 |
Дифференцирование сложной и обратной функции. Производные основных элементарных функций.
|
|
|
|
Определение производной функции в точке. Алгоритм вычисления производной. Производная обратной и сложной функции. Производные основных элементарных функций (тригонометрических, логарифмической, показательной и степенной функций).
Теорема Лагранжа. Условия постоянства и монотонности функции на промежутке.
Теорема Лагранжа и её геометрическое истолкование. Необходимое и достаточное условие постоянства функции на промежутке. Необходимое и достаточное условие монотонности функции на промежутке. Достаточное условие строгой монотонности функции на промежутке. Применение этих утверждений при доказательстве тождеств, неравенств и при определении промежутков монотонности.
Экстремумы функции. Условия существования точек экстремума функции.
Определение локального максимума и минимума функции. Необходимое условие существования точек экстремума функции. Достаточные условия существования точек экстремума функции. Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на сегменте. Примеры.
Выпуклость функции на промежутке. Точки перегиба функции.
Определение выпуклости (вогнутости) функции на промежутке. Достаточное условие выпуклости дважды дифференцируемой функции. Точки перегиба. Необходимое условие существования точки перегиба функции. Достаточное условие существования точки перегиба функции. Правило нахождения точек перегиба. Примеры.
Первообразная и неопределенный интеграл функции. Методы интегрирования функций.
Задачи, приводящие к восстановлению функции по её производной (задача о вычислении пройденной пути по мгновенной скорости, задача о вычислении мгновенной скорости по ускорению, задача о вычислении переменной массы по известной плотности). Понятие первообразной функции. Свойства первообразных функций. Понятие неопределенного интеграла и его свойства. Таблица интегралов основных элементарных функций. Метод непосредственного интегрирования. Интегрирование методом подстановки и по частям. Демонстрировать это на примерах.
|
|
|
Определенный интеграл. Интегрируемость непрерывной функции.
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла (задача о площади криволинейной трапеции, задача о вычислении работы под действием переменной силы). Понятие определенного интеграла. Необходимое условие интегрируемости. Суммы Дарбу и их свойства (обзорно). Необходимое и достаточное условие интегрируемости. Интегрируемость непрерывной функции. Основные свойства определенного интеграла (обзорно).
17. Определенный интеграл с переменным верхним пределом и его
свойства. Формула Ньютона-Лейбница.
Определение функции 
− определенного интеграла с переменным верхним пределом. Свойства функции 
: непрерывность и дифференцируемость. Существование первообразной для непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница и её значение для интегрального исчисления. Связь между определенным и неопределенным интегралами.
Квадрируемые фигуры. Приложение определенного интеграла к вычислению площади плоской фигуры.
Квадрируемые фигуры. Необходимое и достаточное условие квадрируемости фигуры. Необходимое и достаточное условие квадрируемости фигуры в терминах меры границы этой фигуры. Достаточное условие квадрируемости фигуры, ограниченной графиками нескольких непрерывных функций. Квадрируемость фигуры в терминах предела последовательности площадей квадрируемых фигур. Свойства квадрируемых фигур (инвариантность, аддитивность и монотонность) (обзорно). Площадь криволинейной трапеции. Площадь криволинейного сектора в полярной системе координат. Примеры.
|
|
|
