Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Уравнения математической физики

Решение типового (чётного) варианта

Задача № 1. Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду:

. (1.1)

Решение. Уравнению (1.1) соответствует квадратичная форма

где , , .

Так как , то заданное уравнение имеет гиперболический тип и, значит, имеет два семейства характеристик. Их дифференциальные уравнения

После интегрирования получим уравнения двух семейств характеристик для дифференциального уравнения (1.1):

; . (1.2)

Согласно уравнениям характеристик (1.2) вводим замену , . Применяя формулы дифференцирования сложной функции двух переменных, выразим частные производные по старым переменным через частные производные по новым переменным:

; ;

;

Подставив эти производные в уравнение (1.1), получим

т.е. . Сокращая на , приходим к уравнению канонического вида

. (1.3)

Задача № 2. Найти решение уравнения

, (2.1)

удовлетворяющее начальным условиям

, , (2.2)

и граничным условиям

, , . (2.3)

Вид функций и изображён на рисунке 2.1 (; ; ; ).

Решение. Найдём аналитические выражения для функций и . Уравнение прямой (рис. 2.1) запишем как уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент , то есть : . Аналогично запишется уравнение прямой как уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент , то есть : . Следовательно, начальные условия (2.2) имеют вид

Рис. 2.1

(2.4)

Задачу будем решать методом Фурье (методом разделения переменных). Частные, не равные тождественно нулю, решения уравнения (2.1), удовлетворяющие граничным условиям (2.3) будем искать в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от , а другая – только от , то есть

, (2.5)

где и – функции, подлежащие определению. Функцию из (2.5) подставим в уравнение (2.1). Получим

Отсюда, разделяя переменные, находим

. (2.6)

Равенство (2.6), левая часть которого не зависит от , а правая – от , возможно лишь в том случае, если обе его части не зависят ни от , ни от , то есть представляют собой одну и ту же постоянную, которую обозначим через . Тогда

Следовательно, получаем два уравнения относительно функций и :

(2.7)

. (2.8)

Удовлетворим граничным условиям (2.3)

, (2.9)

и найдём такие значения , при которых существуют отличные от нуля решения уравнения (2.8). Для нахождения общего решения уравнения (2.8) составим характеристическое уравнение

Корнями этого уравнения являются , и, следовательно, общее решение уравнения (2.8) имеет вид

Подставим это решение в соотношения (2.9). Тогда

Решая систему, получим , ; , , что возможно только в случае . Отсюда собственные значения задачи Штурма – Лиувилля, то есть такие значения , при которых задача (2.8), (2.9) имеет нетривиальные решения, равны , Тогда решения этой задачи (собственные функции) имеют вид

Найдём теперь общее решение уравнения (2.7) при . Для этого составим характеристическое уравнение

Корнями этого уравнения будут , и, следовательно, общее решение уравнения (2.7) имеет вид

Полагая в этом выражении , , получаем

Тогда

Каждому значению отвечают свои постоянные и , поэтому пишем и , а постоянную включаем в и .

Так как уравнение (2.1) линейное и однородное, то функция

(2.10)

является решением уравнения (2.1), удовлетворяющим граничным условиям (2.3).

Определим теперь и так, чтобы решение (2.10) удовлетворяло и начальным условиям (2.4), то есть

, . (2.11)

Функции и разлагаются в ряд Фурье в промежутке по синусам, и тогда

. (2.12)

. (2.13)

Подставляя выражения (2.4) для функций и соответственно в (2.12) и (2.13), находим

;

Найденные значения и подставим в (2.10) и получим искомое решение в виде

Задача № 3. Методом Фурье найти решение уравнения

, (3.1)

удовлетворяющее начальному условию

, (3.2)

и граничным условиям

, , . (3.3)

Вид функции изображён на рисунке 3.1 (; ; ; ).

Решение. Найдём аналитические выражения для функции . Функция при . В интервале запишем в виде уравнения прямой, проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент . Тогда в этом интервале

С учётом полученных выражений начальное условие (3.2) запишем в виде

(3.4)

Рис. 3.1

Так как граничные условия не нулевые, то метод Фурье для решения задачи (3.1) – (3.3) не применим. Поэтому введём новую функцию

, (3.5)

где и – постоянные, которые надо определить так, чтобы

, , . (3.6)

Итак,

, (3.7)

. (3.8)

Из системы уравнений

имеем , . Тогда

. (3.9)

Подставляя функцию из (3.9) в уравнение (3.1), получим уравнение для функции :

, (3.10)

а начальные и граничные условия примут вид:

(3.11)

, , . (3.12)

Теперь для решения краевой задачи (3.10) – (3.12) можно применить метод Фурье. Пусть

. (3.13)

Подставляя (3.13) в (3.10) и разделяя переменные, получим

, . (3.14)

Из (3.14) получаем уравнения для определения и :

, (3.15)

. (3.16)

Общие решения этих уравнений имеют вид

, (3.17)

. (3.18)

Для нахождения постоянных и воспользуемся граничными условиями (3.12). Функция , как следует из (3.12), удовлетворяет граничным условиям

, . (3.19)

Подставим (3.18) и в граничные условия (3.19) Тогда

Решая эту систему уравнений и учитывая, что ищется ненулевое решение задачи Штурма – Лиувилля (3.16), (3.19), получим

, , , , ,

Найденным собственным значениям задачи соответствуют собственные функции

Общее решение (3.17) уравнения (3.15) при примет вид

Тогда в соответствии с представлением решения в виде (3.13) получим частные решения уравнения (3.10) в виде

Запишем теперь решение краевой задачи (3.10) – (3.12):

, (3.20)

где – пока неизвестные постоянные, определяемые из начального условия (3.11). Полагая в (3.20) и учитывая (3.11), получим

Отсюда найдём коэффициенты этого тригонометрического ряда Фурье:

Подставляя найденные значения в (3.20) и учитывая (3.9), получим искомое решение в виде

Задача № 4. Найти стационарное распределение температуры в прямоугольной пластинке , если известны значения температуры на границе пластинки:

, , ;

(4.1)

, , .

Решение. Стационарное распределение температуры в прямоугольной пластинке описывается уравнением Лапласа

. (4.2)

Так как на границе пластинки заданы условия (4.1), то поставленная задача есть задача Дирихле для квадрата. Граничные условия не являются однородными (нулевыми) на параллельных сторонах квадрата. Поэтому для нахождения решения краевой задачи (4.2), (4.1) представим его в виде суммы

, (4.3)

где обе функции и удовлетворяют уравнению Лапласа, но подчиняется граничным условиям

, , ;

(4.1)

, , .

а – граничным условиям

, , ,

(4.5)

, , .

Функции и будем искать методом Фурье. Функцию представим в виде

, (4.6)

где и – некоторые неизвестные функции.

Для отыскания функций и функцию подставим в уравнение (4.2). Тогда

Следовательно,

, (4.7)

где – постоянная величина. Таким образом, и есть решения обыкновенных дифференциальных уравнений

, (4.8)

, (4.9)

причём согласно нулевым граничным условиям из (4.4)

, . (4.10)

Найдём решение задачи Штурма – Лиувилля (4.8), (4.10). Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения (4.8) имеет вид

Запишем теперь общее решение уравнения (4.8):

. (4.11)

Удовлетворим это решение условиям (4.10):

Отсюда

, , ,

Таким образом, собственные значения и собственные функции задачи Штурма – Лиувилля имеют вид

, , .

При уравнение (4.9) примет вид

Отсюда находим общее решение этого уравнения:

где и – произвольные постоянные.

Функции удовлетворяют уравнению (4.2) и нулевым граничным условиям на сторонах квадрата и . Этим же условиям будет удовлетворять сумма функционального ряда

, (4.12)

при условии возможности его почленного дифференцирования.

Определим и так, чтобы функция удовлетворяла и двум другим условиям из (4.4). Подставим решение (4.12) в граничные условия (4.4). Получим соотношения

(4.13)

Ряды в правых частях этих соотношений представляют собой разложения функций и в тригонометрический ряд Фурье по синусам на интервале . Из первого уравнения системы находим

Из второго уравнения системы получаем

Отсюда

Подставим найденные значения коэффициентов разложения и в (4.12). Тогда

. (4.14)

Найдём решение , удовлетворяющее граничным условиям (4.5), тем же способом, что и функцию , то есть представим частное решение краевой задачи для в виде

;