 |
Модуль 2: «Криволинейные, поверхностные интегралы.
|
|
|
|
Для студентов факультетов «Э» и «РКТ» 2 курса, 3 семестра
Уч. г. (бакалавры)
Дисциплина состоит из 2-х учебных модулей и зачета
Модуль 1
| Виды аудиторных занятий и самостоятельной работы | Сроки проведения или выполнения, недели | Трудоёмкость, часы | Примечание |
| Лекции | 1-8 | 0 | |
| Упражнения | 1-7 | 15 | |
| Домашние задания текущие | 1-7 | 13 | |
| Контроль по модулю №1 | 8 | 6 |
Модуль 2
| Виды аудиторных занятий и самостоятельной работы | Сроки проведения или выполнения, недели | Трудоёмкость, часы | Примечание |
| Лекции | 9-17 | 0 | |
| Упражнения | 9-17 | 15 | |
| Домашние задания текущие | 9-17 | 13 | |
| Контроль по модулю №2 | 16 | 6 |
Модуль 1.Кратные интегралы.
Упражнения
Занятие 1.
АУД.:
Теория: Определение двойного интеграла. Теорема существования. Свойства двойного интеграла. Сведение двойного интеграла к повторному и вычисление его в декартовых координатах. Геометрический смысл двойного интеграла.Л-1, гл. 1. Л-2, гл 2. Л 4. гл. 2, §7.
Практика: Л6 №№ 2113, 2121, 2125, 2128, 2136, 2138, 2142, 2145 или:
Л5 №№ 8.3, 8, 9, 12, 13, 19, 20, 33.
ДОМА: Л6 №№2115, 2117, 2122, 2124,2144, 2146 или Л5 №№ 8.4, 7, 10, 14, 21, 32, 34.
Занятие 2.
АУД.:
Теория: Криволинейные координаты на плоскости. Замена переменных в двойном интеграле. Геометрический смысл модуля и знака Якобиана. Двойной интеграл в полярных координатах. Вычисление площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла. Л 1, гл. 1, Л 2, гл. 2, Л 4, гл. 2§7.5.
Практика: Л6 №№ 2160, 2162, 2164, 2166, 2171, 2177, 2183 или Л5 №№ 8.43, 44, 46, 48, 50, 56, 62.
ДОМА: Л6 №№2161, 2163, 2167, 2170, 2181 или Л5 №№ 8.42, 45, 49, 51, 60, 63.
Занятие 3.
АУД.:
Теория: Вычисление объемов тел с помощью двойного интеграла. Вычисление площади поверхности в декартовых координатах с помощью двойного интеграла.
|
|
|
Л 1. гл. 1, Л 2 гл.2, Л 4 гл. 7 § 7.5.
Практика: Л6 №№2198, 2200, 2203, 2219, 2214, 2216 или Л5 №№8.69, 70, 76, 85, 86, 88
ДОМА: Л6 №№ 2197, 2199, 2204, 2210, 2213, 2217, 2218 или Л5 №№ 8.82, 84, 85, 71, 72, 73.
Занятие 4.
АУД.:
Теория: Вычисление с помощью двойного интеграла массы материальной пластинки, ее статических моментов, центров масс и моментов инерции. Л 1 гл.1,Л 2 гл.2, Л 4. гл.7 п. 7.5.
Практика: Л6 №№ 2225, 2227, 2228, 2231, 2237 или Л5 №№ 8.92, 94, 97, 98, 99.
ДОМА: Л6 №№ 2226, 2229, 2232, 2238 или Л5 №№ 8.93, 95, 100, 101, 105.
Занятие 5.
АУД.:
Теория: Тройной интеграл. Определение тройного интеграла и его свойства. Формулировка теоремы существования тройного интеграла. Сведение тройного интеграла к повторному и его вычисление в декартовой системе координат.
Л 1 гл. 2, Л 2 гл 2, Л 4§8 (п. 8.1, 8.2)
Практика: Л6 №№ 2240, 2242, 2245, 2248, 2249, 2253 или Л5 №№8.108, 111, 112, 116, 119
ДОМА: Л6 №№ 2241, 2243, 2224, 2250, 2251 или Л5 №№ 8.109, 113, 115, 118, 120.
Занятие 6.
АУД.:
Теория: Замена переменных в тройном интеграле. Координатные поверхности, образующие, цилиндрические, сферические координаты. Якобиан для цилиндрических и сферических координат. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах. Вычисление объемов тел с помощью тройного интеграла.
Л 1 гл.1.2, Л 4 гл.8, п.8.3.
Практика: Л6 №№ 2254, 2256, 2258, 2260, 2262, 2264 или Л5 №№ 8.122, 124, 127, 129
ДОМА: Л6 №№ 2255, 2257, 2259, 2261, 2263 или Л5 №№ 8.123, 125, 126, 128
Занятие 7.
АУД.:
Теория: Приложение тройных интегралов (вычисление массы тела переменной плотности; статистических моментов тел относительно координатных плоскостей; координат центра масс тел и их моментов инерции относительно осей координат). Несобственный двойной интеграл 1-го рода. Вычисление интеграла Пуассона.Л 2 гл. 2.3, Л 3 гл 5, Л 4 гл.8 п.8.4
|
|
|
Практика: Л6 №№ 2265, 2266, 2267, 2269, 2270 или: Л5 №№ 8.134, 137, 144, 146, 147
ДОМА: Л6 №№ 2268, 2257, 2249 или: Л5 №№8.130, 131, 139, 145, 152
Занятие 8.
Аттестация по модулю 1: «Кратные интегралы».
Модуль 2. Криволинейные, поверхностные интегралы и теория поля
Лекции
Лекция 6. Определение криволинейного интеграла 1-го рода. Вычисление и свойства криволинейного интеграла. Примеры применения криволинейного интеграла 1-го рода. Задача определения работы переменной силы на криволинейном пути. Определение, свойства и вычисление криволинейного интеграла 2-го рода.
ОЛ-2, гл. 5; ОЛ - 3, гл.15; ОЛ - 4, гл.3; ДЛ-2, гл.5.
Лекция 7. Формула Грина для односвязных и многосвязных областей. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Вычисление криволинейного интеграла от полного дифференциала. Формула Ньютона-Лейбница. Нахождение функции по ее полному дифференциалу с помощью криволинейного интеграла.
ОЛ-2, гл. 5; ОЛ – 3 гл.15; ОЛ - 4 гл.3; ДЛ – 2 гл.5.
Лекции 8. Поверхностный интеграл 1-го рода: определение, свойства, вычисление, применение. Поверхностный интеграл 2-го рода: определение, свойства, вычисление. Теорема существования (без док-ва).
ОЛ-2, гл. 6; ОЛ - 3, гл.15; ОЛ - 4, гл.3; ДЛ-2, гл.5.
Лекция 9. Основные понятия теории поля: скалярное и векторное поле. Векторные линии, вывод их дифференциальных уравнений. Поток векторного поля через поверхность и дивергенция векторного поля. Теорема Гаусса-Остроградского (док-во для односвязной области) и ее применение для вычисления поверхностных интегралов, Вычисление дивергенции в декартовой системе координат. Физический смысл дивергенции.
ОЛ-2, гл. 6,7; ОЛ - 3, гл.15; ОЛ - 4, гл.3; ДЛ-2, гл.6.
Лекция 10. Формулы Стокса (без док-ва). Применение формулы Стокса к исследованию криволинейных интегралов. Циркуляция и ротор векторного поля. Физический смысл циркуляции и ротора. Соленоидальное векторное поле и его свойства.
ОЛ-2, гл. 6,7; ОЛ - 3, гл.15; ОЛ - 4, гл.3; ДЛ-2, гл.5.
Лекция 11. Криволинейный интеграл в векторном поле и условие его независимости от пути интегрирования. Потенциальное векторное поле и его свойства. Вычисление линейного интеграла в потенциальном поле. Оператор Гамильтона, запись с его помощью дифференциальных операций векторного анализа. Оператор Лапласа. Гармонические функции и гармонические поля.
|
|
|
ОЛ-2, гл. 5,6,7,8; ОЛ - 3, гл.15; ОЛ - 4, гл.3; ДЛ-2, гл.5.
Упражнения
Занятие 8. Криволинейный интеграл 1-го рода.
Ауд.: ОЛ-6 гл.10 §2: №10.48, 51, 54, 58, 59, или ОЛ-7: №2293 2295 2297 2299 2301 2306.
Дома: ОЛ-6, гл.10 §2: №10.49, 53, 56, 60, или ОЛ-7: №2294 2296 2298 2300 2302 2307.
Занятие 9. Криволинейный интеграл 2-го рода.
Ауд. ОЛ-6 гл.10 §2: №10.72, 74, 76, 78, или ОЛ-7: №2315 2310 2313 2314 2325 2317.
Дома: ОЛ-6, гл.10 §2: №10.71, 73, 77, 81, или ОЛ-7: №2322 2312 2315 2316 2324.
Занятие 10. Криволинейный интеграл от полного дифференциала. Формула Грина.
Ауд. ОЛ-6, гл.10 §2: №10.79, 82, 133, 135, 139,
или ОЛ-7: №2318(а,б,д) 2319(а,б) 2322(а,г) 2327 2329 2332.
Дома: ОЛ-6, гл.10 §2: №10.80, 134, 136, 140,
или ОЛ-7: №2318(в,г) 2319(в,г) 2322(б,в) 2328 2330 2335.
Занятие 11. Поверхностный интеграл первого рода.
Ауд.:ОЛ-6, гл.10 §2: №10.62, 65, 67, 70, или ОЛ-7: №2347 2353.
Дома: ОЛ-6, гл.10 §2: №10.63, 64, 68, 69, или ОЛ-7: №2348 2352 2354.
Занятие 12. Поверхностный интеграл 2-го рода.
Ауд.:ОЛ-6, гл.10 §2: №10.84, 85, 87, 89, 91, 93, 94, или ОЛ-7: №2350 2351.
Дома: ОЛ-6, гл.10 §2: №10.83, 86, 88, 90, 92, или ОЛ-7: №2349.
Занятие 13. Теорема Гаусса-Остроградского. Дивергенция.
Ауд. ОЛ-6, гл.10 §3: №10.95, 103, 105, 108, 102, 143, 145, или ОЛ-7: №2361 2365 2367 2369.
Дома: ОЛ-6, гл.10 §3: №10.96, 99, 104, 109, 144, 146, или ОЛ-7: №2362 2364 2366 2368 2370.
Занятие 14. Теорема Стокса. Ротор. Циркуляция.
Ауд. ОЛ-6, гл.10 §4: №10.110, 113, 119, 121, 116, или ОЛ-7: №2355 2356 2360.
Дома: ОЛ-6, гл.10 §4: №10.111, 114, 117, 118, или ОЛ-7: №2357 2358 2359.
Занятие 15. Оператор Гамильтона и оператор Лапласа. Гармонические поля.
Ауд. ОЛ-6, гл.10 §3-4: №10.122, 126, 127, 129, 148, 150, 149 
(а,в) или ОЛ-7: №2382 2385(б) 2397 2398(б).
Дома: ОЛ-6, гл.10 §3-4: №10.124, 128, 151, 153, 149 (б), 156 или ОЛ-7:№2378 2385(в) 2398(а,в) 2400.
Занятие 16. Аттестация № 2 «Криволинейные, поверхностные интегралы и теория поля»
Модуль 2: «Криволинейные, поверхностные интегралы.
Элементы теории поля».
Упражнения
Занятие 9.
АУД.:
Теория: Криволинейный интеграл 1-го рода: определение, основные свойства, вычисление с помощью определенного интеграла. Формулировка теоремы существования криволинейного интеграла первого рода, независимость вычисления от направления обхода кривой. Физические приложения криволинейного интеграла первого рода: масса кривой, статистические моменты кривой относительно осей Ох и Оу; моменты инерции кривой.Л 1 гл.5, Л 2 гл.2, Л 4 гл.3§ 9
|
|
|
Практика: Л6 №№ 2293, 2295, 2296, 2299, 2306, 2307 или Л5 №№ 10.48, 51, 54, 58, 59
ДОМА: Л6 №№ 2294, 2296, 2298, 2300, 2302, 2307 или Л5 №№ 10.49,53, 56, 60.
Занятие 10.
АУД.:
Теория: Определение криволинейного интеграла второго рода для плоской кривой в векторном поле. Теорема существования и свойства. Вычисление криволинейного интеграла второго рода с помощью определенного интеграла для случаев явно заданной функции и параметрически заданной функции. Работа силы при перемещении материальной точки единичной массы из точки А в точку В вдоль кривой АВ. Л 1 гл.5, Л 2 гл.2, Л 4 гл. 3 § 10
Практика: Л6 №№ Л 6 №№ 2310, 2313, 2314, 2315, 2325 или Л5 №№ 10.72, 74, 76, 78.
ДОМА: Л6 №№ 2312, 2316, 2322, 2324 или Л5 №№ 10.71, 73, 77, 81.
Занятие 11.
АУД.:
Теория: Формула Грина для односвязной области. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница. Нахождение функции по ее полному дифференциалу с помощью криволинейного интеграла (плоский и пространственный случаи).
Л 1 гл. 5, Л 2 гл.3, Л 4 гл.3 § 10, п. 10.3, 10.4.
Практика: Л6№№ 2318(а,б,д),2319(а,в),2322(а,г),2327,2329 или Л5 №№10.79, 82, 133, 135, 139.
ДОМА: Л6 №№ 2318 (в,г), 2319(в,г), 2322(б,в), 2328, 2330 или Л5 №№ 10.80, 134, 136, 140
Занятие 12.
АУД.:
Теория: Поверхностный интеграл первого рода: определение, основные свойства (линейность, аддитивность; теорема о среднем и об оценке). Правила вычисления поверхностного интеграла первого рода с помощью двойного интеграла. Приложения поверхностного интеграла первого рода: площадь поверхности, масса материальной поверхности, статические моменты относительно координатных плоскостей, моменты инерции и координаты центра тяжести. Л 1 гл.6, Л 2 гл.3, Л 4 § 11.
Практика: Л6 №№ 2347, 2352, 2353 или Л5 №№ 10.62, 65, 67.
ДОМА: Л6 №№ 2348, 2354 или Л5 №№ 10.63, 64, 68.
Занятие 13.
АУД.:
Теория: Понятие гладкой и кусочно-гладкой поверхности. Ориентированные поверхности и их ориентация. Нормаль к поверхности. Определение поверхностного интеграла второго рода, его свойства. Вычисление поверхностного интеграла второго рода с помощью двойного ин-теграла. Физический смысл поверхностного интеграла второго рода. Л 1гл.6, Л 2 гл.3, Л 4 § 12.
Практика: Л6 №№ 2350, 2351 (№ 2351 решить двумя способами: 1) с помощью вычисления составных интегралов, 2) сведением к поверхностному интегралу 1-го рода) или:
Л5 №№ 10.84, 85, 87, 94.
ДОМА: Л6 № 2349 (решить двумя способами) или Л5 №№ 10.83, 86, 88.
Занятие 14.
АУД.:
Теория: Векторное поле (определение). Векторные линии поля и их дифференциальные уравнения. Определение потока векторного поля через поверхность и дивергенция векторного поля. Теорема Остроградского-Гаусса для односвязной области. Физический смысл дивергенции. Стоки и источники поля. Соленоидальное векторное поле и его свойства.
|
|
|
Л 1 гл.6,7, Л 2 гл.3, Л 4 § 12, п. 12-3.
Практика: Л6 №№ 2374, 2361, 2365, 2367 или Л5 №№ 10.95, 102, 103, 105, 108, 145.
ДОМА: Л6 №№ 2362, 2364, 2366, 2368 или Л5 №№ 10.96, 99, 104, 144, 146.
Занятие 15.
АУД.:
Теория: Криволинейный интеграл в векторном поле и условия его независимости от пути интегрирования. Потенциальное векторное поле, его свойства. Циркуляция и ротор векторного поля. Формула Стокса и ее применение. Оператор Лапласа. Гармонические поля.
Л 1 гл.5,6,7,8, Л 4 гл.3, Л 4 § 12 п.12.4.
Практика: Л6 №№ 2398 в), 2355, 2356, 2360 или Л5 №№ 10.110, 113, 116, 121, 150
ДОМА: Л6 №№ 2357, 2358, 2359, 2397 или Л5 №№ 10.111, 114, 117, 118.
Занятие 16. Аттестация №2 «Поверхностные интегралы и теория поля».
Занятие 17. Итоговое.
АУД.:
Теория: Оператор Гамильтона. Повторные дифференциальные операции.
Практика: Л6 №№ 2382, 2385(б), 2398(б) или Л5 №№ 10.122, 126, 126, 127, 149 (а, в).
|
|
|
