Площадь криволинейной трапеции

Тема: Определенный интеграл.

 

Метод интегральной суммы.

Опр. Аддитивной величиной наз. параметр физической системы Р, который можно представить как сумму его значений от всех составных частей системы P = p_i.

Например, площадь фигуры, объем тела, длина пройденного пути. Разбиение на составные части в этих случаях совершенно произвольно. Разделение пространственного объекта можно довести до уровня отдельной точки, затем определить в ней значение нужного параметра, но вот вычислить сумму бесконечно большого числа таких слагаемых прямым суммированием нельзя. Приходится вводить специальную процедуру суммирования “точечных” параметров - метод интегральной суммы.

Задача. Вычислить площадь круга радиуса R.

Строим вписанный в круг n – угольник и соединяем его вершины с центром. Тогда АОС = 2 = 2 /n, AC = =2AB = 2R sin , S_AOC = AB BO = Rsin Rcos = ½ R²sin2 . Площадь многоугольника S_n = n S_AOC в пределе n переходит в площадь круга S = lim S_n =

=½ R² lim n sin 2 /n = R² lim sin(2 /n)/(2 /n) = R²

Последовательность действий: имеем основную фигуру, разделяем ее на n участков, вычисляем площадь одного треугольника, вычисляем общую площадь треугольников, переходим к пределу. Эта процедура носит универсальный характер.

Алгоритм метода интегральной суммы.

1. Исследуемая аддитивная система разделяется на n однотипных участков (разбиение Z).

2. Для каждого участка устанавливается некоторое приближенное значение аддитивного параметра p_i.

3. Проводится суммирование приближенных значений аддитивного параметра по всем n участкам P(n) = p_i

4. Переход к пределу lim P(n) = P при n дает точное решение задачи, т.е. определяет значение искомого параметра для всей системы

Опр. Интегральной суммой наз. сумма всех приближенных значений аддитивного параметра, определенных для каждого из n участков на которые была разделена исследуемая система.

Опр. Предел интегральной суммы, полученной путем разбиения пространственного объекта на составные части, наз. интегралом (определенным).Это главный параметр суммы

Вид суммы и её предела определяется условиями задачи и числом использованных переменных. Существуют двойные, тройные, криволинейные, поверхностные интегралы.

 

Площадь криволинейной трапеции

Опр. Фигура ограниченная графиком функции y = f(x) на промежутке [a,b], осью Ох и двумя перпендикулярами, восстановленными из точек a и b наз. криволинейной трапецией.

Метод интегральной суммы:

1) Отрезок [a, b] разделим на n равных частей точками x_i = a + i x, где i = 0,1,2, …,n и x = (b – a)/n. Из точек x_i восстановим перпендикуляры и соединим их прямыми | | оси Ох на высоте f( _i), где x_{i i} x_i+1 . Получим вспомогательную, ступенчатую фигуру, составленную из прямоугольников. 2) Площадь одного прямоугольника f( _i) x_i. 3)Площадь всей вспомогательной фигуры, т.е. интегральная сумма, равна

S_n = f( _i) x_i (1)

Чем больше n, тем точнее приближение, а предел n должен дать точный результат

 

Опр. Определенным интегралом от функции f(x) на промежутке [a,b] наз. предел интегральной суммы, полученный путем разбиения промежутка на малые участки.

lim f( _i) x_i = f(x) dx (2)

Здесь а – нижний предел, b – верхний предел, а сам символ повторяет основные элементы интегральной суммы. Введен Лейбницем.

Геометрический смысл определенного интеграла – площадь криволинейной трапе-ции. Геометрический смысл интегральной суммы – площадь вспомогательной фигуры.

 

Основные свойства определенного интеграла.

1⁰ A f(x)dx = A f(x)dx

Постоянный множитель выносится за знак интеграла, т.к. он может быть вынесен за знак суммы.

2⁰ [f(x) + g(x)] dx = f(x) dx + g(x) dx

Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов, т.к. предел от суммы функций равен сумме пределов.

3⁰ f(x) dx = f(x) dx = f(x) dx (a < c < b)

Интеграл на промежутке [a,b] можно представить как сумму интегралов, взятых по произвольным участкам [a,b]. См. геом. смысл неопр. ин-ла.

4⁰ f(x) dx = - f(x) dx Замена пределов меняет общий знак. (опр.)

5⁰ f(x) dx = 0 (нет ширины у трапеции)

6⁰ Теорема о среднем. f(x) dx = f() (b – a)

Определенный интеграл от непрерывной функции всегда можно представить как произведение полного приращения аргумента (b – a) на значение функции в некоторой промежуточной точке f(), т.к. для любой трапеции можно построить прямоугольник такой же ширины и площади (a b)

Пр. Вычислить площадь трапеции f(x) = x^k на интервале [0, a] (k- целое число)

1) Разбиение Z. Точками x_i = (a/n) i, где i = 1,2,… n с шагом x = (a/n)

2) Площадь i – ого прямоугольника f( _i) x_i = (x_i)^k x = (a/n)^k+1 i ^k

3) Интегральная сумма S_n = f( _i) x_i = (a/n)^k+1 i ^k

4) Доказано, что i ^k = n^k+1 / (k+1) + A_m n^k-m, где A_m – коэффициенты.

При переходе к пределу n не нулевой вклад дает только первое слагаемое и площадь трапеции равна S = lim S_n = a^k+1 /(k+1).

Отсюда легко получить площадь трапеции на произвольном интервале [a, b]. Достаточно записать разность площадей трапеций на интервалах [0, b] и [0,a]

S_ab = b^k+1/(k+1) - a^k+1/(k+1)

Если вычислять площадь трапеции от произвольной функции f(x) на интервале

[0,a] методом интегральной суммы,то приходится в f(x) заменять х на (a/n)i и суммировать сложное выражение S_n = (a/n) f((a/n)i), что удается в редких случаях. К счастью, существует более простой способ определения предела интегральной суммы. В последнем примере связь между исходной функцией f(x) = x^k и результатом S(x) = x^k+1/(k+1) оказалась простой S’(x) = f(x). Ниже покажем, что такая связь справедлива и для произвольной функции f(x).

Определенный интеграл с переменным верхним пределом.

Такой интеграл имеет вид Ф(х) = f(t) dt, является функцией от х и определяет площадь криволинейной трапеции переменной ширины (х – а). Возьмем производную от этой функции

Ф’(х) = lim Ф(х) / x

x 0

Ф(х+ x) - Ф(х) = f(t)dt - f(t)dt = f(t)dt + f(t)dt - f(t)dt = f(c) x

где с точка на промежутке [x, x+ x] по теореме о среднем. Перейдем к пределу

 

Ф’(x) = lim Ф(х) / x = lim f(c) x / x = f(c) = f(x)

x 0 x 0

т.е. интеграл с переменным верхним пределом является одной из первообразных для подынтегральной функции, т.к.

Ф’(x) = f(x) (3).

Формула Ньютона – Лейбница.

Это центральная теорема мат. анализа. Она делает замену сложной процедуры вычисления пределов интегральной суммы на процедуру вычисления первообразных.

 

Теорема. Определенный интеграл от непрерывной функции f(x) на промежутке [a, b] равен разности значений первообразных этой функции F(x) на концах отрезка

f(x) dx = F(b) - F(a) (4)

 

Доказательство. Имеем функцию f(x), ее первообразную F(x) и строим функцию

Ф(х) = f(t) dt, которая также является первообразной функции f(x) по условию (3). Т.о., имеем две первообразных, которые могут отличаться только на константу

Ф(x) = F(x) + C (5)

Значение константы С находим из (5) при x = a:

f(t) dt = F(a) + C = 0 или C = - F(a)

Теперь равенство (5) принимает вид f(t) dt = F(х) - F(a) и при x = b переходит в формулу Ньютона – Лейбница (4).

 

Вычисление работы.

Работа по перемещению тела по прямой на расстояние S под воздействием постоянной силы F равна A = F S. Сила может зависеть от величины смещения:

F = f(x). Например, силу растяжение пружины описывает закон Гука: F = k x. В этом случае расчет произведенной работы делают методом интегральной суммы.

1) Участок пути движения тела вдоль Ох от а до b разбивают на n отрезков длиной x = (b – a) / n; 2) Работа при перемещении вдоль одного отрезка равна

f( _i) x, где f( _i) -среднее значение силы для i – ого отрезка; 3) Сумма по всем отрезкам равна A(n) = f( _i) x и совпадает с интегральной суммой (1); 4) Переход к пределу n дает точное решение задачи

lim f( _i) x_i = А = f(x) dx (1)

 

Физический смысл определенного интеграла - работа по перемещению тела в поле переменных сил.

 

Вычислим этот предел для случая закона Гука. Пусть _i -крайние точкиотрезков, тогда f( _i) = k _i = k[a + ], x = и интегральная сумма равна

A(n) = k = k (b-a) { 1 + i }=

= k (b-a) { a + }

 

Переход к пределу A = lim A(n) = k (b-a) { a + (b-a)/2 } = k (b² – a²)/2

Формула Ньютона – Лейбница A = k x dx = k x²/2 |_a^b = k (b² – a²)/2

Теорема о среднем: A = k (b – a) (b + a)/2, т.е. среднее значение силы F() = k (b + a)/2

Приемы интегрирования.

Метод замены переменной при вычислении определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница требует дополнительной операции - переопределения пределов интегрирования.

 

Пр. x²dx /(x³ + 2)² = { t = x³+2, t_н=1³+2 = 3, t_в= 2³+2 =10, dt = 3x²dx, x²dx = dt/3}=

= 1/3 dt/t² = - 1/3 1/t |₃¹⁰ = 7/90

Формула интегрирования по частям принимает вид u dv = u v|_a^b - v du (6)

Пр. (x+3) sin x dx = {u = x+3, du = dx, dv = sin x dx, v = - cos x } =

= - (x+3) cos x |₀ + cos x dx = 3 + sin x |₀ = 4

Несобственные интегралы.

При введении определенного интеграла предполагалось, что функция f(x) ограничена, а интервал интегрирования конечен. Несобственные интегралы являются обобщением определенного интеграла на случай неограниченной функции и бесконечных пределов интегрирования.

 

Опр. Несобственным интегралом 1 рода (с бесконечными пределами интегрирования.) наз. предел определенного интеграла, когда его верхний, нижний предел устремляется к бесконечности

lim f(x) dx = J f(x) dx (7)

b

Интеграл наз. сходящимся несобственным, если предел существует и расходящимся, если такой предел не существует

Пр. dx / x ln x = lim d(ln x)/ ln x = lim (ln ln b – ln ln 5) =

b b

т.е. несобственный интеграл расходится. Если обозначить lim F(b) = F(+ ), то перейдем к обобщенной формуле Ньютона – Лейбница

f(x) dx = F(+ ) - F(a), F’(x) = f(x) (8)

Пр. dx / x ln x = d(ln x)/ ln x = ln in x |₅ = ln ln – ln ln 5 =

Опр. Несобственным интегралом 11 рода (от разрывных функций) наз. предел определенного интеграла, когда его верхний, нижний предел устремляются к точке разрыва II рода

lim f(x) dx = J f(x) dx, где lim f(x) = (9)

x b

Интеграл наз. сходящимся несобственным, если предел существует и расходящимся, если такой предел не существует

 

Пр. Функция f(x) = 1/ при 0 х < 1 ограничена и непрерывна, следовательно, интегрируема

lim 1/ dx = lim arcsin (1 - ) = /2

т.е. несобственный интеграл сходится. Если обозначить lim F(b - ) = F(b) при и для точки разрыва b функции f(x) (F’(x) = f(x)), то вычисление несобственного интеграла II рода проводится по обычнойформуле Ньютона – Лейбница

1/ dx = arcsin х |₀¹ = /2

Если функция f(x) на [a, b] имеет несколько точек разрыва, то в интеграле f(x) dx = F(b) - F(a) необходимо проверить значение F(x) для всех особых точек. Только полная непрерывность F(x) обеспечивает сходимость несобственного интеграла II рода.

Пр. Интеграл 2x dx/ (x² – 1) = ln |x² – 1| |_-2² не существует, т.к. первообразная обращается в в особых точках x = 1

Вычисление площади плоской фигуры.

Определенный интеграл f(x) dx, при условии f(x) > 0, определяет площадь криволинейной трапеции расположенной выше оси Ох. Если f(x) < 0, то значение интеграла будет отрицательно, т.к. имеем предел суммы отрицательных слагаемых. Если f(x) пересекает ось Ох, то трапеция делится на верхние и нижние участки и интеграл равен разности их площадей. Задачу вычисления полной площади криволинейной трапеции прилежащей к оси Ох определяют формулы

1. f(x) > 0 S_D = f(x) dx

2. f(x) < 0 S_D = - f(x) dx (10)

3. f(x) >< 0 S_D = f(x) dx - f(x) dx

4. f(x) > g(x) S_D = f(x) dx - g(x) dx

Пр. Вычислить площадь, ограниченную линиями y = sin x, y = 0, x = - /2, x = .

S_D = - sin x dx + sin x dx = cos x|⁰_-p./2 + cos x|₀^p = 3

Если криволинейная трапеция задана в параметрической форме: x = x(t), y = y(t),

t , x() = a, x() = b (a < b), y = 0, то переход к новым переменным дает

S_D = y(t) x’_t dt (11)

Пр. Вычислить площадь эллипса: x = a cos t, y = b sin t, 0 t 2

S_D = 4ab sin²t dt = ab

В том случае, если криволинейная трапеция прилежит к оси Оу (x = x(y), c £ y £ d), то ее площадь определяется интегралом

S = x(y) dy (12)

 

Площадь криволинейного сектора в полярных координатах.

Площадь кругового сектора радиуса R с углом равна

= = . Если r = r(), , то сектор становиться криволинейным и его площадь вычисляется методом интегральной суммы.1) Разбиение угла b -a точками _i = + i, где i =1,2,…n, с шагом = ()/n; 2) i – ый сектор заменяем на круговой сектор радиуса r( _i). Его площадь r²( _i)/2 ; 3) интегральная сумма S_n = r²( _i)/2 переходит в интеграл S_D = ½ [r()]²d (13)

 

Вычисление длины дуги.

Имеем кривую y = f(x) на [a, b]. Определим ее длину методом интегральной суммы.

1) Разобьем [a, b] на n равных по длине отрезков точками x_i = a + i (b – a)/n, где i = 0,1,2, …,n. Из точек x_i восстановим перпендикуляры до пересечения с кривой y = f(x) и соединим отрезками l _i соседние точки пересечения. В результате получим вспомогательную ломанную линию вдоль кривой; 2) Отрезок l _i есть гипотенуза треугольника с катетами x_i =(b-a)/n _, y_i = y_i – y_i-1 и его длина равна

l _i = = ; 3) Длина всей ломанной линии есть интегральная сумма L _n = ; 4) Переход к пределу n приводит к появлению производной lim = f `(x) и дает точную длину дуги в виде определенного интеграла

L = lim = (14)

 

Пр. Вычислить длину линии y = 2x + 1 на промежутке [1, 3].

Решение: y’ = 2, = , L = = x|₁³ = 2

Если x = x(t), y = y(t), t₁ < t < t₂, то l _i = и

L = (15)

Если функция задана в полярных координатах: r = r(j) – полярное уравнение,

j Î [a,b], тогда D x» d(x) = d(r(j) cos j) = [r’cos j - rsin j] dj, D y» d(y) = d(r(j) sin j) = [r’sin j + r cos j] dj, (D x)² + ( D y)² = [r²(j) + (r`(j))²] (dj)² и

L = (16)

 

Вычисление площади боковой поверхности и объема тела вращения.

Криволинейную трапецию, ограниченную неотрицательной функцией y = f(x) на [a, b] вращаем вокруг оси Ох и получаем цилиндрическое тело вращения. Определим площадь его боковой поверхности и объем методом интегральной суммы.

1) Вращение криволинейной трапеции предыдущего рисунка приведет к вспомогательной фигуре - последовательности усеченных конусов с радиусами оснований f(x_i) и наклонными длинной l _i. 2) Боковая поверхность и объем каждого такого конуса (цилиндра) равны

S_i = 2 l _i (f(x_i) + f(x_i-1)) / 2; V_i = f(x_i)² x_i

3) Просуммируем S_i, V_i и получим две интегральные суммы

S(n) = 2 l _i f(x_i); V(n) = f(x_i)² x_i

4) Переход к пределу n дает решение задачи

S_бок = lim S(n) = 2 f(x) (17)

V = lim V(n) = f²(x) dx (18)

Пр. Определить площадь боковой поверхности и объем кругового конуса высоты h и радиуса основания r.

Решение. Уравнение образующей y = r/h x, где 0 <x < h. Тогда y’ = r/h, =

S_бок = 2 r/h x dx = r = r l

V = (r/h)² x² dx = h r² / 3

Устные экзаменационные вопросы

по теме: «Неопределенный и определенный интегралы, КЧ»

Повторение: 1) Опр. функции; 2) Опр. сложной функции, перечислить ее элементы; 3) Опр. производной по Коши и по Ньютону, её алгебраический, физический, геометрический смысл; 4) Перечислить правила дифференцирования; 5) Опр. дифференциала, правило его вычисления.

 

1. Опр. первообразной функции и неопределенного интеграла.

2. Перечислить названия элементов, входящих под знак неопределенного интеграла.

3. Сколько первообразных имеет каждая функция и почему?

4. Перечислить основные свойства неопр. интеграла.

5. Объяснить инвариантность формы дифференциала сложной функции и неопр ин-ла.

6. Что такое непосредственное интегрирование?

7. В чем заключается идея метода замены переменных?

8. Вывод формулы интегрирования по частям.

9. Основная теорема алгебры.

10. Опр. рациональной алгебраической дроби. Переход от неправ-ой к прав-ой дроби.

11. Записать формулу разложения рац-ой алгебр-ой дроби на сумму простых дробей.

12. Общее правило при линейной замене переменных.

13. Перечислить основные виды замены переменных в интегралах от тригон. функций.

14. Правила вычисления интегралов с линейными и квадратичными иррациональностями.

15. Опр. аддитивной величины.

16. Алгоритм метода интегральной суммы.

17. Опр. интегральной суммы.

18. Опр. криволинейной трапеции.

19. Опр. определенного интеграла. Его геометрический и физический смысл.

20. Перечислить основные свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.

21. Опр. интеграл с переменным верхним пределом. Его вид и общее свойство.

22. Доказать формулу Ньютона-Лейбница. Ее значение в мат. анализе.

23. Опр. несобственного интеграла 1 и 2 рода. Общее правило вычисления интеграла от разрывных функций.

24. Общие правила вычисления площади плоской фигуры.

25. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах. Записать интегральную сумму и интеграл.

26. Длина произвольной дуги. Записать интегральную сумму и интеграл.

27. Боковая поверхность и объем тела вращения. Записать интегральную сумму и интеграл.

 

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: