Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве

Примеры. 1) Уравнение задает неявно бесконечное множество функций, определенных на (рис.6).

2)Рассмотрим функцию . Пусть – некоторая окрестность точки , и координаты точки удовлетворяют уравнению , . Тогда существует единственная неявная функция, такая, что ее график содержится в (рис.7).

Замечания.

1) Аналогичные теоремы имеют место для функционального уравнения

. (46)

Областью здесь является интервал , т.е. – прямоугольник на плоскости (рис. 8). Здесь неявная функция , а ее производные вычисляются по формуле

. (47)

2) Важным в теореме 17, а, следовательно, в формуле (41) и в формуле (47) является отличие от нуля производной стоящей в знаменателе. Например, если , то уравнение (46) может иметь не единственное решение относительно функции в точке , а может не иметь ни одного, решения. Например, для уравнения получаем , , а . Очевидно, что в окрестности точки (1, 0) при , уравнение не имеет решения относительно , т.е. неявная функция не существует. А при , уравнение имеет два решения и , т.е. задает две неявные функции.

Вместе с тем, надо отметить, что условия (или ) являются лишь достаточными. Если они не выполняются, то неявная функция может существовать. Например, для уравнения в точке (0, 0) они не выполняется, однако, в окрестности точки (0, 0) существует единичная неявная функция .

Пример. Доказать, что уравнение

определяет единственную неявную функцию , и найти производные .

Решение. Обозначим . Так как , то при любом фиксированном значении функция является возрастающей функцией переменной . Кроме того, для любого фиксированного значения при достаточно больших значениях , очевидно, выполняются неравенства: при и при . Поскольку - непрерывная функция, то существует единственное такое, что , следовательно, уравнение определяет единственную неявную функцию .

Теперь найдем производные. Так как - дифференцируемая функция и , то и функция дифференцируема на всей числовой прямой. Для нахождения воспользуемся формулой (47):

= .

Дифференцируя . Найдем

.

Чтобы найти значения в какой либо точке, нужно сначала вычислить соответствующее значение в этой точке. Пусть . Нетрудно проверить, что решением уравнения (49) при является , т.е. . Подставляя в полученные общие формулы, получаем .

Неявные функции n переменных. Пусть задано уравнение

(48)

или в векторном виде

.

Функцию будем предполагать заданной в цилиндре :

.

Если существует функция n переменных , определенная на множестве , такая, что , при , то говорят, что неявная функция, заданная уравнением (48).

Имеют место следующая теорема.

Теорема 18 (о неявной функции n переменных). Пусть выполняются следующие условия:

а) ;

б) дифференцируема в ;

в) непрерывна в ; .

Тогда найдутся и , что в некоторой окрестности точки уравнение (48) имеет единственное решение удовлетворяющее условию , причем дифференцируемая и справедливы формулы:

. (49)

Пример. Найти в точке частные производные функции , заданной уравнением .

Решение. Из уравнения найдем значение функции в данной точке .

Функция равна 0 в точке (1, 1, 2) и непрерывна в ее окрестности. Функции

непрерывны, причем . Следовательно, данное уравнение в окрестности точки (1, 1, 2) определяет единственную непрерывно дифференцируемую функцию , частные производные которой можно найти по формулам (48):

,

.

Теперь рассмотрим систему уравнений:

или в векторном виде:

, (50)

где .

Пусть – фиксированные точки.

Теорема 19 (о существовании решения системы неявных функций). Пусть выполняются условия:

а) ;

б) функции дифференцируемы в окрестности точки ;

в) частные производные непрерывны в ;

г) .

Тогда существуют и такие, что для система уравнений имеет единственное решение:

.

При этом удовлетворяют условиям , и функции – дифференцируемы.

Векторные отображения

Пусть точка множества и пусть на заданы следующие функции n - переменных:

Таким образом, для каждого фиксированного можно рассматривать вектор . В этом случае говорят, что имеет место векторное отображение или векторная функция .

У векторной функции , каждая координата является функцией n -переменных . Функции называют координатными функциями отображения , где записывают так .

Если , то пространства и можно считать совпадающими и функцию можно интерпретировать как отображение в . Такое отображение часто называют векторным полем,заданным на множестве . Важным классом векторных отображений являются линейные отображения или линейные векторные функции. Векторное отображение называют линейным если и , выполняется:

.

Из определения следует, что при линейном отображении любая линейная комбинация векторов отображается в такую же линейную комбинацию образов этих векторов

.

Линейные отображения называют также линейными операторами.

В физических приложениях имеет место следующий частный случай векторных отображений. Пусть , т.е. и . Рассмотрим отображение , т.е. векторное поле

,

где – три скалярных функции трех переменных или . Таким образом, каждой точке трехмерного геометрического пространства ставится в соответствие вектор этого же пространства. Примерами физических векторных полей являются:

- поле гравитации;

- электрическое поле ;

- магнитное поле

- поле скорости жидкости .

Пусть и является предельной точкой множества , а . Отображение задано функцией . Определим расстояние в пространстве как

.

Расстояние в пространстве определяется следующим образом:

.

Определение 25. Вектор называют пределом отображения при , если для любого положительного найдется такое неотрицательное число , что из выполнения условия будет следовать выполнение неравенства , т.е. .

Предел отображения обозначается:

.

Очевидно, что для любого справедливы неравенства

.

Тогда ясно, что из условия (14) следует .

Определение 26. Пусть и является его предельной точкой. Отображение называется непрерывным в точке , если оно определено в точке и существует предел при равный , т.е. .

Если – изолированная точка множества , то считается непрерывной в точке .

Ясно, что отображение непрерывно в точке каждая функция непрерывна в точке как функция n -переменных.

Определение 27. Отображение , определенное на открытом множестве называется дифференцируемым в точке , если каждая функция дифференцируема в точке .

Так как каждая функция n - переменных дифференцируемая в точке , то ее полное приращение в этой точке имеет вид

,

где ; .

Эти полные приращения представляют собой m скалярных равенств, и их можно записать в векторном виде в пространстве

, (51)

где

, (52)

.

Более подробно (51) можно записать так:

.

Определение 28. Векторы (52) называют частными производными отображения в точке по переменным .

Определение 29. Выражение , линейное относительно переменных называют дифференциалом отображения в точке и обозначают

. (53)

Заметим, что – дифференциал независимой переменной . Формулы (51) и (53) можно записать в матричной форме:

, (54)

где матрица

называется матрицей Якоби, а соответствующие векторы - столбцы имеют вид:

; .

Матрица Якоби называется также производной вектор-функции в точке , и обозначается одним из способов:

.

Заметим, что градиент функции переменных есть частный случай матрицы Якоби при , и поэтому его также являют производной этой функции.

Определение 30. Отображение называется непрерывно дифференцируемым на открытом множестве , если частные производные – непрерывны на множестве .

Если , то матрица Якоби квадратная размерностью n:

.

Определитель такой матрицы Якоби называется якобианом и обозначается

.

Примеры. 1) Найти дифференциал отображения в точке , где .

Решение. Для функций , , найдем матрицу Якоби

в точке . Получаем

.

Тогда

.

2) Найти якобиан отображения

Решение.

.

Снова рассмотрим случай, когда . Здесь – вектор-функция определенная на открытом множестве . Будем интерпретировать как векторное поле на .

Определение 31. Векторное поле называется потенциальным на множестве X, если существует такая дифференцируемая функция n -переменных , что выполняются условия:

.

Функция называется потенциалом векторного поля . В силу дифференцируемости функции следует:

,

или

.

Таким образом, потенциал векторного поля есть функция , градиентом некоторой является функции , т.е. само векторное поле.

Из определения следует, что потенциал векторного поля определяется с точностью до постоянного числа С. Если и два потенциала векторного поля , то .

Теорема 20. Для того чтобы дифференцируемое векторное поле, определенное в