Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Определение напряжений в поперечных сечениях

Тема 10. Поперечный изгиб

Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

В данной теме будем рассматривать прямой поперечный изгиб балки под действием системы внешних сил, причем считаем, что силовая плоскость совпадает с одной из главных ее плоскостей инерции. В общем случае в поперечном сечении балки действуют изгибающий момент Mx и поперечная сила Qy. Прежде чем исследовать напряженное и деформированное состояние в текущем сечении балки, необходимо знать абсолютные значения внутренних силовых факторов в этих сечениях, которые могут быть получены в процессе построения эпюр.

Для построения эпюр используется известный метод сечений, когда неизвестные внутренние силовые факторы вычисляются из уравнений равновесия отсеченной части конструкции, причем из уравнения сил определяется поперечная сила , а из уравнения моментов – изгибающий момент . При этом следует учитывать основные дифференциальные соотношения при поперечном изгибе:

. (10.2)

Важно при построении эпюр правильно пользоваться правилом знаков, которое удобно пояснить графически (рис. 10.1).

Q 0
Q 0
M 0
M 0
Mвнешн.
Mвнешн.
Mвнешн.
Mвнешн.
а)
б)

Рис. 10.1. Правила знаков

 

Если внешняя сила расположена слева от сечения и направлена вверх (отбрасывают правую часть балки), то поперечную силу в сечении считают положительной, если сила направлена внизотрицательной (рис. 10.1а). Для сил, расположенных справа от сечения, правило знаков обратное.

Для изгибающих моментов правило знаков следующее:

Если момент от внешнего силового фактора (от сосредоточенной силы, от распределенной нагрузки, от сосредоточенного момента), действующего на левую часть балки, направлен по ходу часовой стрелки, то внутренний изгибающий момент в сечении считают положительным, если против хода часовой стрелкиотрицательным (рис. 10.1б). Для моментов, расположенных справа от сечения, правило знаков обратное. При использовании приведенных правил, знаки поперечных сил и изгибающих моментов не зависят от того, какую часть балки условно отбрасывают.

Сформулируем общие закономерности при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов:

1. Если прямая балка нагружена силами и парами сил, лежащими в главной плоскости, причем сосредоточенные и распределенные силы перпендикулярны к оси балки, то имеет место поперечный изгиб, т.е. в поперечных сечениях возникают только два внутренних силовых фактора – поперечная сила Q и изгибающий момент М;

2. В сечениях, где приложены сосредоточенные силы, перпендикулярные к оси балки, на эпюре поперечных сил имеет место скачок на величину этих сил.

3. В сечениях, где приложены сосредоточенные моменты, на эпюре изгибающих моментов имеет место скачок на величину этих моментов.

4. В сечениях, где поперечная сила равна нулю, на эпюре изгибающих моментов имеет место экстремум, т.е. изгибающий момент достигает максимума или минимума.

 

Определение напряжений в поперечных сечениях

При поперечном изгибе в сечениях балки от поперечной силы возникают касательные напряжения и соответствующие угловые деформации γ, как это было показано при сдвиге, а от действия изгибающего момента – нормальные напряжения (чистый изгиб). Наличие угловых деформаций приводит к искажению сечений, они в процессе деформации уже не остаются плоскими. Так как поперечная сила не равна нулю, то в соответствии с зависимостью (10.2) изгибающий момент изменяется по длине балки, а значит, изменяется и текущая кривизна упругой линии. Кроме того, при переменной поперечной силе уже и в продольных сечениях балки возникают нормальные напряжения. Указанные особенности влияют на НДС балки при поперечном изгибе.

Однако аналитические исследования методами теории упругости и многочисленные эксперименты показывают, что в первом приближении при исследовании НДС балки при поперечном изгибе можно использовать зависимости, полученные при анализе чистого изгиба:

; ; . (10.3)

Рассмотрим определение касательных напряжений в частном случае балки прямоугольного поперечного сечения (рис. 10.2). Выделим элемент баки длиной dz.

 

y1
y
x
b
dz
h
y
Qy
Мx+dMx
Qy
σ+dσ
dF
y
О
x
σ
z
Мx
F*
а)
б)
τ

 

Рис. 10.2. Напряжения при поперечном изгибе

 

Изгибающие моменты, действующие в левом и правом сечениях, отличаются на величину dMx, что следует из условия равновесия данного элемента. Важно отметить, что, так как на участке балки длиной dz нет внешних поперечных сил, то на данном участке Qy=const. Продольным горизонтальным сечением (точечные линии на рис. 10.2а), удаленным от нейтрального слоя на расстояние y, разделим рассматриваемый элемент на две части и рассмотрим верхнюю часть (рис. 10.2б). На данном рисунке: y1- координата текущего сечения в верхней части элемента; F* - площадь «отсеченной части» поперечного сечения; dσ – приращение нормальных напряжений при переходе от левого сечения к правому. Очевидно, что разница продольных усилий (от нормальных напряжений) в поперечных сечениях элемента балки может быть компенсирована только соответствующими касательными напряжениями τ.

Составим условия равновесия выделенной части элемента балки (от сечения с координатой y1, то h/2)

. (10.4)

Откуда

; , (10.5)

где - статический момент отсеченной части элемента, т.е. части, находящейся выше продольного сечения с координатой y1; Jx – момент инерции сечения относительно главной центральной оси Ox; b- ширина сечения балки в продольном сечении, удаленном на расстояние y от нейтрального слоя (очевидно, что в данном примере с сечением прямоугольной формы b=const по высоте всего сечения).

Учитывая дифференциальную зависимость между изгибающим моментом и поперечной силой (10.2), получим окончательно

. (10.6)

Предположим, что касательные напряжения τ параллельны оси Oz, постоянны по длине dz и ширине b. вычисленные по формуле (10.6) касательные напряжения действуют в продольных сечениях элемента балки, но по закону парности касательных напряжений такие же напряжения, параллельные силе Qy, будут действовать в поперечных сечениях.

Формула (10.6) была получена Д.И. Журавским и носит его имя. Положенные в основу вывода допущения строго подтверждаются лишь для узких прямоугольных сечений (h/b>2), но, как показывает практика расчетов, данной формулой можно пользоваться в большинстве случаев балок прямоугольного поперечного сечения.

Формула Журавского может быть использована и для определения касательных напряжений при расчете балок произвольного поперечного сечения на поперечный изгиб. В этом случае смысл всех параметров, входящих в формулу (10.6) не меняется, а b(y) в этом случае текущая ширина продольного сечения, в котором вычисляются касательные напряжения (рис. 10.3).

Отметим, что по формуле Журавского в случае произвольного поперечного сечения балки можно определить лишь значение касательных напряжений, параллельных поперечной силе Qy и направленных в сторону ее действия. Однако при переменной ширине сечения возникают составляющие касательного напряжения, направленные вдоль оси Ox.

 

b(y)
Qy
y
О
x
y
z
Мx
τ
F*

 

Рис. 10.3. Поперечный изгиб балки произвольного сечения

 

Это связано с возможностью доказать, как это сделано при изучении кручения вала, что вблизи внешнего контура касательные напряжения должны быть направлены по касательной к контуру в рассматриваемой точке. Значит предположение о постоянстве касательных напряжений по ширине сечения не совсем справедливо. Однако более точные исследования и практика расчетов показывает, что составляющей касательных напряжений вдоль оси Ох в первом приближении можно пренебречь.

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...