 |
Методика оценки случайных погрешностей прямых
|
|
|
|
Равноточных измерений.
Измерения называются равноточными, если они проведены одинаковыми по точности методами, или одним и тем же методом в одинаковых условиях. В результате n измерений некоторой физической величины x, истинное значение которой X0 = mx (если нет систематических погрешностей) неизвестно, из-за наличия случайных погрешностей получается ряд численных значений x1; x2, …, xn, которые в общем случае отличаются друг от друга и от X0.
При обработке результатов этих измерений возникают две задачи:
1. Нахождение по результатам отдельных измерений наилучшей оценки истинного значения, т.е. значения, наиболее близкого к истинному;
2. Определение погрешности полученной оценки.
Для большого числа практических случаев, когда грубые погрешности (промахи) встречаются редко, а случайные погрешности распределены по нормальному закону, наилучшей оценкой измеряемой величины является среднее арифметическое 
отдельных результатов измерения:
. (6)
Отдельные результаты измерений являются случайными величинами, поскольку содержат случайные погрешности ∆Хi:
∆хi = хi - х0.
Среднее арифметическое также является случайной величиной, как функция случайных величин. Поэтому абсолютная погрешность среднего арифметического, равная:
(7)
также будет случайной.
Это говорит о том, что истинное значение абсолютной погрешности найти невозможно, можно лишь тем или иным способом приближенно оценить ее значение. Например, можно считать, что с определенной вероятностью значение абсолютной погрешности по абсолютной величине будет меньше некоторой заданной величины 
, т.е.
. (8)
Отсюда следует, что истинное значение измеряемой величины с вероятностью 
накрывается интервалом 
, т.е. 
|
|
|
. (9)
Интервал называется доверительным, а вероятность - доверительной вероятностью. Очевидно, чем больше - ширина доверительного интервала, тем с большей вероятностью доверительный интервал заключает в себе Х0.
Таким образом, для характеристики случайной погрешности необходимо знать два числа, а именно – величину оценки абсолютной погрешности , которую часто называют просто абсолютной погрешностью, и величину доверительной вероятности.
В качестве ширины доверительного интервала можно взять 
- среднеквадратичную погрешность. Для отдельного измерения она равна:
. (10)
Среднее арифметическое имеет меньшее рассеивание и соответственно его среднеквадратичная погрешность будет меньше в 
раз.
. (11)
В физических, биологических, медицинских, физиологических и др. измерениях обычно пользуются значениями доверительной вероятности = 0,9; = 0,95; =0,99. При заданной доверительной вероятности ширину доверительного интервала (оценка погрешности) удобно находить в виде долей 
, т.е.:
, (12)
где 
- коэффициент, зависящий от величины доверительный вероятности и от объема выборки n. При 
находится по таблице Стьюдента, при n> 30 он очень мало отличается от таблицы нормального распределения и в этом случае может быть найден по той же таблице при n= ∞.
Если взять величину абсолютной погрешности 
, то вероятность того, что доверительный интервал 
содержит Х0 будет равна = 0,997. Это очень большая вероятность и поэтому говорят, что с практической уверенностью можно утверждать, что отклонение от Х0 больше чем на 
невозможно. Это правило известно под названием “правила трех сигм”.
Наряду со среднеквадратичной погрешностью для оценки случайной погрешности пользуются и среднеарифметической погрешностью r, вычисленной по формуле:
. (13)
Все приведенные выше результаты теории случайных погрешностей применимы для характеристики точности измерения лишь в случае, если измерение многократно повторено.
|
|
|
Последовательность действий при оценке истинного значения измеряемой величины и оценки случайной погрешности следующая:
1. находится среднее арифметическое по результатам измерений:
, (14)
2. находится среднеквадратическая погрешность отдельного результата измерения:
, (15)
3. находится максимальная абсолютная погрешность отдельного измерения:
, (16)
4. проверяется, все ли результаты измерений укладываются в интервал 
, если да, то переходим к следующему пункту, если нет, то такое значение отбрасыватся (тем самым мы избавляемся от промахов) и вычисления следует начать сначала.
5. находится среднеквадратическая погрешность среднего арифметического:
(17)
6. находится из таблицы коэффициент по заданным и п и определяется оценка абсолютной погрешности:
(18)
7. записывается результат измерения:
(19)
при заданном . Это означает, что с заданной доверительной вероятностью доверительный интервал 
накрывает 
, т.е. 
.
8. если необходимо, то находится относительная погрешность, при этом, поскольку Х0 неизвестно, приближенно его заменяют на :
. (20)
|
|
|
