Задания на контрольную работу № 2

МАТЕМАТИКА

 

 

Часть II

 

Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы № 2 для студентов 1-го курса заочной формы обучения МИППС специальностей 130501 Проектирование, сооружение и эксплуатация газонефтепроводов и газонефтехранилищ, 130503 Разработка и эксплуатация нефтяных и газовых месторождений, 130504, Бурение нефтяных и газовых скважин, 130602 Машины и оборудование нефтяных и газовых промыслов, 140101 Тепловые электрические станции, 140104 Промышленная теплоэнергетика, 140211 Электроснабжение, 140607 Электрооборудование автомобилей и тракторов

 

Краснодар

Составители:ассист. В.Н. Лисянская;

канд. физ.-мат. наук, доц. И.В. Терещенко

 

 

УДК 517

 

Математика. Часть II: метод. указания [электрон.] по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы № 2 для студентов 1-го курса заочной формы обучения МИППС специальностей 130501, 130503, 130504, 130602, 140101, 140104, 140211, 140607 / Сост.: В.Н.Лисянская, И.В.Терещенко; Кубан. гос. технол. ун-т. Каф. общей математики. – Краснодар: Изд. КубГТУ, 2009. – 29 с.

 

 

Изложены программа дисциплины, варианты контрольных заданий, темы практических занятий, вопросы к зачету, рекомендуемая литература, приведены примеры выполнения и требования к оформлению контрольной работы.

 

Ил. 1. Библиогр.: 7 назв.

 

 

Печатается по решению методического совета Кубанского государ­ственного технологического университета.

 

 

Рецензенты: канд. техн. наук, доц. кафедры ОМ КубГТУ С.М. Силинская;

канд. техн. наук, доц. кафедры ПТЭиТЭС КубГТУ С.В. Нестеров

 

ã КУБГТУ, 2009

Содержание

 

 

1 Инструкция по работе с методическими указаниями……….…………..
2 Программа дисциплины ……………………………………..…................
3 Контрольная работа № 2.….……………….…………….………………..
4 Темы практических занятий …………………………………...................
5 Содержание и оформление контрольных работ …….…………………..
6 Вопросы для подготовки к зачету …………...…………….……………..
7 Задания на контрольную работу № 2…….………..……………………...
Список рекомендуемой литературы …………………………..…...............

 

 

Инструкция по работе с методическими указаниями

В разделе «Программа дисциплины» приведены темы и указывается, что необходимо знать в пределах каждой темы. В конце тем приводятся вопросы для самопроверки и литература из списка рекомендуемой литера­туры с указанием глав, страниц, где излагается материал темы.

Пример

Литература: [2, гл.2, c. 3-9], [4, c. 143-162],

где 2 и 4 – порядковые номера литературных источников из списка реко­мендуемой литературы.

Вариант контрольного задания выбирается по последней цифре шифра зачётной книжки. Последняя цифра шифра (0) соответствует 10 ва­рианту в контрольном задании.

В разделе «Темы практических занятий» приводятся наименования практических занятий, которые будут проводиться в период экзаменаци­онной сессии, и указывается литература для подготовки.

Программа дисциплины

Тема 1. Дифференциальное исчисление функции нескольких перемен­ных.

Тема 2. Интегральное исчисление функции нескольких переменных.

Тема 3. Дифференциальные уравнения.

Общие сведения о дифференциальных уравнениях. Задачи, приво­дящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения 1-го порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, уравнение Бернулли.

Дифференциальные уравнения высших порядков: допускающие по­нижение порядка.

Линейные однородные ДУ второго порядка. Структура общего ре­шения. Линейные однородные ДУ второго порядка с постоянными коэф­фициентами. Линейные неоднородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.

Литература: [2, гл. 13, §§2-8,16,20,21], [4, гл. 15, §§1-4].

Вопросы для самоконтроля

1. Определение дифференциального уравнения.

2. Порядок дифференциального уравнения.

3. Решение (общее и частное) дифференциального уравнения.

4. Теорема Коши (о единственности решения задачи Коши).

5. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

6. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Метод Бер­нулли.

7. Дифференциальные уравнения высших порядков: допускающие пониже­ние порядка.

8. Решение линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с посто­янными коэффициентами.

 

Тема 4. Числовые и функциональные ряды.

Числовые ряды, их сходимость. Основные понятия и свойства. Необ­ходимые условия сходимости. Остаток ряда. Свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Признаки сравнения. Достаточные признаки Даламбера, Коши, интегральный признак Коши. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимости рядов.

Функциональные ряды. Сходимость в точке, радиус сходимости и область сходимости. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости и его вычисление. Интервал и область сходимости степенного ряда.

Литература: [4, гл. 14, §§1-5], [6, ч.2, гл. III, §§1-4].

Вопросы для самоконтроля

1. Определение числового ряда, общий член ряда, n -я частичная сумма.

2. Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды.

3. Гармонический и обобщенный гармонический ряд.

4. Свойства сходящихся рядов.

5. Необходимый признак сходимости.

6. Признаки сравнения (I и II).

7. Признаки Даламбера и Коши (радикальный, интегральный).

8. Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница.

9. Абсолютная и условная сходимость.

10. Понятие функционального ряда. Область сходимости.

11. Степенной ряд. Интервал сходимости. Область сходимости.

12. Радиус сходимости и его вычисление (определение, случай , ).

Тема 5. Теория вероятностей и математическая статистика.

Основные понятия теории вероятностей. Случайные события и опера­ции над ними. Полная группа случайных событий. Классификация опреде­ления вероятности. Комбинаторика.

Свойства вероятностей. Теорема сложения. Статистическое определе­ние вероятности. Условная вероятность. Теорема умножения. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Схема Бернулли повторных испытаний, наивероятнейшее число появ­лений событий. Локальная и интегральная предельные теоремы и их при­менение.

Случайные величины. Законы распределения дискретных случайных величин. Функция распределения непрерывной случайной величины, ее свойства, плотность вероятности и ее свойства. Нормальный закон распре­деления и его применение.

Математическое ожидание и его свойства. Дисперсия, ее свойства.

Выборка и ее графическое представление. Выборочное среднее и дис­персия. Оценка параметров распределения по выборке.

Литература: [7, гл.1: §§1-5, гл.2: §§1-3, гл.3: §§1-5, гл.4: §§1-3, гл.5 §1, гл.6: §§1,2, гл.7: §§1,2]; [8, гл.1 §1, гл.2 §§1-4, гл.3 §1, гл.4 §§1,3].

Вопросы для самоконтроля

1. Определение события (достоверное, невозможное, случайное).

2. Определение события (несовместные, полная группа, противополож­ные).

3. Классическое определение вероятности.

4. Теорема сложения.

5. Условная вероятность. Теорема умножения.

6. Вероятность хотя бы одного события.

7. Формула полной вероятности.

8. Формула Байеса.

9. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число появлений.

10. Дискретная случайная величина.

11. Закон распределения дискретной случайной величины.

12. Математическое ожидание. Его свойства.

13. Дисперсия. Ее свойства.

14. Выборка. Графическое представление выборки. Выборочное среднее и дисперсия.

Контрольная работа № 2

Программой дисциплины «Математика» для студентов 1 курса во втором семестре предусмотрено выполнение контрольной работы № 2.

При выполнении контрольной работы № 2 необходимо изучить ос­новные понятия и определения функции нескольких переменных. Нау­чится вычислять частные производные. Научиться вычислять двойные ин­тегралы через повторные. Изучить теорию числовых рядов. Необходимо знать основные признаки сходимости числовых рядов. Уметь вычислять радиус сходимости и, пользуясь им, интервал сходимости степенного ряда. Изучить теорию дифференциальных уравнений и научиться находить ре­шения дифференциальных уравнений в простейших случаях. Изучить ос­новные понятия теории вероятности: алгебру случайных событий, вероят­ность случайного события, условную вероятность случайного события, не­зависимость двух случайных событий. Изучить основные понятия, связан­ные со случайными величинами. Уметь вычислять по известному закону распределения математическое ожидание и дисперсию.

Задание № 1. Найти частные производные первого порядка.

Пример. .

Вычислим частные производные первого порядка и . При вы­числении частной производной по переменной вторая переменная счи­тается постоянной величиной. Тогда по правилам дифференцирования получим:

.

При вычислении частной производной по переменной , вторая перемен­ная считается постоянной величиной. Тогда по правилам дифференциро­вания получим:

.

Задание № 2. Вычислить двойной интеграл.

Пример. .

Вычисляем двойной интеграл по прямоугольнику через один из по­вторных интегралов:

.

При интегрировании по переменная считается постоянной. Поэтому, вычисляя внутренний интеграл по формуле Ньютона – Лейбница, получим

.

Вновь применяя формулу Ньютона –Лейбница уже к внешнему интегралу, получим

.

Задание № 3. Найти общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка.

Пример 1. .

Преобразуем уравнение к виду :

.

Сделав подстановку или , получим, подставив в уравнение,

.

Разделяя переменные, получим

.

Интегрируя, имеем:

.

Отсюда

.

Учитывая, что , получаем общее решение заданного уравнения .

Пример 2. .

Это уравнение является уравнением Бернулли , где , , и - непрерывные функции. Положим . То­гда получим

или .

Выберем функцию как частное решение уравнения . Разделяя переменные, получим

.

Выбирая простейшие решение , находим . Для оставшейся части уравнения получим , где . Отсюда . Разде­ляя переменные, получим

,

откуда

.

Таким образом, получаем общее решение дифференциального уравнения

, где .

Задание № 4. Найти общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка.

Пример. .

Положим . Тогда

.

Исходное уравнение примет вид

.

Разделяя переменные, найдем

.

Заменив на , получим

,

откуда . Здесь уже допускается , так как уравнение , очевидно, имеет решение . Заменим обратно на , то­гда получим уравнение первого порядка:

.

Разделив переменные, получим общее решение исходного уравнения в не­явном виде:

.

Задание № 5. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , .

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения с начальными условиями и .

Найдем решение однородного уравнения, для чего составим и решим характеристическое уравнение:

,

где корень кратности 2.

По корням характеристического уравнения составим общее решение одно­родного уравнения :

.

Найдем - частное решение неоднородного уравнения. Так как среди корней характеристического уравнения нет , то частное решение будем искать в виде, похожем на правую часть неоднородного уравнения. Там находится выражение - многочлен второй степени, общий вид кото­рого

.

Поэтому положим

.

Так как есть решение неоднородного дифференциального уравнения , то оно обращает это уравнение в тождество. Найдем произ­водные , :

;

подставим их в уравнение :

.

После группировки по степеням получим

.

Два многочлена одинаковой степени равны, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях неизвестных. Приравняем коэффициенты при степенях в обеих частях:

Отсюда . Общее решение

.

Для нахождения решения, удовлетворяющего начальным условиям, най­дем первую производную:

.

Подставляя в начальные условия и , найдем

или

Отсюда окончательно находим

.

Задание № 6. Исследовать сходимость числового ряда .

Пример 1. Исследовать сходимость числового ряда .

Применим признак Даламбера: имеем , , . Тогда

.

Поэтому по признаку Даламбера ряд расходится.

Пример 2. Исследования сходимость числового ряда .

Применим интегральный признак Маклорена - Коши, составив функцию

.

Так как на интервале эта функция и с ростом моно­тонно убывает, то ряд сходится или расходится одновременно с несобст­венным интегралом:

.

Данный интеграл сходится, так как

,

поэтому сходится и данный ряд.

Задание № 7. Найти интервал сходимости степенного ряда .

Пример. Найти интервал сходимости степенного ряда .

Выпишем коэффициенты ряда:

, .

Подставим их в формулу для радиуса сходимости степенного ряда:

.

Следовательно, ряд сходится для значений , удовлетворяющих неравен­ству . Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. Если , то получим обобщенный гармонический ряд , который схо­дится, так как .

Если , то получим знакопеременный ряд , который схо­дится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница.

Задание № 8. Решить задачу по теории вероятности.

Пример 1. Для приема зачета преподаватель заготовил 50 задач: 10 задач по пределам функций, 20 задач по дифференциальному исчислению и 20 задач по интегральному исчислению. Для сдачи зачета студент должен решить пер­вый же доставшийся наугад билет из трех задач по одной за­даче на каж­дую тему. Какова вероятность для студента сдать зачет, если он может ре­шить пять задач по пределам, 18 задач по дифференциальному ис­числению и 15 задач по интегральному исчислению?

Решение. Число билетов, которое может составить преподаватель, равно

.

Число билетов, которое знает студент равно

.

Считая, что студенту билет достается случайным образом и что это равно­вероятные события, получаем вероятность сдачи зачета:

.

Пример 2. Для приема зачета преподаватель заготовил 50 задач: 10 задач по пределам функций, 20 задач по дифференциальному исчислению, 20 по интегральному исчислению. Для сдачи зачета студент должен решить пер­вую же доставшуюся наугад задачу. Какова вероятность для студента сдать зачет, если он может решить пять задач по пределам, 18 задач по диффе­ренциальному исчислению и 15 задач по интегральному исчислению?

Решение № 1. Студент знает 38 задач из пятидесяти, поэтому вероятность сдать зачет равна .

Решение № 2. Вероятность получить задачу по пределам (событие ) равна , вероятность получить задачу по дифференциаль­ному исчислению (событие )равна =0,4, вероятность получить задачу по интегральному исчислению (событие ) равна . Если событие означает, что задача решена, то услов­ные вероятности решить задачу при условии, что это задача по пределам, дифференциальному или интегральному исчислению, соответственно равны:

; ; .

События , и попарно несовместны и одно из них всегда наблю­даемо при любом исходе. Тогда по формулеполной вероятности

находим вероятность сдачи зачета

.

Пример № 3. В студенческой группе 25 человек, из них 15 студентов и 10 студенток. Наугад выбирается делегация на студенческую конференцию в составе четырёх человек. Какова вероятность, что изберут двух студентов и двух студенток?

Решение. Число способов выбрать четырёх человек в делегацию из 25 че­ловек в группе равно числу сочетаний четырёх предметов из 25:

.

Аналогично находим число способов выбрать в делегацию двух студентов из 15:

и двух студенток из 10:

.

Следовательно, число способов выбрать делегацию из четырёх человек, в со­ставе которой две студентки и два студента равно

.

Считая, что исходы выборов равновероятны, получаем вероятность такого выбора:

.

Пример № 4. В автоколонне 10 автобусов. Вероятность того, что у авто­буса на линии не будет поломок в течение одной смены, равна . Ка­кова вероятность того, что в течение смены поломок не будет не менее чем у девяти автобусов?

Решение. Вероятность того, что у автобусов не будет поломок в течение смены, определяется формулой Бернулли:

.

Тогда искомая вероятность равна или

.

Пример № 5. Вероятность изготовления на станке нестандартного изделия равна . Какова вероятность обнаружить в партии из 1000 изделий, изготовленных на таком станке, от 940 до 960 стандартных изделий?

Решение. Пусть случайная величина есть число стандартных деталей, обнаруженных в партии. При большом числе изделий в партии и вероятности изготовления стандартной детали близкой к еди­нице, можно использовать интегральную формулу Муавра – Лапласа для определения вероятности того, что число стандартных изделий окажется между и :

,

где - функция Лапласа:

.

Подставляя значения, находим

.

Значение функции Лапласа находим из таблицы приложения 2 [7, стр. 462].

Задание № 9. Задана непрерывная случайная величина с функцией рас­пределения . Требуется:

1) найти плотность распределения вероятностей ;

2) схематично построить графики функций и ;

3) найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратич­ное отклонение случайной величины .

Пример. Решить задание № 9, если задана непрерывная случайная вели­чина с функцией распределения.

1) Плотность распределения случайной величины равна первой про­изводной от функции распределения.

Проверим условие нормировки

.

Подставив сюда найденную плотность распределения, получим

.

2) Строим схематично графики функций и :

Рисунок 1 - Графики функций распределения и плотности распределе­ния .

3) Для нахождения математического ожидания используем формулу , где a, b - начало и конец интервала, на котором опреде­лена плотность распределения .

;

,

.

Замечание. Для вычисления интегралов использовались формулы:

,

,

,

.

Задание № 10. Заданы математическое ожидание и среднее квадратич­ное отклонение нормально распределенной случайной величины . На­писать плотность распределения вероятностей и схематично построить ее график. Найти вероятность того, что примет значение из интер­вала .

Пример. Заданы математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение нормально распределенной случайной величины Х.

1. Написать плотность распределения вероятностей и схематично по­стро­ить ее график.

2. Найти вероятность того, что примет значение из интервала (2;10).

3. Найти вероятность того, что примет значение превышающее 10.

4. Найти интервал, симметричный относительно математического ожида­ния, в котором с вероятностью g=0,95 будут заключены значения вели­чины .

1) Составим функцию плотности распределения случайной величины Х с параметрами , , воспользовавшись формулой для плотности нор­мального распределения :

.

Построим схематически график функции . Обратим внимание на то, что нормальная кривая симметрична относительно прямой и дости­гает максимального значения в этой точке, равного , т.е. . На кривой находятся две точки пере­гиба с ординатой . Построим гра­фик .

Рисунок 2 - График функции .

2) Вероятность попадания нормальной величины в интервал равна

,

где ‑ функция Лапласа:

.

Тогда вероятность попадания в интервал равна

.

Значения функций найдены по таблице приложения 2 [7, стр. 462].

3) Аналогично находим вероятность попадания в интервал :

.

В нашем случае , , , поэтому

.

4) Воспользуемся формулой . Из нее следует, что вероятность попадания в интервал, симметричный относительно матема­тического ожидания, равна

.

По таблице [7, стр. 462] найдем аргумент t, при котором . Полу­чим . Тогда . Таким образом, получаем, что интервал совпадает с интервалом . Отсюда

.

Задание № 11. Заданы среднее квадратичное отклонение нормально рас­пределенной случайной величины , выборочная средняя и объем вы­борки . Найти доверительный интервал для оценки неизвестного мате­мати­ческого ожидания с доверительной вероятностью .

Пример. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью неизвестного математического ожидания нормально распреде­ленной случайной величины Х, если среднее квадратичное отклонение , выборочная средняя и объем выборки .

Требуется найти доверительный интервал . Все величины, кроме коэффициента , известны. Найдем из соотноше­ния , где - функция Лапласа:

.

По таблице значений функции Лапласа находим . Подставив значе­ние , окончательно получим искомый доверительный интервал .

Темы практических занятий

 

1. Функции нескольких переменных. Область определения, пределы, не­прерывность. Частные производные первого и второго порядков. Экстре­мумы функции двух переменных.

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Одно­родные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные диффе­ренциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли. Уравнения старших порядков, допускающие понижение порядка. Линейные диффе­ренциальные уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

3. Признаки сходимости знакопостоянных рядов. Абсолютно и неабсо­лютно сходящиеся ряды. Признак сходимости Лейбница. Степенные ряды. Радиус и интервал сходимости. Ряды Тейлора. Вычисление значений функций и интегралов с помощью степенных рядов. Нахождение решений дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

4. Классическая вероятностная схема. Условные вероятности. Независи­мость случайных событий. Формула полной вероятности и формула Бай­еса. Повторные испытания. Формула Бернулли и формула Пуассона. Ло­кальная и интегральная теоремы Лапласа-Муавра. Дискретные и непре­рывные случайные величины. Среднее значение и дисперсия. Элементы математической статистики. Выборка и ее представление. Выборочное среднее и выборочная дисперсия. Оценка параметров распределения по выборке.

Содержание и оформление контрольных работ

1. Требования к оформлению контрольных работ: контрольные работы мо­гут выполняться на электронных носителях или в тетради (12 л.), на об­ложке необходимо указать номер контрольной работы, свой факультет, специальность, шифр зачетной книжки, номер варианта, свою фамилию, имя, отчество.

2. Требования к выполнению контрольной работы:

- при выполнении работы необходимо приводить основные теорети­ческие моменты, промежуточные математические доказательства, мето­дики, формулы, расчеты.

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: