Интерпретация существования в философии математики Гильберта

Понимание существования математического предмета в рамках формального направления в математике представляется, на первый взгляд, совершенно противоположным интуиционистскому. В книге Френкеля и Бар-Хиллела ([55], c. 322), утверждается, что Гильберт скорее всего солидаризировался бы в этом вопросе с Пуанкаре, отождествляя существование со свободой от противоречия. Следующий пассаж из работы Гильберта "О понятии числа" уточняет и подтверждает эту точку зрения.

"В доказательстве непротиворечивости установленных аксиом я усматриваю вместе с тем и доказательство существования совокупности действительных чисел или - употребляя выражение Кантора - доказательство того, что система действительных чисел является 'консистентным' (готовым) множеством..." И далее: "...под множеством действительных чисел мы должны, согласно этой точке зрения, понимать не совокупность всевозможных законов, которым будут следовать элементы фундаментальных последовательностей, а скорее - как это было изложено выше - систему вещей, взаимоотношения которых задаются с помощью ранее указанной конечной и замкнутой системы аксиом." ([15], c. 320).

Обратим, прежде всего, внимание на серьезность расхождения Гильберта с Брауэром. Он (Гильберт) совершенно недвусмысленно говорит о множестве действительных чисел, как о существующем объекте. Такое допущение абсолютно невозможно для Брауэра, поскольку множество действительных чисел, понятое к тому же как совокупность "вещей", начисто исключается всякой интуицией и не может быть сконструировано. Мы очевидно имеем дело с принципиально иной философской установкой, выражающейся, в частности, в попытке иначе (чем основываясь на понятии конструктивности) определить онтологический статус предмета.

С другой стороны, однако, не нужно глубокого проникновения в суть формальной математики, чтобы увидеть множество черт, сближающих ее с интуиционистской. Прежде всего, обращает на себя внимание слово "финитность", использованное самим Гильбертом в качестве основной характеристики своего метода рассуждения. Сам этот термин, явно указывающий на завершенность осуществляемых процедур (т.е., по сути, на конструктивность), мог бы быть применен и к интуиционистской математике. Если же говорить о попытках определения финитности, предпринимавшихся именно в рамках гильбертовской школы, то они подчас вызывают полное ощущение того, что речь идет об основных посылках интуиционизма. Френкель и Бар-Хиллел, например, в качестве окончательной формулы финитного метода рассуждения приводят следующую цитату из Ж. Эрбрана (известного математика - ученика Гильберта): "Всегда рассматривается лишь конечное и определенное число предметов и функций, функции эти точно определены, причем определение позволяет произвести однозначное вычисление их значений; никогда не утверждается существование какого-либо объекта без указания способа построения этого объекта; никогда не рассматривается (как вполне определенное) множество всех предметов X какой-либо бесконечной совокупности" ([55], c.321). Наверное любой представитель интуиционистского или конструктивного направления опознал бы в приведенном отрывке описание своего собственного метода рассуждения. Речь однако идет об основных принципах формального метода. Заметим, кстати, что приведенное определение явно противоречит цитированному выше рассуждению Гильберта о существовании множества всех действительных чисел. Последнее никак не является объектом, для которого можно указать способ построения, однако Гильберт считает его существующим. Объясняется ли такое противоречие лишь тем, что приведенное здесь описание принадлежит не Гильберту, а математику, который мог в чем-то расходится со своим учителем? Или слова Эрбрана о существовании нужно понимать несколько иначе, чем те же самые слова, написанные интуиционистом?

В книге Гильберта и Бернайса [18] также есть описание финитного метода рассуждения. Важным уточнением по отношению к определению Эрбрана является, прежде всего, указание на наглядность финитного объекта. Лучшим примером, иллюстрирующим эту наглядность, является рассуждение, проводимое в формальной алгебре ([18], c. 56-58). Имея запас букв (переменных) и специальных знаков, мы, действуя в рамках этой дисциплины, конструируем объекты (полиномы), руководствуясь заранее заданными правилами. Начиная с простейших объектов, состоящих из одной буквы, мы можем построить множество разнообразных и весьма сложных объектов. В рамках, обусловленных правилами процедур, могут доказываться различные утверждения и устанавливаться свойства конструируемых объектов. Но каким бы ни было проводимое рассуждение, его справедливость может быть проверена наглядно, поскольку оно всегда непосредственно представлено перед глазами. Узнать что-либо о предмете означает построить его, любой предмет алгебры возникает под руками исследователя и процедура его возникновения полностью доступна наблюдению. Финитное рассуждение характеризуется в [18] как "прямое содержательное рассуждение, совершающееся в виде мысленных экспериментов над наглядно представимыми объектами." (с. 59).

Если бы, занимаясь математикой, мы могли бы постоянно оставаться в рамках финитного рассуждения, то естественно было бы понимать существование математического объекта в смысле его конструктивности. Однако предметы математики очень часто не являются финитными объектами. В [18] приводится целый ряд примеров того, как в математике возникают предметы, которые невозможно сконструировать и которые не могут быть представлены наглядно. Уже арифметика требует использования нефинитных рассуждений, прибегая к "tertium non datur" для обоснования высказываний о целых числах. Число, о свойствах которого мы судим на основании закона исключенного третьего, не представлено наглядно, и может не быть доступно конструированию с помощью конечной процедуры (с. 62-64).

Математический анализ, в его классическом изложении, практически полностью основан на рассуждениях о нефинитных предметах. Нефинитным является действительное число (о чем мы говорили выше), определяемое через бесконечную совокупность целых чисел (с. 64-67). Но анализ не ограничивается рассмотрением бесконечной совокупности целых чисел - он обращается к предметам "еще более нефинитным" (если можно так выразиться), рассматривая бесконечные совокупности действительных чисел в качестве актуально данных предметов. Рассуждения, используемые при этом, никак не могут апеллировать к наглядности. Естественно, что обращение к конструктивности, как критерию существования, оказывается бессмысленным для математического анализа. Говоря точнее, этот критерий заставляет считать названные (нефинитные) предметы своего рода химерами, странными измышлениями математиков, которые попросту не существуют.

Такой жесткий вывод и был, собственно, сделан интуиционистской школой, реализация программы которой состояла в значительном урезании всей математики. Намерение Гильберта было прямо противоположным: обосновать корректность тех частей математики, для которых существенно обращение к принципиально нефинитным предметам. Видимо это и обусловило его обращение к той интерпретации существования, которая была в свое время предложена Пуанкаре. Разработанный Гильбертом аксиоматический подход позволял достаточно ясно сформулировать, что означает свобода от противоречия в качестве критерия существования (см. выше - о существовании совокупности действительных чисел). Доказательство существования, таким образом превращалось в доказательство непротиворечивости системы аксиом. То, как Гильберт предполагал доказывать непротиворечивость, придает понятию финитности совершенно новый смысл.

Суть стратегии Гильберта сводилась к тому, чтобы, формализовав основные методы рассуждения в математике, установить их непротиворечивость путем анализа самого рассуждения (См, напр,[11], [12], [14], [18], [50], [55], [62]). Объектом изучения стали не математические предметы, а рассуждения об этих предметах. Но рассуждение в математике, как и всякое человеческое рассуждение вообще, даже будучи обращено к бесконечному предмету, само остается конечным. Поэтому наука, изучающая рассуждения, названная Гильбертом метаматематикой, по определению имеет дело только с финитным объектом. Сама математика может сколько угодно оперировать с бесконечностью. Но это ее оперирование будет всегда выражено в виде конечного текста, записанного по определенным правилам. Требование наглядности оказывается здесь особенно важным. Мы можем быть уверены в производимых нами математических рассуждениях, если доказана их непротиворечивость. Доказательство же непротиворечивости, производимое на метауровне, может и должно быть наглядным, непосредственно очевидным. Объект, конструируемый в ходе метарассуждения, возникает у нас на глазах и его свойства (в частности, свойство непротиворечивости) оказывается наглядно представимым и непосредственно проверяемым. Здесь особую роль играет знаковая природа математического рассуждения. В нем любой (в том числе и бесконечный) предмет представлен знаком, конечным, более того, чувственным, доступным непосредственному восприятию объектом. Это обстоятельство специально подчеркивалось Гильбертом: "Кое-что уже дано в нашем представлении для применения логических выводов и для выполнения логических операций: объекты, которые имеются в созерцании до всякого мышления в качестве конкретных переживаний. Для того, чтобы логические выводы были надежны, эти объекты должны быть обозримы полностью, во всех частях; их показания, их отличия, их следование, расположение одного из них наряду с другим дается непосредственно, наглядно, одновременно с другими объектами, как нечто такое, что не может быть сведено к чему-либо другому и не нуждается в таком сведении..." И далее: "В математике предметом нашего рассмотрения являются конкретные знаки сами по себе, облик которых, согласно нашей установке, непосредственно ясен и может быть впоследствии узнан" ([15], c. 351).

Таким образом, по отношению к метаобъекту Гильберт предъявляет требования, пожалуй, более жесткие, чем Брауэр по отношению ко всем объектам математики. Последний не настаивает на "наглядности". Гильберт и Бернайс характеризуют установки интуиционизма как "расширение" финитной установки ([18], c. 71). При этом важно, что в конечном счете гильбертовская математика также основывается на определенных базовых интуициях. Френкель и Бар-Хиллел указывают, что такими интуициями для Гильберта являются первичные представления о тождестве и различии, а именно о самотождественности знака, который должен быть опознан как один и тот же при разных вхождениях в формулы и при этом отличЁн от всякого другого знака. Действительно, всякое конструирование объекта, коль скоро оно сводится к комбинирований некоторых элементарных конфигураций, подразумевает, прежде всего, способность видеть различия между разными конфигурациями и уверенно опознавать одну и ту же в различных обстоятельствах. Здесь однако уместны следующие два замечания. Во-первых, названные элементарные конфигурации, строго говоря, не являются уже знаками. Точнее, они могут быть названы знаками в силу их происхождения, поскольку именно в качестве знака выступали для математического рассуждения. В нем они действительно обозначают нечто иное - математический объект, о котором ведется рассуждение. Но как только само математическое рассуждение превращается в объект, т.е. становится предметом метаматематического рассуждения, эти знаки уже ничего не обозначают. Они выступают лишь как первичные структурные элементы, из которых складывается, как из деталей конструктора, исследуемое математическое рассуждение.

Во-вторых, сами эти знаки (или псевдо-знаки) очевидно оказываются объектами. Они конструируются как некоторые графические конфигурации и в качестве таковых уже сами являются предметами рассуждения. Здесь необходимо вернуться к вопросу о тождестве и различии, которые у Френкеля и Бар-Хиллела названы первичными интуициями формальной математики. Такой подход к интерпретации элементарных объектов метаматематического рассуждения был подвергнут критике, например, в [57], где проблема тождества и различия рассмотрена как чисто логическая и не нуждающаяся в ссылках на интуицию. Мы предпочитаем подойти к этому вопросу иначе. Различение знаков подразумевает возможность вынесения определенного суждения о тождестве или различии тех или иных элементарных графических конструкций. Знак или комбинация знаков становится субъектом метаматематического суждения, тогда как тождество или различие выступает его предикатом. Причем этот предикат присоединяется в суждении к субъекту в зависимости от того, как именно построена (начерчена) данная конфигурация. Например, суждение о том, что графические конфигурации 'n' и 'n', находящиеся в двух различных позициях формулы xn=2ⁿ, тождественны, основано на том, что оба знака построены сообразно одной и той же графической схеме. Таким образом, вопрос о тождестве или различии конструктивных элементов математического рассуждения решается с помощью суждения, которое, впрочем, находится в жесткой корреляции с процедурой построения наглядно представимого, зримого предмета. Тот факт, что отождествляя или различая знаки, мы как правило не делаем никаких суждений, не меняет ситуацию в принципе. Возможность такого суждения всегда присутствует. Акт различения или отождествления знаков не является некоторым первичным, неразложимым актом. Он действительно выражается на логическом уровне. Первичной интуицией является здесь пространство, поскольку именно в качестве определенной пространственной конфигурации всякий знак может быть узнан и отличен от другого.

Похожее рассмотрение можно провести и относительно математического рассуждения (вывода, доказательства), поскольку оно является объектом метаматематики. Рассуждение, будучи конструкцией, появляющейся в результате комбинирования знаков, представляет собой чувственно воспринимаемый объект. Он предстает в виде определенной пространственной конфигурации, определяемой как способом сочетания составляющих его знаков, так и способом начертания самих этих знаков. Как чувственно воспринимаемый объект рассуждение выступает в качестве субъекта метаматематического суждения. Задачей метаматематики оказывается установление ряда предикатов (например, предиката непротиворечивости) для названного субъекта. Но такого рода предицирование есть не что иное как выражение определенных пространственных свойств созерцаемого (точнее создаваемого на бумаге или на доске) объекта. (См. примечание 5)Рассуждение или система аксиом обнаруживает себя как непротиворечивое (обладающее предикатом непротиворечивости) в ходе его пространственного (строго говоря, пространственно-временного) конструирования. Суждение о непротиворечивости оказывается таким образом априорным и синтетическим, в самом строгом кантовском смысле. Гильбертовская метаматематика содержит в себе все установленные Кантом элементы знания: данный в созерцании объект, являющийся в пространстве и времени, синтетическое суждение об этом объекте и, наконец, синтез продуктивной способности воображения, в результате которого этот объект конструируется.

Таким образом две соперничающие математические школы имеют один и тот же философский корень. Можно сказать, что каждая из них сделала больший акцент на одной из двух выделенных Кантом интуиций. Если Брауэр, как мы видели, считал исходной интуицию времени, явно утверждая вторичность и производность пространства, то Гильберт, вообще ничего не говоря о времени, явно рассматривал пространство и пространственное конструирование как основу математики. Очевидная кантианская родословная двух влиятельных математических традиций несомненно требует более внимательного анализа кантовского текста. Именно к рассмотрению проблемы существования в математики с позиций философии Канта мы перейдем в следующей главе.

Примечания

1. Хотя Кантор и пытается выстроить иерархию математических понятий, подобную родо-видовой иерархии, и рассмотреть все построенные так объекты как некие субстантивированные универсалии, предлагаемая им процедура выделения общих свойств имеет мало общего с тем абстрагированием, которое описывает, например, Боэций (см. Введение). Как мощность, так и порядковый тип бесконечного множества невозможно определить как его собственное свойство. Оно не обладает этим свойством как субстанция своим атрибутом. Мощность бесконечного множества определяется как свойство отношения множеств. Сущности можно приписывать признак, рассматривая ее саму по себе, независимо от других сущностей. Мощность множества (равно как его порядковый тип) устанавливается только для класса множеств. Поэтому подвести канторовское представление о существовании под аристотелевское учение о сущности невозможно без серьезных натяжек, хотя сам Кантор, по-видимому, хотел именно этого.

2. Цитата приводится по книге [55], с. 245.

3. В разных местах Брауэр говорит о качественно различимых частях или различимых вещах. В любом случае речь идет о дискретной последовательности событий, характеризующих когнитивную деятельность. Ряд лежащих на прямой (последовательно, друг за другом) отрезков является естественной математической моделью такой деятельности.

4. Математическое развитие этих идей содержится в брауэровской теории континуума как среды становления для свободно становящихся последовательностей. Дискретные последовательности точек, выбираемых из среды сообразно некоторому закону или согласно свободному выбору, разбивают континуум на все более мелкие части, устанавливая определенную структуру отношений между этими частями. Подробно об этом см. в [34].

5. Близкий подход к математике разрабатывается в [60] под названием "пангеометризм".