Задания для контрольной работы.

8. Написать плотность и функцию распределения показательного закона, если параметр = 5.

5 вариант

1. В группе 20 юношей и 10 девушек. Сколькими способами можно из­брать 3 юношей и 2 девушек для участия в слете студентов?

2. В урне находятся 20 белых и 15 черных шаров. Наудачу вынимают один шар, который оказался белым, и откладывают его в сторону. После этого берут еще один шар. Найти вероятность того, что этот шар также окажется белым.

1. Вероятность того, что событие появится хотя бы один раз в трех неза­висимых испытаниях, равна 0,973. Найти вероятность появления события в одном испытании (предполагая, что во всех испытаниях вероятность появ­ления события одна и та же).

4. Прибор состоит из трех узлов, работающих независимо. Каждый из уз­лов может выйти из строя за время Т соответственно с вероятностями 0,2; 0,3; 0,5. При отказе первого узла прибор выходит из строя с вероятностью 1, при отказе второго - с вероятностью 0,75, при отказе третьего - с вероятностью 0,4. В течение времени Т прибор вышел из строя. В каком узле надо прежде всего искать неисправность?

5. Чему равно наивероятнейшее число нестандартных среди 500 деталей, если вероятность для каждой из них быть нестандартной равна 0,035?

6. На заводе работают четыре автоматические линии. Веро­ятность того, что в течение рабочей смены первая линия не потре­бует регулировки, равна 0,9, вторая — 0,8, третья—0,75, четвер­тая— 0,7. Найти математическое ожидание числа линий, которые в течение рабочей смены не потребуют регулировки.

1. Случайная величина X задана плотностью рас­пределения в интервале (0,1); вне этого ин­тервала . Найти математическое ожидание вели­чины X.

8. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 10 и 2. Найти вероят­ность того, что в результате испытания X примет значе­ние, заключенное в интервале (12, 14).

6 вариант

1. Группа студентов изучает 8 различных учебных дисциплин. Скольки­ми способами можно составить расписание занятий в субботу, если в этот
   день недели должно быть 3 различных урока?

2.В урне 100 шаров, помеченных номерами 1, 2,..., 100. Из урны наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара содержит цифру 2?

1. В группе 30 учащихся, из которых отличников - 8, ударников - 13 и слабо успевающих - 9. На предстоящем экзамене отличники могут получить только оценки 5, ударники могут получить с равной вероятностью оценки 4 и 5, слабо успевающие могут получить с равной вероятностью оценки 3, 4, и 5. Для сдачи экзамена вызывается наугад один учащийся. Найти вероятность того, что он получит оценку не ниже 4.
2. У сборщика имеются 80 деталей, 36 из которых изготов­лены в первом цехе, 24 — во втором и 20 — в третьем. Вероятность того, что деталь, изготовленная в первом цехе, стандартна, рав­на 0,8, для второго цеха—0,6 и для третьего цеха—0,8. Найти вероятность того, что наудачу взятая сборщиком деталь стандартна.

5. Вероятность брака в данной партии деталей равна 0,1. Какова вероят­ность того, что в партии из трех деталей две бракованных?

1. Составить закон распределения числа попаданий в цель при шести выстрелах, если вероятность попадания при одном вы­стреле равна 0,4.
2. Как изменится график плотности распределения f(х) случайной вели­чины X, если прибавить к случайной величине 2?

8. Написать плотность вероятности нормально рас­пределенной случайной величины X, зная, что М(Х) = 3, D(X)= 16.

7 вариант

1. Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 0, 1,2, 3, 4, 5
   не повторяя цифр в числе?

2. Среди 50 деталей 5 нестандартных. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется стандартной.

1. В партии 10 деталей, из них 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу двух деталей есть хотя бы одна стандартная.

4. В пяти ящиках находятся одинаковые по размеру и весу шары. В двух ящиках - по 6 голубых и 4 красных шара. В двух других ящиках - по 8 голу­бых и 2 красных. В одном ящике - 2 голубых и 8 красных. Наудачу выбирает­ся ящик и из него извлекается шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар оказался красным?

5. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее, вы­играть две партии из четырех или три из шести?

6. Вероятность того, что студент найдет в библиотеке нужную ему книгу равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые он посе­тит, если в городе четыре библиотеки.

7. Цена деления шкалы прибора равна 100. Какова вероятность получить абсолютную ошибку больше 30 при пользовании этим прибором?

8. Случайная величина X подчинена нормальному закону с математиче­ским ожиданием м_х=0. Вероятность попадания этой случайной величины на участок от -а до а равна 0,5. Найти _х и написать выражение нормального за­кона.

8 вариант

1. Сколькими способами можно выбрать три лица на три различные
   должности из 8 человек?

2. Из урны, в которой находятся 12 белых и 8 черных шаров, вынимают наудачу 2 шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными?

3. Три стрелка стреляют по одной и той же цели. Вероятность попадания в цель первого, второго и третьего стрелков соответственно равна 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что все три стрелка попадут в цель.

4. Имеются два одинаковых по виду ящика. В первом ящике находятся 8 пар обуви 41 размера и 6 пар 42 размера, а во втором ящике 10 пар 41 размера и 4 пары 42 размера. Из выбранного наугад ящика вынули одну пару обуви, оказавшуюся 42 размера. Найти вероятность того, что обувь извлечена из пер­вого ящика.

5. В ящике находятся 80 стандартных и 20 нестандартных деталей. Найти вероятность того, что из пяти взятых наудачу деталей не менее четырех ока­жутся стандартными.

6. Стрелок производит 150 выстрелов по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,9. Найти числовые характеристики числа попа­даний.

7. Автобусы идут с интервалом 5 минут. Считая, что случайная величина X - время ожидания автобуса на остановке - распределена равномерно на ука­занном интервале, найти среднее время ожидания и дисперсию времени ожи­дания. Вычислить вероятность того, что время ожидания превысит 3 мин.

8. Дана функция распределения нормированного закона . Найти плотность распределения f(X).

9 вариант

1. В урне 10 белых и 5 черных шаров. Сколькими способами из урны
можно вынимать наугад три шара, чтобы все три шара оказались черными?

1. В коробке имеется 30 лотерейных билетов, из которых 26 без выигры­шей. Наугад вынимают одновременно четыре билета. Найти вероятность того, что два из них окажутся выигрышными.
2. В каждой из трех партий, содержащих 20 изделий, имеется соответст­венно одно, два и четыре бракованных изделия. Из каждой партии наудачу извлекают по одному изделию. Найти вероятность того, что все три изделия окажутся бракованными.

4. Партия деталей изготовлена тремя рабочими, причем первый изгото­вил 35% всех деталей, второй - 40%, третий - всю остальную продукцию. Брак в их продукции составляет: у первого - 2%; у второго — 3%; у третьего — 4%. Случайно выбранная для контроля деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена третьим рабочим.

5. Определите наиболее вероятное число выпадений герба при 25 подбра­сываниях монеты.

6. По цели производится три независимых выстрела. Вероятность попа­дания при первом выстреле равна 0,1; при втором - 0,2; при третьем - 0,3. Случайная величина — число попаданий. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины.

1. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X.

Найти функцию распределения F(х).

8. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 20 и 5. Найти вероят­ность того, что в результате испытания X примет значе­ние, заключенное в интервале (15, 25).

10 вариант

1. В розыгрыше личного первенства колледжа по шахматам было сыгра­но 120 игр. Сколько было участников, если каждые два участника встречались
   между собой один раз?

2. В ящике находится 15 красных, 9 голубых и 6 зеленых шаров. Наудачу вынимают 6 шаров. Какова вероятность того, что вынуты один зеленый, два голубых и три красных шара?

1. Студент знает ответы на 20 вопросов из 26. Предположим, что вопро­сы задаются последовательно один за другим. Найти вероятность того, что три подряд заданные вопроса - счастливые.

4. Партия транзисторов, среди которых 10% дефектных, поступила на проверку. Схема проверки такова, что с вероятностью 0.95 обнаруживает де­фект (если он есть), и существует ненулевая вероятность 0,03 того, что ис­правный транзистор будет признан дефектным. Случайно выбранный из пар­тии транзистор признан дефектным. Какова вероятность того, что на самом деле транзистор исправен.

1. Доля изделий высшего сорта на предприятии составляет 40%. Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случайно отобранной партии из 120 изделий?

6. Найти дисперсию случайной величины X, зная закон ее распределения:

1. Случайная величина X задана плотностью рас­пределения в интервале (0;2); вне этого интервала . Найти математическое ожидание ве­личины X.

8. Написать плотность и функцию распределения показательного закона, если параметр Х = 6