значения: 1 – «успех» или 0 – «неудача» с вероятностями 
и 
соответственно
|
|
|
| ||
| 
|
|
Математическое ожидание: СВ X: 
.
Дисперсия: 
.
2. Биномиальный закон распределения. Случайная величина , распределенная по биномиальному закону, принимает значения:
0, 1, 2, …, n с вероятностями, определяемыми по формулам Бернулли:
|
| ,,, | 
| ,,, | 
| |||
|
| 
| 
| 
| 
| 
|
Математическое ожидание: 
.
Дисперсия: 
.
На рисунке приведены многоугольники (полигоны) распределения случайной величины X, имеющей биномиальный закон распределения с параметрами n =5 и p (для p= 0,2; 0,3; 0,5; 0,7; 0,8).
Пример. В рекламных целях торговая фирма вкладывает в каждую пятую единицу товара денежный приз размером 100 тенге. Найти закон распределения числа сотен тенге, полученных при четырёх сделанных покупках.
Решение Вероятность того, что в случайно сделанной покупке окажется денежный приз, равна p= 1/5=0,2. Случайная величина X - число покупок, в которые вложен денежный приз, имеет биномиальный закон распределения с параметрами n= 4 и p= 0,2. Ряд распределения X имеет вид:
| xi | |||||
| pi | 0,4096 | 0,4096 | 0,1536 | 0,0256 | 0,0016 |
значения pi=P(X=m), (m =0, 1, 2, 3, 4) вычислены по формуле 
!Задание построить многогранник распределения
3. Закон распределения Пуассона. Случайная величина , распределенная по закону Пуассона, принимает бесконечное счетное число значений: 0, 1, 2, …, k, …, с соответствующими вероятностями, определяемыми по формуле Пуассона
,
где 
– параметр распределения Пуассона.
На рисунке приведены многоугольники (полигоны) распределения случайной величины X, имеющей закон распределения Пуассона с параметром 
(для = 0,5; 1; 2; 3,5; 5).
При 
и 
биномиальный закон распределения приближается к закону распределения Пуассона, где 
.
Математическое ожидание 
.
Дисперсия 
.
Пример В супе объёмом V плавает N перчинок. С какой вероятностью в ложку объёмом V0 попадёт ровно n перчинок?
Решение
Если количество перчинок N велико, а отношение 
мало, то задача описывается распределением Пуассона.
В среднем, в ложке должны оказаться 
перчинок. Вероятность того, что в ложке окажется ровно n перчинок, равна 
В частности, при V = 10 л, 
л, N = 50 получаем 
(то есть одна перчинка, в среднем, попадается на 20 ложек), а вероятность:
|
|
|
- того, что в ложке окажется ноль перчинок, p 0 ≈ 0,95123,
- того, что в ложке окажется одна перчинка, p 1 ≈ 0,04756,
- того, что в ложке окажется две перчинки, p 2 ≈ 0,00119,
- того, что в ложке окажется три перчинки, p 3 ≈ 0,00002.
Как видим, pn очень быстро уменьшается с ростом n.
4) Геометрическое распределение. Дискретная случайная величина X имеет геометрическое распределение, если она принимает значения 1, 2,..., m,... (бесконечное, но счётное множество значений) с вероятностями
где 0 < p < 1, q=1 - p, m =1, 2,...
Пример геометрического распределения представлен на рисунке
Ряд геометрического распределения имеет вид:
| xi | ... | m | ... | |||
| pi | p | pq | pq 2 | ... | pq m-1 | ... |
Очевидно, что вероятности pi образуют геометрическую прогрессию с первым членом p и знаменателем q (отсюда и название "геометрическое распределение").
Определение геометрического распределения корректно, так как сумма ряда
(так как 
есть сумма геометрического ряда 
при 
).
Случайная величина X=m, имеющая геометрическое распределение, представляет собой число m испытаний, проведённых по схеме Бернулли, с вероятностью p наступления события в каждом испытании до первого положительного исхода.
Математическое ожидание СВ X, имеющей геометрическое распределение с параметром p, 
Дисперсия 
, где q= 1-p.
Пример. Вероятность поражения цели равна 0,6. Производится стрельба по мишени до первого попадания (число патронов не ограничено). Требуется составить ряд распределения числа сделанных выстрелов, найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Определить вероятность того, что для поражения цели потребуется не более трёх патронов.
Решение. Случайная величина X - число сделанных выстрелов - имеет геометрическое распределение с параметром p= 0,6. Ряд распределения X имеет вид:
| xi | ... | m | ... | |||
| pi | 0,6 | 0,24 | 0,096 | ... | 0,6·0,4 m | ... |
По формулам 
Вероятность того, что для поражения цели потребуется не более трёх патронов равна
|
|
|
P(X≤3)=P(X= 1 )+P(X=2)+P(X=3)= 0,6+0,24+0,096=0,936.
Ответы на вопросы:
1. Какие элементы лекции направлены на обеспечение лучшего усвоения материала аудиторией на уровнях:
· понимания; - основные определений.
· опознания; - формулы, графики, таблицы.
· воспроизведения; - примеры, графики.
· применения; - примеры.
· творческой деятельности. – решение примеров.
2. Чем конкретно использование электронных ресурсов повышает эффективность лекции?
Ответ: Электронные ресурсы повышают интерес у студентов, а также помогают преподавателю изложить материал как можно понятней с различными примерами и т.д.
3. Почему презентация способствует лучшему пониманию данного материала на лекции данной аудиторией?
Ответ: Т.к в презентации в сокращенной, и в понятной форме описана суть лекции, презентация более визуально, что задействует не только слухавую но и другие виды памяти
4. Почему используемая компьютерная программа способствует лучшему пониманию данного материала на лекции данной аудиторией?
Ответ: Потому что программный модуль является тестовым вариантом лекции, что способствует оценки знаний и и остаточного контроля знаний.
5. Что даст аудитории и самому лектору использование на лекции фрагментов теста?
Ответ: Фрагменты теста, дадут возможность лектору оценить степень внимания студентов и уяснить кто из них слушает лекцию внимательно, а кто отвлеченно.
|
|
|
