 |
Тема 2. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Действия над векторами с заданными координатами.
|
|
|
|
Раздел 1_2 - Аналитическая геометрия. Вектор
Тема 1.1 Вектор. Действия над векторами, заданными длиной и направлениями
Определение 1. Величины, которые полностью определяются своими численными значениями, называются скалярными.
Например: площадь, длина, объем, температура, работа, масса.
Определение 2. Некоторые величины определяются не только своими числовыми значениями, но и направлением. Такие величины называют векторными.
Например сила, скорость, ускорение. Векторная величина геометрически изображается с помощью вектора.
Определение 3. Вектор – это направленный отрезок. Вектор обозначается двумя способами.
|
|
1) 2)
 | |||||||
| |||||||
| |||||||
| |||||||
Определение 4. Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается 
. Нулевой вектор направления не имеет.
Действия над векторами
I. Сложение векторов
1. Правило треугольника
Возьмем произвольную точку О и построим вектор 
. От точки А отложим вектор 
. Вектор 
, соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов 
и 
: 
2
| |
|
и 
. Возьмем произвольную точку О и построим вектора 
и 
. Достроим до параллелограмма. Диагональ выходящая из точки О называется суммой векторов.
 |
3. Правило многоугольника
Это правило используется для построения суммы более чем двух векторов. Все вектора откладываются друг за другом.
|
|
|
Построим сумму векторов 
.
Возьмем произвольную точку О и построим вектор . От точки А отложим вектор 
, далее 
, 
. Вектор 
, соединяющий начало первого с концом последнего, называется суммой векторов, т.е. 
.
II. Разность векторов
Построим разность векторов 
и . Возьмем произвольную точку О и построим вектора и 
. Вектор 
, соединяющий конец второго с концом первого вектора 
.
III. Умножение вектора на число
Умножение вектора 
на число 
, есть вектор, длина которого равна 
, а направление совпадает с направлением 
, если 
, и противоположно направлен, если 
.
Построить 
, 
, 
.
 |
Определение 5. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых и их направление либо совпадает, либо они противоположно направлены.
IV. Скалярное произведение векторов
Скалярное произведение двух ненулевых векторов и 
- это число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
 |
.
.
.
Задача №1
Дано:
 | |||||
 | |||||
 | |||||
..
Построить
.
1. 
|
2. 
Для проверки: 
Задача №2
Дано:
 |
.
Построить 
 |
Упражнения
№1. Дано:
|
|
|
.
построить 
№2. Дано:
.
построить 
№3. Дано: 
.
построить 
№4. Дано:
 |  | ||||
 | |||||
построить 
№5. Дано:
построить 
№6. Дано:
построить 
№7. Дано:
построить 
№8. Дано:
|
|
|
построить 
№9. Дано: 
.
Найти 
, если угол между векторами и равен:
а) 450; б) 600; в) 1200; г) 1800.
№10. Дано: 
.
Найти:
а) ; б) 
; в) 
.
№11. Возьмите два произвольных вектора и , построить
1) 
; б) 
; 3) 
; 4) 
.
№12. В параллелограмме ABCD:
; 
. О – точка пересечения диагоналей.
Выразите вектора 
, 
, 
, 
через 
и .
№13. Даны векторы , и , причем 
, 
, 
,
.
Найти:
1) 
;
2) 
.
№14. Вычислите:
1) 
;
2) 
.
Тема 2. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Действия над векторами с заданными координатами.
Определение 1. Проекцией вектора 
на ось 
называется число, равное величине отрезка 
, где точки 
.и 
являются проекциями точек 
и 
на ось .
В D
А 
C
А1 В1 D1 C1
Длина этого направленного отрезка берется со знаком «+», если направление отрезка и оси совпадают, и со знаком «–», если их направления противоположны
Определение 2. Проекция вектора 
на ось 
равна длине этого вектора, умноженной на косинус угла между осью и вектором, 
.
|
|
Рассмотрим вектор 
, где 
. Спроецируем вектор 
на ось координат.
У
у2 В
у1
А
 |
х1 х2 Х 
.
Определение 3. Координаты вектора это проекции вектора на соответствующие оси координат. Если начало вектора совпадает с началом координат, то вектор называется радиус-вектором.
|
|
|
Определение 4. Базис плоскости – это два неколлинеарных вектора этой плоскости, взятые в определенном порядке. O, 
; 
; 
. Аналогично, базис пространства: O, 
; 
; 
.
– разложение вектора по базису
| на плоскости | в пространстве |
 
|
 
|
|
1) Длина вектора | |
|
|
|
2) Скалярное произведение векторов | |
|
|
|
3) Угол между векторами | |
|
|
|
4 ) Сумма / разность векторов | |
| 
|
|
5 ) Умножение вектора на число | |
 , 
|
|
|
6) Условие параллельности векторов | |
|
| |
| 7) Условие перпендикулярности векторов | |
|
| |
Проекция вектора на вектор 
.
Для двух векторов с известными координатами:
и 
имеет место следующее равенство:
.
Принимаем во внимание, что: 
, поскольку это есть скалярные квадраты, например 
,
, т.к. это есть скалярные произведения перпендикулярных векторов.
Замечание: скалярное произведение двух векторов равно сумме парных произведений одноименных координат векторов.
Условие перпендикулярности векторов: для того, чтобы два вектора были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение было равно нулю, т.е. сумма парных произведений их одноименных проекций равнялась нулю.
Задача
Дано: 
;
;
.
Найти: 1) координаты вектора 
;
2) длину вектора 
;
3) скалярное произведение векторов 
.
Решение
1) 
+
+
_______________________________________________________
.
2) Чтобы найти длину вектора , нужно сначала найти координаты этого вектора:
+
___________________
.
3) Чтобы вычислить скалярное произведение векторов, нужно найти их координаты:
–
__________________
.
Задача №2
Дано: 
;
;
;
.
Найти:
1) длину вектора 
;
2) угол между векторами и 
.
Решение
1) 
;
.
2) 
$
$
; 
4
;
;
;
.
Задача № 3:
Дано: вектора 
и 
Найти: проекцию вектора на вектор .
Решение:
Найдем скалярное произведение этих векторов
|
|
|
Найдем модуль вектора 
Найдем проекцию вектора на вектор
Ответ: 
.
Упражнения
№1. Найти угол между векторами 
и 
.
№2. Доказать, что 
с вершинами 
, 
и 
равнобедренный и прямоугольный.
№3. Найти длину вектора 
, если 
и 
.
№4. При каких значениях 
векторы 
и 
коллинеарны?
№5. Определить при каких значениях 
вектора 
и 
взаимно перпендикулярны?
№6. Даны вершины 
, 
и 
. Определить его внутренние углы.
№7. Дано: 
;
;
.
Найти:
1. координаты вектора 
;
2. длину вектора 
;
3. скалярное произведение векторов 
4
4. угол между векторами 
и 
.
№8. Дано: 
;
;
.
Найти: 1. координаты вектора 
;
2. длину вектора 
;
3. скалярное произведение векторов 
и 
4. угол между векторами 
и .
№9. Дано: 
;
.
Найти:
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
;
5. 
.
№10. Найти скалярное произведение векторов и , и угол между ними:
1) 
; 2) 
;
2) 
; 2) 
.
№11. При каких значениях 
вектора 
и 
взаимоперпендикулярны?
№12. Найти координаты вектора 
Б коллинеарного вектора 
, если:
1) 
; 
;
2) 
; 
.
№13. Дан треугольник с вершинами 
, 
и 
.
Доказать, что угол 
тупой.
Зачетная работа
|
|
|
