Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Правило треугольника (правило Сарруса )

Лекция определители

 

Определители второго порядка

 

Выражение (1) называется определителем 2-го порядка.

 

Числа – это элементы определителя. Определитель 2-го порядка имеет две строки и два столбца.

 

Индексы, стоящие внизу соответствующего элемента, означают номер строки и номер столбца определителя, на пересечении которых стоит указанный элемент. Таким образом,  - элемент, стоящий на пересечении i – й строки и j – го столбца.

 

Например, элемент  стоит в первой строке и втором столбце определителя.

 

В определителе рассматриваются две диагонали: главная, которая состоит из элементов  и , и побочная, которая состоит из элементов  и .

 

Пример 1: Вычислим определитель второго порядка

 

Свойства определителей

 

Формулируя свойства, мы не будем указывать порядок определителя, так как эти свойства справедливы для определителей любого порядка, но доказательства свойств проведём для определителей 2-го порядка.

 

1. Определитель не меняет своего значения при замене всех его строк соответствующими столбцами, то есть .

 

Действительно, разложим определитель, стоящий справа, по элементам первой строки: .

Таким образом, получаем выражение, соответствующее исходному определителю, что и требовалось доказать.

Замечание: Определитель в правой части формулы называют транспонированным по отношению к определителю в левой части этой формулы.

 

2. Если переставить две строки (или столбца) определителя, то абсолютная его величина не изменится, а знак изменится на противоположный .

 

Действительно, разложим определитель, стоящий справа, по элементам первой строки , после вынесения общего множителя  в скобках получаем выражение, соответствующее исходному определителю, что и требовалось доказать.

 

Из свойства 2 вытекает следующее свойство.

 

3. Если две строки (столбца) определителя равны, то определитель равен нулю.

 

Действительно, рассмотрим определитель с равными строками , разложим его по элементам первой строки , что и требовалось доказать.

 

4. Общий множитель элементов какого-либо ряда (строки или столбца) определителя можно выносить за знак определителя.

 

Действительно, рассмотрим определитель . Разложим его по элементам первой строки

. Что и требовалось доказать.

 

5. Если в какой-либо строке (или столбце) определителя все элементы равны нулю, то определитель равен нулю.

 

Действительно, рассмотрим определитель , что и требовалось доказать.

 

6. Если элементы какого-либо ряда определителя пропорциональны элементам параллельного ряда, то определитель равен нулю.

 

Пусть, например, элементы первой и второй строк определителя пропорциональны. Тогда имеем . Что и требовалось доказать.

 

7. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы двух определителей, у которых все ряды, кроме данного, совпадают, а в данном ряду в первом определителе стоят первые, а во втором – вторые слагаемые.

 

Допустим, что элементы первой строки определителя являются суммами двух слагаемых. Тогда имеем: . Что и требовалось доказать.

 

8. Величина определителя не изменится, если к элементам какого-либо ряда (строки или столбца) определителя прибавить или отнять элементы параллельного ряда, умноженные на одно и то же число (то есть составить линейную комбинацию строк или столбцов).

 

Для доказательства этого рассмотрим определитель , к элементам второй строки прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на одно и тоже число.

. Что и требовалось доказать.

 

Определители 3-го порядка

 

Выражение     (2) называется определителем 3-го порядка.

 

В таком определителе элементы  составляют главную диагональ, а элементы  - побочную диагональ.

 

Кроме вычисления определителя по приведенной формуле (2) возможно его вычисление согласно выражению:

 

Правило треугольника (правило Сарруса)

    (3)

 

Пример 2. Вычислить определитель третьего порядка двумя способами

Способ 1:

 

 

Способ 2:

.

 

Замечание: Если правило треугольника применить к определителю треугольного вида , то этот определитель будет равен произведению элементов главной диагонали .

 

С целью введения более эффективных способов представления определителей третьего и более высоких порядков, рассмотрим некоторые дополнительные определения.

 

Минором  элемента определителя n-го порядка называется определитель n-1-го порядка, получающийся из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

 

Например, минором элемента  определителя третьего порядка будет являться выражение .

 

Таким образом, разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки можно представить как

 

Алгебраическим дополнением  элемента  определителя n-го порядка называется минор этого элемента, взятый со знаком плюс, если элемент стоит на пересечении строки и столбца с четной суммой номеров, и со знаком минус, если элемент стоит на пересечении строки и столбца с нечетной суммой номеров.

 

Часто для определения знака алгебраического дополнения используется формула:

.                                                                                   (4)

 

Для определителя 3-го порядка знаки алгебраических дополнений можно определить по таблице:

 

Например, алгебраическим дополнением элемента  определителя третьего порядка будет являться его минор, взятый со знаком минус .

 

Таким образом, разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки можно представить как

 

Теорема: (Теорема разложения) Определитель 3-го порядка равен сумме парных произведений элементов какого-либо ряда (строки или столбца) определителя на их алгебраические дополнения.

 

Таким образом, имеет место шесть разложений:

                                                                (5)

 

Теорема: (Теорема Лапласа) Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любого ряда определителя на их алгебраические дополнения.

 

Замечание. сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения элементов параллельного ряда равна нулю.

 

Пример 3. Вычислить определитель третьего порядка путем разложения по элементам третьей строки

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...