 |
Лекция расчет на устойчивость пластин и оболочек
|
|
|
|
Обеспечение устойчивости равновесиям несущей способности тонкостенных деформируемых систем, состоящих из пластинок и оболочек, является одной из важнейших задач, решаемых при проектировании элементов различных машин и несущих конструкций инженерных сооружений. В прошлом столетии в этих областях происходило бурное развитие технологий, породив широчайший спектр разнообразных задач. Отсюда возникает повышенный интерес к поведению таких конструкций под действием различных внешних нагрузок. Внимание исследователей в первую очередь обращено на проблемы, имеющие непосредственное практическое значение. При расчёте таких систем возникают вопросы об их прочности и устойчивости в работе, т.к. наличие различные условия могут существенно влиять на эти характеристики. Применение метода конечных элементов для моделирования тонкостенных деформируемых систем, позволяет существенно упростить численное исследование и экспериментальную часть таких элементов. Изучение поведения тонкостенных пластин и оболочек, ослабленных отверстиями, важно для понимания механизмов взаимодействия отверстий с системами, разработки математических моделей, внедрения новых технологий.
Аналитически задача исследования устойчивости упругих тел сводится к решению граничных задач на собственные значения, причём потери устойчивости соответствует наименьшее собственное значение, зависящее от набора параметров. В связи с наличием отверстий рассматриваемые области оказываются многосвязными. Исследование поведения собственных чисел для таких областей представляет теоретический интерес.
Рассмотрим составляющие напряженного и деформированного состояния оболочки с помощью известного из теории упругости алгоритма.
|
|
|
Составляющие напряженного и деформационного состояния оболочки выражаются через 
и 
следующим образом:
; 
; 
;
; 
; (161)
;
; 
.
Все расчетные усилия показаны на рис. 120
; 
; 
;
(162)
; 
; 
.
Предполагая, что оболочка пологая, по крайней мере, в пределах одной вмятины, можно записать и уравнение для исследования устойчивости при больших прогибах:
Рис. 120 Расчетная схема пологой оболочки с приложенными усилиями
; (163)
; (164)
;
.
В уравнении (163) нелинейные члены появляются в выражениях для деформаций в срединной поверхности оболочкой:
;
;
.
При исследовании потери устойчивости оболочки энергетическим методом используют выражения потенциальной энергии деформаций
,
Где 
- энергия деформации срединной поверхности оболочки; 
- энергия изгиба. Эти составляющие определяются по формулам
;
. (165)
Интегрирование следует распределить на всю поверхность оболочки. Работа внешних сил на перемещениях в момент потери устойчивости записывается для каждого конкретного случая. Критические усилия определяются из условия равенства энергии деформации и работы внешних сил, действующих на оболочку.
Задачу об устойчивости пластин удобно рассматривать как частный случай задачи об устройстве оболочек. Положив в уравнениях (163) кривизны k1 и k2 равными нулю, получим уравнения для определения критических напряжений в пластинах. Решая задачу для малых прогибов, считают, что при выпучивании напряжения в срединной плоскости пластины малы по сравнению с напряжением изгиба. Пренебрегая напряжениями плоского напряженного состояния, получают одно уравнение для исследования устойчивости пластин
, (166)
где 
- внутренние усилия в пластине, вызванные нагрузкой, приложенной по контору в плоскости пластины.
Потенциальная энергия деформации для пластины определяется выражением (165) при условии, что кривизны k1 и k2 равны нулю.
|
|
|
При исследовании поведения пластины после потери устойчивости (в закритической области) приходится учитывать проблемы и использовать более общую теорию гибких пластин. Уравнение для этой задачи можно получить из (166), приравнивая k1 и k2 к нулю:
; (167)
.
Функция напряжения и прогиб связаны с усилиями и моментами формулами (161).
|
|
|
