 |
Уравнения математической физики
|
|
|
|
Решение типового (нечётного) варианта
Задача № 2. Найти решение 
уравнения
, (2.1)
удовлетворяющее начальным условиям
, 
, 
(2.2)
и граничным условиям
, 
, 
. (2.3)
Вид функций 
и 
изображён на рисунке 2.1 (
; 
; 
; 
).
Решение. Найдём аналитические выражения для функций 
и 
. Уравнение прямой 
(рис. 2.1) запишем как уравнение прямой, проходящей через точку 
и имеющей угловой коэффициент 
, то есть : 
. Аналогично запишется уравнение прямой 
как уравнение прямой, проходящей через точку 
и имеющей угловой коэффициент 
, то есть : 
. Следовательно, начальные условия (2.2) имеют вид
(2.4)
|
| Рис. 2.1. |
Задачу будем решать методом Фурье (методом разделения переменных). Частные, не равные тождественно нулю, решения уравнения (2.1), удовлетворяющие граничным условиям (2.3) будем искать в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от 
, а другая – только от 
, то есть
, (2.5)
где 
и 
– дважды непрерывно-дифференцируемые функции своих аргументов, подлежащие определению. Функцию 
из (2.5) подставим в уравнение (2.1). Получим
.
Отсюда, разделяя переменные, находим
. (2.6)
Равенство (2.6), левая часть которого не зависит от , а правая – от , возможно лишь в том случае, если обе его части не зависят ни от , ни от , то есть представляют собой одну и ту же постоянную, которую обозначим через 
. Тогда
.
Следовательно, получаем два уравнения относительно функций 
и 
:
(2.7)
и
. (2.8)
Удовлетворим граничным условиям (2.3)
, 
(2.9)
и найдём такие значения 
, при которых существуют отличные от нуля решения уравнения (2.8). Для нахождения общего решения уравнения (2.8) составим характеристическое уравнение
.
Корнями этого уравнения являются 
, и, следовательно, общее решение уравнения (2.8) имеет вид
|
|
|
,
.
Подставим это решение в соотношения (2.9). Тогда
Решая систему, получим 
, 
; 
, 
, что возможно только в случае 
, 
Отсюда собственные значения задачи Штурма – Лиувилля, то есть такие значения , при которых задача (2.8), (2.9) имеет нетривиальные решения, равны 
, Тогда решения этой задачи (собственные функции) имеют вид
,
Найдём теперь общее решение уравнения (2.7) при 
. Для этого составим характеристическое уравнение
.
Корнями этого уравнения будут 
, и, следовательно, общее решение уравнения (2.7) имеет вид
.
Полагая в этом выражении 
, , получаем
.
Тогда
.
Каждому значению 
отвечают свои постоянные 
и 
, поэтому пишем 
и 
, а постоянную 
включаем в и .
Так как уравнение (2.1) линейное и однородное, то функция
(2.10)
является решением уравнения (2.1), удовлетворяющим граничным условиям (2.3).
Определим теперь 
и 
так, чтобы решение (2.10) удовлетворяло и начальным условиям (2.4), то есть
, 
. (2.11)
Функции 
и 
разлагаются в ряд Фурье в промежутке 
по косинусам, и тогда
. (2.12)
. (2.13)
Подставляя выражения (2.4) для функций и соответственно в (2.12) и (2.13), находим
;
.
Найденные значения и подставим в (2.10) и получим искомое решение в виде
.
Задача № 3. Методом Фурье найти решение уравнения
, (3.1)
удовлетворяющее начальному условию
, 
(3.2)
и граничным условиям
, 
, . (3.3)
Вид функции 
изображён на рисунке 3.1 (
; 
; 
; 
).
Рис. 3.1.
|
Решение. Найдём аналитические выражения для функции 
. Функция 
при 
. В интервале 
запишем в виде уравнения прямой, проходящей через точку 
и имеющей угловой коэффициент 
. Тогда в этом интервале
.
С учётом полученных выражений начальное условие (3.2) запишем в виде
(3.4)
Так как граничные условия не нулевые, то метод Фурье для решения задачи (3.1) – (3.3) не применим. Поэтому введём новую функцию
, (3.5)
где 
и 
– постоянные, которые надо определить так, чтобы
, 
, . (3.6)
|
|
|
Итак,
, (3.7)
. (3.8)
Из системы уравнений
имеем 
, 
. Тогда
. (3.9)
Подставляя функцию 
из (3.9) в уравнение (3.1), получим уравнение для функции :
, (3.10)
а начальные и граничные условия примут вид:
(3.11)
, , . (3.12)
Теперь для решения краевой задачи (3.10) – (3.12) можно применить метод Фурье. Пусть
. (3.13)
Подставляя (3.13) в (3.10) и разделяя переменные, получим
, 
. (3.14)
Из (3.14) получаем уравнения для определения и :
, (3.15)
. (3.16)
Общие решения этих уравнений имеют вид
, (3.17)
. (3.18)
Для нахождения постоянных 
и 
воспользуемся граничными условиями (3.12). Функция , как следует из (3.12), удовлетворяет граничным условиям
, 
. (3.19)
Подставим (3.18) в граничные условия (3.19) Тогда
Решая эту систему уравнений и учитывая, что ищется ненулевое решение задачи Штурма – Лиувилля (3.16), (3.19), получим
, 
, 
, 
, 
Найденным собственным значениям 
задачи соответствуют собственные функции
,
Общее решение (3.17) уравнения (3.15) при примет вид
.
Тогда в соответствии с представлением решения 
в виде (3.13) получим частные решения уравнения (3.10) в виде
,
Запишем теперь решение краевой задачи (3.10) – (3.12):
, (3.20)
где 
– пока неизвестные постоянные, определяемые из начального условия (3.11). Полагая 
в (3.20) и учитывая (3.11), получим
.
Отсюда найдём коэффициенты этого тригонометрического ряда Фурье:
.
Подставляя найденные значения в (3.20) и учитывая (3.9), получим искомое решение в виде
.
Работу выполнил: дата, подпись.
|
|
|
