Применение микрокалькуляторов при решении задач

 

Микрокалькуляторы в настоящее время находят все большее применение при решении задач. Освобождение учащихся от однообразной вычислительной работы позволяет уделить больше внимания самому алгоритму вычислений, сделать занятия более творческими. Появляется возможность решать задачи с реальными числовыми данными. Высокая точность и быстрота вычислений позволяет широко и систематически использовать в учебном процессе математический эксперимент для активизации познавательной деятельности учащихся. Появляется возможность знакомить учащихся с достаточно общими методами поиска и обоснования решений сложных нестандартных задач. Рассмотрение таких задач на занятиях без использования программируемых микрокалькуляторов методически неспровадно, потому что их решение сильно затруднено, а в ряде случаев невозможно. Калькуляторы помогают на более высоком методическом уровне организовать индивидуальную и коллективную работу учащихся. Микрокалькулятор является надежным и удобным средством поэтапного контроля правильности выполнения тождественных преобразований выражений с переменными.

В статье на конкретных примерах показывается, как эффективно использовать программируемый микрокалькулятор при поиске решений различных задач школьной математики. Коренным образом меняется методика решения задач на тождественные преобразование громоздких числовых выражений и выражений с переменными; на разложение выражений со многими переменными на множители; на поиск и обоснование свойств различных числовых множеств; задач на делимость чисел; на исследование функций, построение и применение их графиков; задач на исследование решений уравнений и неравенств и их систем; на решение нестандартных уравнений и неравенств; на доказательство нестандартных неравенств; на исследование решений геометрических задач; задач на анализ таблиц значений функций с целью получения правдоподобных гипотез об их свойствах. Программируемые микрокалькуляторы позволяют эффективно в комплексе использовать различные методы поиска решений задач.

Программируемые микрокалькуляторы позволяют в комплексе использовать различные методы поиска решений задач.

Особо следует отметить роль калькуляторов при решении уравнений. Их систематическое применение при работе над уравнениями коренным образом изменяет ее обучающее содержание. Вообще серьезный политехнический подход к решению уравнений в школе практически можно реализовать только с помощью микрокалькулятора. Он позволяет не только упростить и ускорить вычислительную работу, получить корни уравнений достаточно высокой точности, но и сформировать у учащихся навыки составления таблиц функций с определенной целью, навыки поиска, обнаружения и доказательства свойств уравнений путем анализа этих таблиц. С помощью микрокалькулятора можно находить точные (с точки зрения элементарной математики) целые корни уравнений и в большинстве случаев рациональные корни и корни, выражения радикалами (имеются в виду уравнения, содержащие в современных школьных учебниках и в различных сборниках конкурсных задач). Главное, калькулятор дает возможность применять при решении самых различных уравнений общий функциональный метод, основанный на систематическом комплексном использовании свойств всех функций, изучаемых в школе. При таком подходе к работе над уравнениями у учащихся формируется не только общий метод их решения, но и происходит систематическое комплексное повторение важнейших свойств изученных ранее функций. Последнее является самым существенным в методике обучения учащихся решению уравнений.

С использованием микрокалькулятора делается практически универсальным и самым простым в применении метод интервалов решения неравенств.

В средней школе ученики изучают общие свойства непрерывных функций, применение которых в полном объеме позволяет существенным образом упростить поиск решений нестандартных уравнений. В самом деле, девятиклассник знакомиться с достаточным условием монотонности функций, с правилами вычисления производных, с производной сложной функции. Отсюда непосредственно вытекают свойства суммы двух возрастающих (не убывающих) функций, произведение двух положительных возрастающих (убывающих) функций. Однако при решении уравнений и других задач прикладного характера эти важнейших теоретические знания применения не находят и поэтому учениками усваиваются формально. Например, ученик, не прирученный смотреть на уравнение с функциональной точки зрения, уравнения  не решает, даже если он знает все названия выше свойства производной на «отлично».

Единственный подход к этой задаче выглядит следующим образом. Левая часть уравнения определена на [750/259; +∞]. На этом промежутке непрерывные неотрицательные функции y=777x-2500 и y=77x3+108 возрастающие. Функции  и  возрастающие. Поэтому и сложные функции  и

Возрастающие. Функция F(x)=P(x)+K(x) непрерывная и возрастающая. Поэтому данное уравнение имеет не более одного корня x0. При помощи микрокалькулятора легко находим x0=3.

У учащихся постоянно формироваться культура работы над уравнениями, которая сводиться к следующему. Приступая к решению уравнения F(x)=0, прежде всего необходимо попытаться выяснить, имеет ли оно корни. В необходимых случаях (для получения гипотезы о существовании корней) составляем таблицу функции F(x)=0 при помощи калькулятора. Дело в том, что доказать, что уравнение F(x)=0 не имеет корней, часто гораздо проще, чем заниматься его преобразованиями, направленными на получении точных корней. Полученная таблица функции F(x) облегчает и выбор методов нахождения корней F(x), на которые без таблицы мы могли бы и не обратить внимание.

Следует заметить, что определение корней уравнения F’(x)=0 может оказаться более сложной задачей, чем решение уравнения F(x)=0. Поэтому часто приходиться отказываться от мысли отделить корни уравнения F(x)=0 путем нахождения критических точек функции F(x)=0. Во многих случаях отделение корней упрощается с помощью «ступенек». Для этого уравнения F(x)=0 преобразовывается к виду P(x)=M(x) (P(x) и M(x) -возрастающие или убывающие функции на некотором промежутке). При помощи калькулятора составляются таблицы функций P(x) и M(x), P’(x) и M’(x) (с достаточно малым шагом). Работа над уравнением завершается уточнением отдельных корней.

 

Примеры

 

Задача 1. Найти рациональные числа n и k, такие, что

 

 

 

Решение. При помощи микрокалькулятора последовательно находим:

 

 

Сравнив первое и последнее из этих неравенств, получаем, что k=1 и n=2, т.е.

Использование микрокалькулятора на уроке в начальной школе. =2+

Задача 2. Сумма трех целых чисел равна a,b,c нулю. Доказать, что число 2a2+2b4+2c4 является квадратом целого числа.

Решение. Попытаемся получить гипотезу о каких-либо свойствах данного выражения путем рассмотрения частных случаев.

Если, например, a=1, b=2, c=-3 b и данное выражение равно 196=142. Если a=2, b=3, c=-5 и данное выражение равно 1444=382.

Но как связаны значения a,b,c с основанием 142, 382? Легко заметить, что 14=12+22+(-3)2, 38=22+32+(-3)2. Итак появляется гипотеза, что 2(a2+b4+c4)= (a2+b2+c2)2

Если a+b+c=0. Полученная в результате математического эксперимента гипотеза легко доказывается.

Задача 3. Решить уравнение

 

 

Решение. Отрицательных корней не имеет, потому что на (-∞;0) функция (x)=  убывает, K(x)=3∙2x возрастает и P(0)>K(0).Для получения гипотезы о числе корней данного уравнения составляем таблицу функций P(x) и K(x):

 

x	P(x)	K(x)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3	5.954 5.956 5.961 5.971 5.984 6 6.018 6.039 6.062 6.087 6.113 6.141 6.169 6.197 6.226 6.255	3 3.45 3.95 4.55 5.22 6 6.89 7.92 9.09 10.4 12 13.8 15.8 18.2 20.9 24

 

Теперь можно сделать предположение, что если x>2, то  (это неравенство легко доказывается при помощи производной). После этого становиться ясным, что все корни данного уравнения принадлежат [0;2]. Число 1 является корнем уравнения.

Список используемой литературы

1. А.Б. Василевский, О.А. Леончик «Применение калькуляторов при решении задач».

2. Т.А. Огневая «Использование микрокалькулятора на уроках математики в начальной школе».

⇐ Предыдущая12

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: