Методические указания к практическим занятиям
Саратовский государственный технический университет
МОДЕЛИ ЛИНЕЙНЫХ ОДНОМЕРНЫХ И МНОГОМЕРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Основы аналитической теории анализа и синтеза САУ» для студентов специальности 210100 и направления 550200
Одобрено редакционно-издательским советом Саратовского государственного технического университета
Саратов 2006 ВВЕДЕНИЕ В управляемых системах используют различные формы представления математических моделей непрерывных динамических систем как одномерных, так и многомерных. Это представление моделей в виде передаточных функций и матриц, в виде дифференциальных уравнений, в форме Коши. Рассматриваются способы перехода от одной формы представления модели к другой. Практические занятия имеют своей целью систематизацию, закрепление, расширение теоретических знаний и получение практических навыков при решении конкретных технических задач: развитие навыков самостоятельной работы с технической литературой в ходе расчета. Задачи, рассматриваемые в методических указаниях, соответствуют рекомендациям программы изучения дисциплины, призваны способствовать лучшему усвоению теоретического материала, изучаемого в соответствующем разделе.
ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ОДНОМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ Основные формы представления математических моделей одномерных систем: дифференциальное уравнение, передаточная функция, форма Коши. Математическая модель в форме дифференциального уравнения имеет вид:
, (1) где – -я и -я производные по времени от и соответственно. Операторная (символическая) форма записи дифференциального уравнения: , где – оператор дифференцирования. Математическая модель в форме передаточной функции: , (2) где – оператор Лапласа, – комплексная переменная. Математическая модель в форме Коши: (3) где – -мерный вектор состояний; – выходная переменная; – входная переменная (управление); – матрицы чисел размерами соответственно; – число.
ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ОДНОМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ Формы представления математических моделей многомерных систем: форма Коши, форма «вход-выход», передаточная матрица. Модель многомерной системы в форме Коши имеет вид: , (4) , (5) где – -мерный вектор состояний; – -мерный вектор выходных переменных; – -мерный вектор входных переменных (управлений); – матрицы размеров соответственно. Векторно-матричное дифференциальное уравнение (4) называется уравнением состояний, а векторно-матричное алгебраическое уравнение (5) – уравнением выходов. Математическая модель в виде передаточной матрицы. Передаточная матрица связывает изображение Лапласа вектора выходных переменных с изображением Лапласа вектора входных переменных и имеет вид: . (6) Уравнение в форме «вход-выход»: , (7) где , – полиномиальные матрицы. Пример 1. Для электрической схемы (рис.1) составить математическую модель: а) в виде дифференциального уравнения; б) в виде передаточной функции; в) в виде уравнений в форме Коши. Рис.1 Замечание. В качестве входного (управляющего) воздействия принять , в качестве выходного – . Решение. а) Из закона Кирхгофа и выражений получаем математическую модель в виде дифференциального уравнения: . (8) Операторный вид уравнения (8) . б) Математическая модель в виде передаточной функции получается путем применения оператора Лапласа к обеим частям дифференциального уравнения (8) при нулевых начальных значениях функций и их производных:
где в) Введем обозначения: (9) Продифференцируем (9) по времени: (10) Из первого уравнения (10) и выражения (8) следует, что . Из второго уравнения (10) и первого уравнения (9) получаем: . Выразим из второго уравнения (9): , (11) и подставим в выражения для и : (12) Уравнения (11), (12) в векторно-матричной форме имеют вид (3): где , а матрицы A, B, C, D имеют вид: . Пример 2. Для электрической схемы (рис. 2): а) построить математическую модель в форме Коши; б) получить передаточную матрицу, связывающую изображения входных переменных ( – напряжения источников) и изображения выходных переменных ( – напряжения на сопротивлениях и ). Рис. 2 Решение. а) По закону Кирхгофа для узла 1 имеем: или . (13) Рассмотрим контуры I и II. По закону Кирхгофа для напряжений получаем: , (14) . (15) Введем обозначения: . Тогда выражения (13), (14), (15) можно записать в виде: (16) Уравнения для выходных переменных: . (17) Объединив уравнения (16), (17), получаем математическую модель электрической схемы в форме Коши (выражения (4), (5)): где , , , , . Подставив числовые значения параметров (рис. 2), получим: . б) Так как , то . , . Тогда . Окончательно выражение для математической модели в виде передаточной матрицы будет иметь следующий вид: . Зная передаточную матрицу, можно записать дифференциальные уравнения, связывающие выходные и входные переменные. Из выражения для следует: Переходя к оригиналам, получим: или Пример 3. Дана математическая модель системы в виде дифференциального уравнения 3-го порядка: . (18) Получить математическую модель системы в форме Коши двумя способами (в формах Крылова – Люенбергера и Фробениуса). Решение. Способ 1. Введем переменные , , следующим образом: (19) Продифференцируем систему уравнений (19) по времени: (20) Сопоставляя первое уравнение (20) с выражением (18), второе уравнение (20) с первым уравнением (19), третье уравнение (20) со вторым уравнением (19), получим: (21) Из третьего уравнения (19) выразим: , (22) и подставим в (21): (23) Введем в (22), (23) обозначения: . Совокупность уравнений (22), (23) и есть математическая модель системы в форме Коши (3) (форма Крылова–Люенбергера).
Способ 2. Запишем уравнение (18) в операторном виде: . 24) Выражение (24) можно переписать следующим образом: , (25) откуда , (26) . (27) Введем обозначения: . (28) С учетом (28) соотношение (27) можно переписать в виде: , или . (29) Так как , то из (29) следует, что . (30) Окончательно получим, объединив (26), (28), (30): (31) Вводя обозначения , получаем математическую модель системы в форме Коши (3) (форма Фробениуса). Замечание. Приведенные алгоритмы перехода к форме Коши можно распространить на модели систем в виде дифференциальных уравнений произвольного порядка. Пример 4. Задана математическая модель системы в виде дифференциального уравнения без производных в правой части: . (32) Получить математическую модель системы в форме Коши. Решение. Введём переменные следующим образом: . (33)
Из выражений (32), (33) следует: (34) С учетом (33) выражения (34) примут вид: (35) Добавив к (35) уравнение выхода , (36) получим математическую модель в форме Коши, то есть в виде (3), где обозначено . Пример 5. Для электрической схемы (рис. 3): а) составить математическую модель в форме Коши; б) построить выражение для математической модели в виде передаточной матрицы, связывающей изображения входных переменных и выходных переменных ; в) определить матрицу , элементами которой являются импульсные переходные характеристики для -го выхода относительно -го входа (при нулевых состояниях на всех остальных входах). Рис. 3 Решение. а) По аналогии с примером 2 уравнения электрической схемы можно получить в виде: , . Эти уравнения записаны в форме Коши (4), (5). При Ф, Гн, [1/Ом], Ом соответствующие матрицы получают следующие численные значения: .
б) Аналогично примеру 2 находим: , . Тогда выражение для математической модели в виде передаточной матрицы принимает вид: , или . Таким образом, . в) Так как изображение -й выходной переменной , то элементы матрицы можно рассматривать как скалярные передаточные функции от -го входа к -му выходу, причем
при . Зная , можно получить импульсные переходные характеристики . Переходя в выражении к оригиналам, получим: .
ЗАДАЧИ ДЛЯ УПРАЖНЕНИЙ 1. Задана математическая модель системы в виде дифференциального уравнения (табл. 1). Требуется: а) записать математическую модель системы в форме Коши двумя способами (в формах Фробениуса и Крылова–Люенбергера); б) записать математическую модель системы в виде передаточной функции; в) с помощью функций tf и ss системы МАТЛАБ получить модель в переменных состояния (форма Коши). Таблица 1
2. Выполнить задания примера 2 для числовых данных, заданных в табл. 2. Таблица 2
3. Для числовых данных примера 2 (табл. 2) с помощью функций ss и tf системы МАТЛАБ получить модель в виде передаточной функции. 4. Выполнить задания примера 5 для числовых данных, заданных в табл. 3.
. Таблица 3
5. Задана математическая модель системы в виде передаточной функции, где u(t) – входная переменная, y(t) – выходная переменная: а) ;
б) ; в) ; г) ; д) . Записать модель системы в виде дифференциального уравнения. Получить математическую модель системы в виде формы Коши: 1) используя результаты примера 3 (формы Фробениуса и Крылова– Люенбергера); 2) при помощи функций tf и ss системы МАТЛАБ; Сравнить результаты п.п. 1, 2 и прокомментировать их. 6. Задана математическая модель системы в виде уравнений состояний и выходов (форма Коши). Получить математическую модель системы в виде передаточной функции при помощи команд tf и ss системы МАТЛАБ: а) , ; б) , 7. С помощью функций ss и tf системы МАТЛАБ определить передаточные функции для систем, модели которых в переменных состояния представлены следующими матрицами: а) б) в) . 8. Рассмотрите две математические модели системы в форме Коши: а) и б) . 1) С помощью функций tf и ss системы МАТЛАБ определить математическую модель системы в форме передаточной функции y(s) / u(s) для системы а). 2) С помощью функций tf и ss системы МАТЛАБ определить математическую модель системы в форме передаточной функции y(s) / u(s) для системы б). 3) Для передаточных функций систем, полученных в п.п. 1, 2 с помощью функций tf и ss системы МАТЛАБ определить математические модели систем в форме Коши. 4) Сравнить результаты п.п. 1, 2, 3 и прокомментировать их.
ЛИТЕРАТУРА ОСНОВНАЯ 1. Дерусоо Г. Пространство состояний в теории управления / Г. Дерусоо, Р. Рой, Ч. Клоуз. – М.: Наука, 1970. 2. Директор Р. Введение в теорию систем / Р. Директор, С. Рорер. – М.: Высшая школа, 1971. 3. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера / В.П. Сигорский. – Киев: Техника, 1977. 4. Подчукаев В.А. Теория автоматического управления / В.А. Подчукаев. – М.: Физматлит, 2005. 5. Теория автоматического управления: в 2 ч. / под ред. А.А. Воронова. – М.: Высшая школа, 1986.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ 1. Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. – М.: Наука, 1975. 2. Дорф Р. Современные системы управления / Р. Дорф, Р. Бишоп. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2002. 3. Математические основы теории автоматического регулирования / под ред. В.К. Чемоданова. – М.: Высшая школа, 1977. 4. Теория автоматического управления: в 2 ч. / под ред. А.В. Нетушила. – М.: Высшая школа, 1976, 1983. 5. Ту Ю. Современная теория управления / Ю. Ту. – М.: Машиностроение, 1971.
МОДЕЛИ ЛИНЕЙНЫХ ОДНОМЕРНЫХ И МНОГОМЕРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Основы аналитической теории анализа и синтеза САУ»
Подписано в печать 20.12.06 Формат 60x84 1/16 Бум. тип. Усл. печ.л. 1,16 (1,25) Уч.-изд.л. 1,1 Тираж 100 экз. Заказ Бесплатно Саратовский государственный технический университет 410054, Саратов, Политехническая ул. 77 Отпечатано в РИЦ СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул. 77
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|