 |
Однородные координаты точки
|
|
|
|
Пусть М – произвольная точка плоскости с координатами х и у, вычисленными относительно заданной прямолинейной координатной системы. Однородными координатами этой точки называется любая тройка одновременно не равных нулю чисел х1, х2, х3, связанных с заданными числами х и у следующими соотношениями:
x1 / x3 = x, x2 / x3 = y (3.1)
При решении задач компьютерной графики однородные координаты обычно вводятся так: произвольной точке М (х, у) плоскости ставится в соответствие точка МЭ (х, у, 1) в пространстве.
Необходимо заметить, что произвольная точка на прямой, соединяющей начало координат, точку О (0, 0, 0), с точкой МЭ (х, у, 1),может быть задана тройкой чисел вида (hx, hy, h).
Будем считать, что h = 0. Вектор с координатами hx, hy, h является направляющим вектором прямой, соединяющей точки О (0, 0, 0) и МЭ (х, у, 1). Эта прямая пересекает плоскость z = 1 в точке (х, у, 1), которая однозначно определяет точку (х, у) координатной плоскости ху.
Тем самым между произвольной точкой с координатами (х, у) и множеством троек чисел вида (hx, hy, h), h = 0, устанавливается взаимно однозначное соответствие, позволяющее считать числа hx, hy, h новыми координатами этой точки.
Широко используемые в проективной геометрии однородные координаты позволяют эффективно описывать так называемые несобственные элементы (по существу, те, которыми проектная плоскость отличается от привычной евклидовой плоскости).
В проективной геометрии для однородных координат принято следующее обозначение:
х: у: 1 (3.2)
или, более общо,
х1: х2: х3 (3.3)
|
|
|
(здесь непременно требуется, чтобы числа х1, х2, х3 одновременно в нуль не обращались).
Применение однородных координат оказывается удобным уже при решении простейших задач.
Рассмотрим, например, вопросы, связанные с изменением масштаба. Если устройство отображения работает только с целыми числами (или если необходимо работать только с целыми числами), то для произвольного значения h (например, h = 1) точку с однородными координатами (0.5, 0.1, 2.5) представить нельзя. Однако при разумном выборе h можно добиться того, чтобы координаты этой точки были целыми числами. В частности, при h = 10 для рассматриваемого примера имеем (5, 1, 25).
Рассмотрим другой случай. Чтобы результаты преобразования не приводили к арифметическому переполнению для точки с координатами (80000, 40000, 1000) можно взять, например, h = 0.001. В результате получим (80, 40, 1).
Приведенные примеры показывают полезность использования однородных координат при проведении расчетов. Однако основной целью введения однородных координат в компьютерной графике является их несомненное удобство в применении к геометрическим преобразованиям.
При помощи троек однородных координат и матриц третьего порядка можно описать любое аффинное преобразование плоскости.
Считая, h = 1, сравним две записи:
 |
a g 0
(x * y * 1) = (x y 1) b d 0 (3.4)
l m 1
Нетрудно заметить, что после перемножения выражений, стоящих в правой части последнего соотношения, мы получим формулы (2.1) и (2.2) и верное числовое равенство 1 = 1. Тем самым сравниваемые записи можно считать равносильными.
Элементы произвольной матрицы аффинного преобразования не несут в себе явно выраженного геометрического смысла. Поэтомучтобы реализовать то или иное отображение, то есть найти элементы соответствующей матрицы по заданному геометрическому описанию, необходимы специальные приемы. Обычно построение этой матрицы в соответствии со сложностью поставленной задачи и с описанными выше частными случаями рзбивают на несколько этапов.
|
|
|
На каждом этапе пишется матрица, соответствующая тому или иному из выделенных выше случаев 1 – 4, обладающих хорошо выраженными геометрическими свойствами.
Выпишнм соответствующие матрицы третьего порядка.
А. Матрица вращения (rotation)
 |
cos j sin j 0
[ R ] = -sin j cos j 0 (3.5)
0 0 1
Б. Матрица растяжения-сжатия (dilatation)
 |
a 0 0
[ D ] = 0 d 0 (3.6)
0 0 1
В. Матрица отражения (reflection)
 |
1 0 0
[ M ] = 0 -1 0 (3.7)
0 0 1
Г. Матрица переноса (translation)
 |
1 0 0
[ T ] = 0 1 0 (3.8)
l m 1
Рассмотрим примеры аффинных преобразований плоскости.
Пример 1. Построить матрицу поворота вокруг точки А (a, b) на угол j (рис. 9).
|
|
|
|
j
 |
Рис. 8
1-й шаг. Перенос на вектор – А (-a, -b) для смещения центра поворота с началом координат;
 |
1 0 0
[ T-A ] = 0 1 0 (3.9)
-a -b 1
матрица соответствующего преобразования.
2-й шаг. Поворот на угол j;
cos j sin j 0
[ Rj ] = -sin j cos j 0 (3.10)
0 0 1
матрица соответствующего преобразования.
3-й шаг. Перенос на вектор А (a, b) для возвращения центра поворота в прежнее положение;
|
|
|
|
1 0 0
[ TA ] = 0 1 0 (3.11)
a b 1
матрица соответствующего преобразования.
Перемножим матрицы в том же порядке, как они выписаны:
[ T-A ] [ Rj ] [ TA ].
В результате получим, что искомое преобразование (в матричной записи) будет выглядеть следующим образом:
 |
cos j sin j 0
(x* y* 1) = (x y 1) -sin j cos j 0 (3.12)
-a cos j + b sin j + a -a sin j - b cos j + b 1
Элементы полученной матрицы (особенно в последней строке) не так легко запомнить. В то же время каждая из трех перемножаемых матриц по геометрическому описанию соответствующего отображения легко строится.
Пример 2. Построить матрицу растяжения с коэффицентами растяжения a вдоль оси абсцисс и b вдоль оси ординат и с центром в точке А (a, b).
1-й шаг. Перенос на вектор –А (-a, -b) для совмещения центра растяжения с началом координат;
|
1 0 0
[ T-A ] = 0 1 0 (3.13)
-a -b 1
матрица соответствующего преобразования.
2-й шаг. Растяжение вдоль координатных осей с коэффицентами a и b соответственно; матрица преобразования имеет вид
|
a 0 0
[ D ] = 0 d 0 (3.14)
0 0 1
3-й шаг. Перенос на вектор А (a, b) для возвращения центра растяжения в прежнее положение; матрица соответствующего преобразования:
|
1 0 0
[ TA ] = 0 1 0 (3.15)
a b 1
Премножив матрицы в том же порядке
[ T-A ] [ D ] [ TA ],
получим окончательно
a 0 0
|
|
|
(x* y* 1) = (x y 1) 0 d 0 (3.16)
(1 - a)a (1 - d)b 1
Рассуждая подобным образом, то есть разбивая предложенное преобразование на этапы, поддерживаемые матрицами [ R ], [ D ], [ M ], [ T ], можно построить матрицу любого аффинного преобразования по его геометрическому описанию.
|
|
|
