I. Исходные символы языка.

Язык, логика и исчисление предикатов

Введение

Приступая к изучению языка логики предикатов (сокращенно — ЯЛП), полезно вспомнить основные особенности языков этого типа В ЯЛП явно должны быть представляемы субъектно-предикатные структуры высказываний, от которых происхо­дило отвлечение при введении пропозициональных символов. Выражаемыми должны быть, например, высказывания видов. «a обладает свойством Р», «а и b находятся в отноше­нии Р», «Для всякого предмета из некоторого множества S верно, что он обладает свойством Р», «Для всякого предмета из множества S существует предмет этого множества такой, что эти предметы находятся в отношении R», «Если неверно, что всякие два предмета некоторого множества находятся в отношении R, то существуют по крайней мере два предмета этого множества, не находящиеся в этом отношении», «Если во множестве S существует предмет х, который находится в от­ношении R с любым предметом у этого множества, то для всякого предмета у того же множества существует предмет х такой, что последний находится в отношении R к первому» и т. п.

Ясно, во-первых, что для выражения таких утверждений у нас нет средств в языке логики высказываний. Ясно и то, что для выражения подобных высказываний в ЯЛП мы дол­жны иметь в числе его исходных символов общие имена предметов; аналогами последних в ЯЛП будут предметные переменные х, у, z, а также они же с числовыми индексами x₁,x₂, ... и т.д. Потребность в общих именах при употребле­ний ЯЛП сохранится лишь для описания областей возмож­ных значений этих переменных, что относится уже не к са­мому языку, а к метаязыку. Нужны также знаки свойств и отношений. Для выражения высказываний вида «Объем тела а больше объема тела b» или «Синус х меньше косинуса y» и т. п. необходимы, конечно, и предметные функторы. Впро­чем, перечислим систематически основные типы выражений описываемого языка, каковыми являются: исходные симво­лы, термы и формулы. Описание этих выражений составит синтаксис ЯЛП.

СИНТАКСИС ЯЗЫКА ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ (ИСХОДНЫЕ СИМВОЛЫ, ТЕРМЫ, ФОРМУЛЫ)

I. Исходные символы языка.

1. Предметные переменные х, у, z, а т акже х с числовыми индексами:

(бесконечное счетное множество).

 2. Предметные константы (аналоги собственных имен ес­тественного языка): (также бесконечное счетное множество).

3. Знаки свойств и отношений различных местностей — предикатные символы, или предикаторы:

P¹, Q ¹, R¹, S¹,...;

Р², Q², R², S²,...;

…………………..

 

Pⁿ,Qⁿ,Rⁿ,Sⁿ

и возможно эти символы с нижними индексами:

P¹₁, P¹₂, P¹₃, …

P²₁, P²₂, P²₃, … и т.д.

(верхние индексы указывают на местность предикатора, ни­жние индексы используются для расширения множества предикаторов той или иной местности; количество предикат­ных символов той или иной местности вводится в зависимо­сти от предназначения языка. Однако, поскольку речь идет о языке логики предикатов, должен быть введен,покрайней мере один предикатный символ).

4. Знаки предметных функций различных местностей (предметные функторы):

f¹₁, f¹₂, …

f²₁,f²₂, …

………….

fⁿ₁, fⁿ₂, …

(число функциональных символов той или иной местности зависит также от предназначения языка, возможно отсут­ствие символов этого рода вообще).

5. Логические константы: ⊃,&,",∃,∨, соответствен­но — импликация, конъюнкция, квантор общности, квантор существования, дизъюнкция и отрицание. (Зачастую вво­дят лишь некоторые из этих символов. Из кванторов доста­точны только ∀ или ∃, из остальных, называемых логически­ми связками, достаточно: ⊃ и, или  ∨ и, или & и. Другие константы, как, впрочем, и другие знаки, могут вво­диться по определению.)

6. Технические знаки: (- левая скобка,)-правая скобка,,- запятая.

Предметные константы, предикаторы, предметные функ­торы и предметные переменные называют дескриптивными терминами языка, при этом три первых категории (в отличие от предметных переменных) суть — дескриптивные постоян­ные данного языка.

II. Термы. Выражения этого типа являются аналогами имен естественного языка.

Определение: а) любая предметная переменная и предметная константа есть терм; б) если есть тер­мы и f¸ⁿ есть n-местный предметный функтор, то f¸ⁿ (   есть терм;  в) ничто, кроме указанного в пунктах а) и б), не есть терм.

III. формулы. В числе этих выражений имеются аналоги повествовательных предложений естественного языка, а так­же высказывательные формы — предикаты, представляющие собой особую семантическую категорию, которая не выделяется, — по крайней мере, явным образом — в естественном языке.

Определение: а) если  термы и P¸ⁿ n-мест­ный предикатор, то P¸ⁿ ()  есть формула (атомарная);

б) если А и В — формулы, то (А⊃В), (А&В), (AvB), A — формулы; в) если х есть предметная переменная и А — фор­мула, то ∀ x A и ∃ x A — формулы; г) ничто, кроме указанно­го в пунктах а) — в), не есть формула.

Договоримся в дальнейшем опускать, когда это удобно, внешние скобки в отдельно взятых формулах; например, вместо (А & В) писать просто

А &В.

Использованные в определениях терма и формулы сим­волы и f¸ⁿ, P¸ⁿ, A, B, x (и в дальнейшем возможно x₁, x ₂ и т. д.) — знаки метаязыка называемые также син­таксическими переменными, возможными зна­чениями которых являются выражения соответствующей ка­тегории описываемого (объектного) языка.

Формулы А и В, встречающиеся в пунктах б) и в), назы­ваются подформулами указанных здесь формул.

Введенные понятия исходного символа, терма и формулы языка являются эффективными (иначе: рекурсивными). По­следнее означает, что имеется точный способ, с помощью которого всегда можно определить, относится ли некоторый символ к числу исходных символов языка, а для каждой последовательности исходных символов можем определить, представляет ли  она терм или формулу. Для термов и формул такой способ заключен в их индуктивных определениях. Так, в каждой формуле, содержащей логические константы (знаки логических операций), имеется главная, или, что то же, последняя, в построении формулы операции. Выделив ее, мы выделяем тем самым собственные подформулы этой формулы. В последних снова выделяем главную операцию и так далее, пока не дойдем до какой-либо атомарной форму­лы. Если в процессе такого анализа исходного выражения в какой-либо части его, не являющейся атомарной формулой, нельзя выделить знак главной операции, то эта часть не яв­ляется формулой, а следовательно, таковой не является все выражение. Возможность распознавания атомарных формул среди последовательностей символов является очевидной. (При констатации эффективности введенных понятий подразумевается так называемая абстракция отождествления согласно которой все различные случаи употребления некото­рого символа, например а, рассматриваются как различные экземпляры, одного и того же символа, и предполагается, что мы умеем узнавать символ, несмотря на некоторые, всегда имеющиеся различия в его написаниях.)

 

123Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: