Тест по теме «дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной»

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Пределы. Теоретические вопросы.
1.	Какой вид имеет функция, называемая числовой последовательностью?
2.	Если числовая последовательность является монотонной и ограниченной, то она…(вставить пропущенные слова)
а)	может сходиться
б)	может расходиться
в)	сходится
г)	расходится
д)	является бесконечно малой
3.	Выберите верное определение предела функции «на языке »: число называется пределом функции при , если…(вставить пропущенные слова)
а)	для любого существует число такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .
б)
в)
г)
д)
4.	При каком условии число называется пределом функции в точке слева?
5.	Для того чтобы функция имела в точке предел, равный числу , необходимо и достаточно, чтобы…(вставить пропущенные слова)
а)	функция была ограниченной в некоторой окрестности точки
б)	функция была непрерывной в точке
в)	в этой точке существовал предел
г)	функция была бесконечно малой в точке
д)	в этой точке существовали односторонние пределы функции, которые равны
6.	Что можно сказать о функции , если ?
7.	В чем состоит связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией?
8.	Пусть , при . Указать пределы, в которых возникает неопределенность.
а)
б)
в)
г)
д)
9.	Пусть , при . Указать пределы, в которых возникает неопределенность.
а)
б)
в)
г)
д)
10.	Пусть , при . Указать пределы, в которых возникает неопределенность.
а)
б)
в)
г)
д)
11.	Пусть и – бесконечно малые функции в точке , т.е. , . Какие определения вводятся для сравнения бесконечно малых функций?
12.	При каком условии две бесконечно малые в точке функции и являются эквивалентными?
13.	Указать эквивалентные бесконечно малые функции в окрестности точки .
а)	,
б)	,
в)
г)
д)
14.	Указать эквивалентные бесконечно малые функции в окрестности точки .
а)
б)	,
в)
г)
д)
15.	Указать замечательные пределы.
16.	Функция называется непрерывной в точке , если…(вставить пропущенные слова)
а)	она определена в точке и ее окрестности.
б)	существует .
в)	.
г)	функция является ограниченной в окрестности точки.
д)
17.	Как называется точка , в которой функция имеет предел слева и справа, причем ?
18.	Указать верные свойства функций, непрерывных в точке.
а)	Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда функции , и также непрерывны в этой точке (последняя при ).
б)	Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , причем , то сложная функция является непрерывной в точке .
в)	Чтобы функция была непрерывной в точке необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной в некоторой окрестности точки .
г)	Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда функции , и непрерывны в окрестности этой точки (последняя при ).
д)	Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , причем , то сложная функция является непрерывной в окрестности точки .
19.	Какие свойства имеет функция , непрерывная на отрезке ?
20.	Если функция непрерывна на отрезке , , то…(вставить пропущенные слова)
а)	на интервале найдется хотя бы одна точка , в которой функция обращается в нуль.
б)	на этом отрезке она принимает все промежуточные значения между и
в)	функция имеет непрерывную обратную функцию
г)	при на интервале найдется хотя бы одна точка , в которой функция обращается в нуль.
д)	на интервале найдется хотя бы одна точка , в которой .
Пределы. Практические задания.
21.	Функция удовлетворяет условиям , . Указать способ задания функции.
а)
б)
в)
г)
д)
22.	Чему равен предел ?
23.	Чему равен предел ?
24.	Чему равен предел ?
25.	Чему равен предел ?
26.	Чему равен предел ?
27.	Чему равен предел ?
28.	Чему равен предел ?
29.	Чему равен предел ?
30.	Чему равен предел ?
31.	Чему равен предел ?
32.	Чему равен предел ?
33.	Чему равен предел ?
34.	Чему равен предел ?
35.	Чему равен предел ?
36.	Чему равен предел ?
37.	Исследовать на непрерывность функцию .
Дифференциальное исчисление. Теоретические вопросы.
38.	Выберите правильное определение производной функции.
а)
б)
в)
г)
д)
39.	Выберите верный вид формулы касательной к графику функции в точке .
40.	По каким формулам вычисляются в точке , если функции являются дифференцированными в этой точке?
41.	По какой формуле вычисляется производная сложной функции , если функция имеет производную в точке , а функция – в точке ?
42.	По какой формуле вычисляется производная обратной функции в точке , если в точке функция имеет производную ?
43.	Определить, по каким формулам вычисляются производные функций: 1) ; 2) ; 3) ; 4) , где .
44.	Определить, по каким формулам вычисляются производные функций: 1) ; 2) ; 3) ; 4) , где .
45.	Определить, по каким формулам вычисляются производные функций: 1) ; 2) ; 3) ; 4) , где .
46.	По какой формуле вычисляется дифференциал 1-го порядка функции ?
47.	Дать определение дифференциала функции порядка , т.е. .
48.	Какому условию удовлетворяет производная в точке , если: 1) функция непрерывна на ; 2) функция дифференцирована на ; 3) ?
49.	Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , то на интервале найдется такая точка , что имеет место формула… (вставить пропущенные слова)
50.	Теорема Коши. Пусть функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы на интервале , причем для всех . Тогда найдется такая точка на этом интервале, что имеет место формула… (вставить пропущенные слова)
51.	Выберите верный вид формулы Лопиталя, если и в окрестности точки .
52.	Выберите верное поведение функции , являющейся дифференцируемой на интервале и на .
53.	Пусть – точка локального максимума функции . Какое неравенство выполняется для всех из некоторой -окрестности точки ?
54.	Пусть функция имеет в точке локальный экстремум и дифференцируема в этой точке. Указать необходимое условие локального экстремума функции.
55.	Пусть функция дифференцируема в некоторой -окрестности точки и пусть . Указать достаточное условие локального экстремума функции по первой производной.
56.	Пусть функция имеет непрерывную вторую производную в окрестности точки . Указать достаточное условие локального экстремума функции.
57.	В каком случае график функции имеет на выпуклость, направленную вниз (функция является вогнутой)?
58.	Указать необходимое условие существования точки перегиба графика функции .
59.	В каком случае прямая называется вертикальной асимптотой графика непрерывной функции ?
60.	Прямая является наклонной асимптотой непрерывной кривой при . По каким формулам вычисляются значения и ?
Дифференциальное исчисление. Практические задания.
61.	Вычислить производную функции .
62.	Вычислить производную функции .
63.	Вычислить производную функции .
64.	Вычислить производную функции .
65.	Вычислить производную функции .
66.	Найти производную функции, заданной параметрически , , при .
67.	Какие из приведенных пределов можно вычислить только по правилу Лопиталя?
а)
б)
в)
г)
д)
68.	Найти предел , используя правило Лопиталя.
69.	Найти предел , используя правило Лопиталя.
70.	Найти предел , используя правило Лопиталя.
71.	Найти предел , используя правило Лопиталя.
72.	Найти предел , используя правило Лопиталя.
73.	Найти уравнение наклонной асимптоты графика функции .
74.	Найти интервал(ы) убывания графика функции .
75.	Найти интервал(ы) возрастания графика функции

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Неопределенный интеграл. Теоретические вопросы
1.	Какому условию должна удовлетворять первообразная от функции на отрезке ?
2.	Чему равна разность между двумя первообразными и от одной функции на отрезке ?
3.	Что называется неопределенным интегралом от функции , если – первообразная для , а ?
4.	Чему равна производная от неопределенного интеграла, если является первообразной для , а ?
5.	Чему равен дифференциал от неопределенного интеграла , если является первообразной для , а ?
6.	Чему равен неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции , если является первообразной для , а ?
7.	Укажите верную формулировку теоремы об инвариантности формул интегрирования.
8.	Чему равен интеграл , если ?
9.	В каких формулах таблицы интегралов допущена ошибка?
а)
б)
в)
г)
д)
10.	Какая функция имеет производную ?
11.	Какая функция имеет производную ?
12.	Какая формула называется формулой интегрирования по частям неопределенного интеграла?
13.	Укажите, при вычислении каких приведенных интегралов необходимо использовать формулу интегрирования по частям?
а)	, где – многочлен степени
б)
в)
г)	, где – многочлен степени
д)	, где – многочлен степени
14.	Для представления подынтегральной рациональной дроби в виде простейших дробей необходимо: а) найти корни знаменателя; б) установить, является ли дробь правильной; в) разложить знаменатель на множители. Укажите правильную последовательность действий.
15.	Какой тип имеет простейшая подынтегральная дробь, если у нее является корнем знаменателя кратности , ?
16.	Для вычисления интеграла необходимо сделать подстановку . Чему должно быть равно ?
17.	Какими формулами определяется универсальная тригонометрическая подстановка?
18.	Какой вид имеет подынтегральная функция при использовании тригонометрической подстановки ?
Неопределенный интеграл. Практические задания
19.	Чему равна производная от интеграла ?
20.	График какой первообразной функции проходит через точку с координатами ?
21.	Укажите правильный ответ при вычислении интеграла .
22.	Какие табличные интегралы используются при вычислении интеграла ?
а)
б)
в)
г)
д)
23.	Какие табличные интегралы используются при вычислении интеграла ?
24.	Какие табличные интегралы используются при вычислении интеграла ?
25.	Какие табличные интегралы используются при вычислении интеграла ?
26.	Укажите, при помощи каких табличных интегралов вычисляют интеграл . Для этого используйте метод введения под знак дифференциала.
27.	Укажите, при помощи каких табличных интегралов вычисляют интеграл . Для этого используйте метод введения под знак дифференциала.
28.	Укажите, при помощи каких табличных интегралов вычисляют интеграл . Для этого используйте метод введения под знак дифференциала.
29.	Укажите, при помощи каких табличных интегралов вычисляют интеграл . Для этого используйте метод введения под знак дифференциала.
30.	Укажите, при помощи каких табличных интегралов вычисляют интеграл . Для этого используйте метод введения под знак дифференциала.
31.	Укажите, при помощи каких табличных интегралов вычисляют интеграл . Для этого используйте метод введения под знак дифференциала.
32.	Укажите, при вычислении каких приведенных интегралов целесообразно сделать универсальную тригонометрическую подстановку ?
33.	Что при вычислении интеграла с помощью формулы интегрирования по частям выбирают за , а что за ?
34.	Каким образом в интеграле необходимо разложить подынтегральную дробь на простейшие дроби?
35.	Определить, как разложить подынтегральную дробь при вычислении интеграла ?
36.	Какая подстановка рационализирует интеграл ?
37.	Какая подстановка рационализирует интеграл ?

Определенный интеграл. Теоретические вопросы
38.	Какими линиями ограничена фигура, называемая криволинейной трапецией?
39.	В каком из приведенных свойств определенного интеграла допущена ошибка?
а)
б)	Если , то .
в)
г)
д)
40.	Какими линиями ограничена фигура, называемая криволинейным сектором?
41.	Каким условиям должны удовлетворять функции и , чтобы была справедлива формула Ньютона-Лейбница ?
42.	Чему равняется ?
43.	Чему равняется ?
44.	Какому условию должна удовлетворять подынтегральная функция , чтобы выполнялось равенство ?
45.	Какому условию должна удовлетворять подынтегральная функция , чтобы выполнялось равенство ?
46.	Какой вид имеет формула интегрирования по частям в определенном интеграле?
47.	Укажите, в каких из приведенных интегралов необходимо применить формулу интегрирования по частям?
а)	, где – многочлен степени
б)
в)	, где – многочлен степени
г)
д)
48.	Какая формула используется при вычислении площади кривой , ограниченной прямыми и осью ?
49.	Какая формула используется для вычисления площади фигуры, заданной условиями , ?
50.	Какая формула используется для вычисления длины дуги кривой ?
51.	Какая формула используется для вычисления длины дуги кривой, заданной в полярных координатах