Площадь криволинейной трапеции
Тема: Определенный интеграл.
Метод интегральной суммы. Опр. Аддитивной величиной наз. параметр физической системы Р, который можно представить как сумму его значений от всех составных частей системы P = Например, площадь фигуры, объем тела, длина пройденного пути. Разбиение на составные части в этих случаях совершенно произвольно. Разделение пространственного объекта можно довести до уровня отдельной точки, затем определить в ней значение нужного параметра, но вот вычислить сумму бесконечно большого числа таких слагаемых прямым суммированием нельзя. Приходится вводить специальную процедуру суммирования “точечных” параметров - метод интегральной суммы.
Строим вписанный в круг n – угольник и соединяем его вершины с центром. Тогда =½ R2 lim n sin 2 Последовательность действий: имеем основную фигуру, разделяем ее на n участков, вычисляем площадь одного треугольника, вычисляем общую площадь треугольников, переходим к пределу. Эта процедура носит универсальный характер. Алгоритм метода интегральной суммы. 1. Исследуемая аддитивная система разделяется на n однотипных участков (разбиение Z). 2. Для каждого участка устанавливается некоторое приближенное значение аддитивного параметра pi. 3. Проводится суммирование приближенных значений аддитивного параметра по всем n участкам P(n) = 4. Переход к пределу lim P(n) = P при n Опр. Интегральной суммой наз. сумма всех приближенных значений аддитивного параметра, определенных для каждого из n участков на которые была разделена исследуемая система.
Опр. Предел интегральной суммы, полученной путем разбиения пространственного объекта на составные части, наз. интегралом (определенным).Это главный параметр суммы
Площадь криволинейной трапеции Опр. Фигура ограниченная графиком функции y = f(x) на промежутке [a,b], осью Ох и двумя перпендикулярами, восстановленными из точек a и b наз. криволинейной трапецией. Метод интегральной суммы: 1) Отрезок [a, b] разделим на n равных частей точками xi = a + i Sn = Чем больше n, тем точнее приближение, а предел n
Опр. Определенным интегралом от функции f(x) на промежутке [a,b] наз. предел интегральной суммы, полученный путем разбиения промежутка на малые участки. lim Здесь а – нижний предел, b – верхний предел, а сам символ повторяет основные элементы интегральной суммы. Введен Лейбницем. Геометрический смысл определенного интеграла – площадь криволинейной трапе-ции. Геометрический смысл интегральной суммы – площадь вспомогательной фигуры.
Основные свойства определенного интеграла. 10 Постоянный множитель выносится за знак интеграла, т.к. он может быть вынесен за знак суммы. 20 Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов, т.к. предел от суммы функций равен сумме пределов.
30 Интеграл на промежутке [a,b] можно представить как сумму интегралов, взятых по произвольным участкам [a,b]. См. геом. смысл неопр. ин-ла. 40 50 60 Теорема о среднем. Определенный интеграл от непрерывной функции всегда можно представить как произведение полного приращения аргумента (b – a) на значение функции в некоторой промежуточной точке f( Пр. Вычислить площадь трапеции f(x) = xk на интервале [0, a] (k- целое число) 1) Разбиение Z. Точками xi = (a/n) i, где i = 1,2,… n с шагом 2) Площадь i – ого прямоугольника f( 3) Интегральная сумма Sn = 4) Доказано, что При переходе к пределу n Отсюда легко получить площадь трапеции на произвольном интервале [a, b]. Достаточно записать разность площадей трапеций на интервалах [0, b] и [0,a] Sab = bk+1/(k+1) - ak+1/(k+1) Если вычислять площадь трапеции от произвольной функции f(x) на интервале [0,a] методом интегральной суммы,то приходится в f(x) заменять х на (a/n)i и суммировать сложное выражение Sn = (a/n) Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Такой интеграл имеет вид Ф(х) = Ф’(х) = lim
Ф(х+ где с точка на промежутке [x, x+
Ф’(x) = lim
т.е. интеграл с переменным верхним пределом является одной из первообразных для подынтегральной функции, т.к.
Ф’(x) = f(x) (3). Формула Ньютона – Лейбница. Это центральная теорема мат. анализа. Она делает замену сложной процедуры вычисления пределов интегральной суммы на процедуру вычисления первообразных.
Теорема. Определенный интеграл от непрерывной функции f(x) на промежутке [a, b] равен разности значений первообразных этой функции F(x) на концах отрезка
Доказательство. Имеем функцию f(x), ее первообразную F(x) и строим функцию Ф(х) = Ф(x) = F(x) + C (5) Значение константы С находим из (5) при x = a:
Теперь равенство (5) принимает вид
Вычисление работы. Работа по перемещению тела по прямой на расстояние S под воздействием постоянной силы F равна A = F S. Сила может зависеть от величины смещения: F = f(x). Например, силу растяжение пружины описывает закон Гука: F = k x. В этом случае расчет произведенной работы делают методом интегральной суммы. 1) Участок пути движения тела вдоль Ох от а до b разбивают на n отрезков длиной f( lim
Физический смысл определенного интеграла - работа по перемещению тела в поле переменных сил.
Вычислим этот предел для случая закона Гука. Пусть A(n) = k = k (b-a) { a +
Переход к пределу A = lim A(n) = k (b-a) { a + (b-a)/2 } = k (b2 – a2)/2 Формула Ньютона – Лейбница A = k Теорема о среднем: A = k (b – a) (b + a)/2, т.е. среднее значение силы F( Приемы интегрирования. Метод замены переменной при вычислении определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница требует дополнительной операции - переопределения пределов интегрирования.
Пр. = 1/3 Формула интегрирования по частям принимает вид Пр. = - (x+3) cos x |0 Несобственные интегралы. При введении определенного интеграла предполагалось, что функция f(x) ограничена, а интервал интегрирования конечен. Несобственные интегралы являются обобщением определенного интеграла на случай неограниченной функции и бесконечных пределов интегрирования.
Опр. Несобственным интегралом 1 рода (с бесконечными пределами интегрирования.) наз. предел определенного интеграла, когда его верхний, нижний предел устремляется к бесконечности lim b Интеграл наз. сходящимся несобственным, если предел существует и расходящимся, если такой предел не существует Пр. b т.е. несобственный интеграл расходится. Если обозначить lim F(b) = F(+
Пр. Опр. Несобственным интегралом 11 рода (от разрывных функций) наз. предел определенного интеграла, когда его верхний, нижний предел устремляются к точке разрыва II рода
Интеграл наз. сходящимся несобственным, если предел существует и расходящимся, если такой предел не существует
Пр. Функция f(x) = 1/ lim
т.е. несобственный интеграл сходится. Если обозначить lim F(b -
Если функция f(x) на [a, b] имеет несколько точек разрыва, то в интеграле Пр. Интеграл Вычисление площади плоской фигуры.
1. f(x) > 0 SD = 2. f(x) < 0 SD = - 3. f(x) >< 0 SD = 4. f(x) > g(x) SD = Пр. Вычислить площадь, ограниченную линиями y = sin x, y = 0, x = - SD = - Если криволинейная трапеция задана в параметрической форме: x = x(t), y = y(t),
SD = Пр. Вычислить площадь эллипса: x = a cos t, y = b sin t, 0 SD = 4ab
S =
Площадь кругового сектора радиуса R с углом
Вычисление длины дуги.
1) Разобьем [a, b] на n равных по длине отрезков точками xi = a + i (b – a)/n, где i = 0,1,2, …,n. Из точек xi восстановим перпендикуляры до пересечения с кривой y = f(x) и соединим отрезками l i соседние точки пересечения. В результате получим вспомогательную ломанную линию вдоль кривой; 2) Отрезок l i есть гипотенуза треугольника с катетами l i = L = lim
Пр. Вычислить длину линии y = 2x + 1 на промежутке [1, 3]. Решение: y’ = 2, Если x = x(t), y = y(t), t1 < t < t2, то l i = L = Если функция задана в полярных координатах: r = r(j) – полярное уравнение, j Î [a,b], тогда D x» d(x) = d(r(j) cos j) = [r’cos j - rsin j] dj, D y» d(y) = d(r(j) sin j) = [r’sin j + r cos j] dj, (D x)2 + ( D y)2 = [r2(j) + (r`(j))2] (dj)2 и L =
Вычисление площади боковой поверхности и объема тела вращения.
1) Вращение криволинейной трапеции предыдущего рисунка приведет к вспомогательной фигуре - последовательности усеченных конусов с радиусами оснований f(xi) и наклонными длинной l i. 2) Боковая поверхность и объем каждого такого конуса (цилиндра) равны Si = 2 3) Просуммируем Si, Vi и получим две интегральные суммы S(n) = 2 4) Переход к пределу n Sбок = lim S(n) = 2 V = lim V(n) =
Решение. Уравнение образующей y = r/h x, где 0 <x < h. Тогда y’ = r/h, Sбок = 2 V = Устные экзаменационные вопросы по теме: «Неопределенный и определенный интегралы, КЧ» Повторение: 1) Опр. функции; 2) Опр. сложной функции, перечислить ее элементы; 3) Опр. производной по Коши и по Ньютону, её алгебраический, физический, геометрический смысл; 4) Перечислить правила дифференцирования; 5) Опр. дифференциала, правило его вычисления.
1. Опр. первообразной функции и неопределенного интеграла. 2. Перечислить названия элементов, входящих под знак неопределенного интеграла. 3. Сколько первообразных имеет каждая функция и почему? 4. Перечислить основные свойства неопр. интеграла. 5. Объяснить инвариантность формы дифференциала сложной функции и неопр ин-ла. 6. Что такое непосредственное интегрирование? 7. В чем заключается идея метода замены переменных? 8. Вывод формулы интегрирования по частям. 9. Основная теорема алгебры. 10. Опр. рациональной алгебраической дроби. Переход от неправ-ой к прав-ой дроби. 11. Записать формулу разложения рац-ой алгебр-ой дроби на сумму простых дробей. 12. Общее правило при линейной замене переменных. 13. Перечислить основные виды замены переменных в интегралах от тригон. функций. 14. Правила вычисления интегралов с линейными и квадратичными иррациональностями. 15. Опр. аддитивной величины. 16. Алгоритм метода интегральной суммы. 17. Опр. интегральной суммы. 18. Опр. криволинейной трапеции. 19. Опр. определенного интеграла. Его геометрический и физический смысл. 20. Перечислить основные свойства определенного интеграла. Теорема о среднем. 21. Опр. интеграл с переменным верхним пределом. Его вид и общее свойство. 22. Доказать формулу Ньютона-Лейбница. Ее значение в мат. анализе. 23. Опр. несобственного интеграла 1 и 2 рода. Общее правило вычисления интеграла от разрывных функций. 24. Общие правила вычисления площади плоской фигуры. 25. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах. Записать интегральную сумму и интеграл. 26. Длина произвольной дуги. Записать интегральную сумму и интеграл. 27. Боковая поверхность и объем тела вращения. Записать интегральную сумму и интеграл.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|