Обзор методов решения СЛАУ, возникающих в МКЭ

Алгоритм компактного хранения и решения СЛАУ высокого порядка

ВВЕДЕНИЕ.

Метод конечных элементов является численным методом для дифференциальных уравнений, встречающихся в физике [1]. Возникновение этого метода связано с решением задач космических исследований (1950 г.). Впервые он был опубликован в работе Тернера, Клужа, Мартина и Топпа. Эта работа способствовала появлению других работ; был опубликован ряд статей с применениями метода конечных элементов к задачам строительной механики и механики сплошных сред. Важный вклад в теоретическую разработку метода сделал в 1963 г. Мелош, который показал, что метод конечных элементов можно рассматривать как один из вариантов хорошо известного метода Рэлея-Ритца. В строительной механике метод конечных элементов минимизацией потенциальной энергии позволяет свести задачу к системе линейных уравнений равновесия [2,3].

Одной из существующих трудностей, возникающих при численной реализации решения контактных задач теории упругости методом конечных элементов (МКЭ), является решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) большого порядка вида

Большинство существующих методов решения таких систем разработаны в предположении того, что матрица A имеет ленточную структуру, причем ширина ленты , где n2 - порядок . Однако, при использовании МКЭ для численного решения контактных задач возможны случаи, когда ширина ленты [5].

ОБЗОР МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ СЛАУ, ВОЗНИКАЮЩИХ В МКЭ

Основная идея метода конечных элементов состоит в том, что любую непрерывную величину, такую, как температура, давление и перемещение, можно аппроксимировать дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей. Кусочно-непрерывные функции определяются с помощью значений непрерывной величины в конечном числе точек рассматриваемой области [1,2,3].

В общем случае непрерывная величина заранее неизвестна и нужно определить значения этой величины в некоторых внутренних точках области. Дискретную модель, однако, очень легко построить, если сначала предположить, что числовые значения этой величины в каждой внутренней точке области известны. После этого можно перейти к общему случаю. Итак, при построении конкретной модели непрерывной величины поступают следующим образом:

1. В рассматриваемой области фиксируется конечное число точек. Эти точки называются узловыми точками или просто узлами.

2. Значение непрерывной величины в каждой узловой точке считается переменной, которая должна быть определена.

3. Область определения непрерывной величины разбивается на конечное число подобластей, называемых элементами. Эти элементы имеют общие узловые точки и в совокупности аппроксимируют форму области.

4.Непрерывная величина апроксимируется на каждом элементе функцией, которая определяется с помощью узловых значений этой величины. Для каждого элемента определяется своя функция, но функции подбираются таким образом, чтобы сохранялась непрерывность величины вдоль границ элемента.

Для решения СЛАУ в МКЭ требуется выбрать метод решения. Окончательное решение о применении итерационных или прямых методов решения СЛАУ необходимо принимать на основе анализа структуры исследуемой математической задачи. Прямые методы решения СЛАУ более выгодно использовать, если необходимо решать много одинаковых систем с различными правыми частями, или если матрица А не является положительно-определенной. Кроме того, существуют задачи с такой структурой матрицы, для которой прямые методы всегда предпочтительнее, чем итерационные.