Введение понятия потенциалов в электростатику

Открытие закона Кулона было очень важным шагом в развитии учения об электричестве и магнетизме. Это был первый физический закон, выражающий количественные соотношения между физическими величинами в учении об электричестве и магнетизме.

С помощью этого закона можно было решать задачи о нахождении сил, действующих на заряды со стороны других зарядов, как угодно расположенных в пространстве. Если это были точечные заряды, то подобные задачи решались сразу непосредственным применением закона Кулона. Если же заряды распределялись в телах непрерывно по объему или по поверхности, то нужно было ввести понятие объемной или поверхностной плотности зарядов. Именно когда заряды непрерывно распределялись по объему, то плотность заряда r определялась величиной D q/D V, где D V — элемент объема, а D q — заряд, находящийся в этом объеме, совсем так же, как определяется плотность вещества в случае неравномерного распределения масс в теле.

Аналогично и поверхностная плотность заряда s определяется по формуле: s = D q/ D S, где D S — элемент поверхности, а D S — заряд, приходящийся на этот элемент поверхности.

Далее, для определения сил, действующих на заряженные тела в случае непрерывного распределения зарядов, поступали аналогично тому, как поступали в теории тяготения для случая непрерывно распределенных масс.

Объем или поверхность рассматриваемых тел разбивали на элементы объема или элементы поверхности и для взаимодействия зарядов, находящихся в этих элементах объема или на этих элементами поверхности, применяли непосредственно закон Кулона, поскольку такие заряды можно было считать точечными.

Однако такого рода задачи не представляли большого интереса. Гораздо более интересными и важными были задачи, в которых требовалось определить распределение зарядов на проводниках.

Такова, например, задача о распределении электричества на проводнике заданной формы.

Имеется проводник заданной формы. Ему сообщают определенный электрический заряд. Нужно найти, как распределится этот заряд на проводнике и какова будет “электрическая сила” в пространстве, окружающем этот проводник. Мы сказали “электрическая сила”, а не напряженность электрического поля потому, что еще ни понятия поля, ни понятия напряженности не было. Говорили о силе, которая действует на заряд, помещенный в какую-либо точку пространства.

Для решения этой задачи сразу применять закон Купона нельзя, потому что распределение зарядов неизвестно. Как же поступить в этом случае?

Уже Кулон наметил путь решения этой задачи. Он установил, что электрический заряд располагается только на поверхности проводника, но с различной поверхностной плотностью. При этом, как уже было ясно, “электрические силы”, действующие внутри проводника, должны быть равны нулю.

Этот принцип положил в основу разработанной им теории распределения зарядов по проводнику французский ученый Пуассон в начале XIX в.

Пуассон (так же как и Кулон) считал в противоположность мнениям Франклина и Эпинуса, что существуют две электрические жидкости (положительное и отрицательное электричество). Частицы одной и той же жидкости отталкиваются, а разных — притягиваются. Силы притяжения и отталкивания определяются законом Кулона.

В незаряженном состоянии в теле имеются равные количества электричества обоих знаков. Они распределены равномерно и не обнаруживают себя. Тело приобретает электрический заряд, если ему сообщается дополнительное количество электричества того или иного знака.

В проводниках электрические частицы передвигаются свободно, в непроводниках их передвижение затруднено.

Если проводящему электричество телу сообщают электрический заряд, то электрические частицы, отталкиваясь друг от друга, будут стремиться к поверхности проводника. И так как проводник окружен непроводящим воздухом, то электричество будет скапливаться тонким слоем на его поверхности. Этот процесс пойдет до тех пор, пока все частицы электрической материи не соберутся на поверхности. И в этом случае электрические силы внутри проводника станут равными нулю, какими они были и до того, как проводнику сообщили электрический заряд.

Равенство нулю “электрической силы” внутри проводника является главным условием, на основе которого можно решать задачу о распределении электрического заряда в проводнике. И так как этот заряд располагается на его поверхности, то определяют поверхностную плотность электричества на этом проводнике.

Пользуясь указанным принципом, Пуассон решает задачу о распределении плотности электрического заряда на проводниках, имеющих форму шара, эллипсоида, двух соприкасающихся шаров. Что касается распределения заряда на поверхности шара, то эта задача решается сразу, исходя из симметрии фигуры. Действительно, ведь все точки поверхности шара совершенно одинаковы, и нет никакого основания для того, чтобы в какой-либо точке плотность электрического заряда отличалась бы от его плотности в другой точке. Поэтому мы приходим к заключению, что электрический заряд распределяется с равномерной плотностью по всей поверхности шара.

Решая задачи на распределение электричества по поверхности проводников, Пуассон пришел к мысли ввести некоторую функцию, зависящую от координат, которая облегчала бы решение задач. Она замечательна тем, что принимает постоянное значение на поверхности проводника.

Изучил свойства этой функции и широко применил ее для решения задач на распределение электрических зарядов английский ученый Грин, который и назвал эту функцию потенциальной. Впоследствии же она получила наименование потенциала электрического поля.

Грин выяснил, что физический смысл имеет не сама эта функция, а разность ее значений для различных точек пространства. В различных точках проводника значение функции всегда одинаково. Говоря современным языком, поверхность проводника является эквипотенциальной поверхностью.

Помимо Грина, теорию потенциала разрабатывал немецкий математик Гаусс

Понятие потенциала электрического поля непосредственно связано с понятием потенциальной энергии. Действительно, потенциал в данной точке равен потенциальной энергии, которой обладает единичный положительный заряд, помещенный в эту точку. При этом значение потенциала, так же как и потенциальной энергии, определяется с точностью до произвольной постоянной. В связи с этим следует говорить не о потенциале данной точки, а о разности потенциалов между двумя точками (или потенциале данной точки относительно потенциала другой выбранной точки). Потенциал, так же как и потенциальная энергия, определяется работой, производимой электрическими силами при перемещении заряда в пространстве. Именно разность потенциалов двух точек электрического поля равна взятой с обратным знаком работе поля по перемещению единичного заряда из одной точки в другую.

Развитие электродинамики