Полное внутренние отражение.

Введение.

 

В работе поставлены задачи изучения принципа работы тонких диэлектрических волноводов. Для этого нужно нарисовать картину распространения волн в волноводе. Но до этого нужно изучить сами электромагнитные волны, их свойства (т.е. поведение волн на границах раздела), частные случаи (такие как геометрическая оптика и уравнения Френеля). И затем уже приступить к рассмотрению вопроса распространения электромагнитных волн в тонком волноводе. Тонкопленочный волновод представляет собой нанесенную на подложку полоску тонкой пленки, показатель преломления которой больше показателя преломления подложки.

 

Переменное электромагнитное поле.

Запишем систему уравнений Максвелла для однородного поля или вакуума:

 (1)

 (2)

 (3)

 (4)

 (5)

 (6)

Если в пространстве отсутствуют токи и заряды, то уравнения  

(1) и (2) переходят к виду:

 и  .

Теперь принимаем во внимание, что   и  - постоянные, полную систему можно записать так:

(7)

 (8)

 (9)

(10)

, (11,12)

Продифференцировав (7) по , имеем:

 (13).

Учитывая  второе уравнение, получаем:

 (14)

Так как , то .

Отсюда имеем:

 (15)

- это волновое уравнение, описывающее распространение волн со скоростью .

Решение этого уравнения записывается наиболее просто случае, когда  зависит лишь от  и .Тогда уравнение сводится к следующему:

 сделаем замену переменных   и , в соответствии с которой ,  получим:

(16).

Делаем вывод, что общее решение имеет вид:

, где  и  произвольные функции. Это суперпозиция двух возмущений, распространяющихся со скоростью .

Теперь учтем, что диэлектрическая и магнитная проницаемости – это комплексные величины:

 (17)

 (18)

значит   и ,

где , - вектор плотности электрического тока , где  - суммарная плотность объемного заряда в исследуемом объеме. Временную зависимость можно представить в виде экспоненты .Тогда дифференциальные уравнения для E и H примут вид:

или

, где  - комплексная диэлектрическая проницаемость, учитывающая эффекты рассеяния.

Получили еще одно волновое уравнение, в скалярном виде. Его решение будет иметь вид: , где  - комплексная постоянная распространения, а k – единичный вектор в направлении распространении волны. Действительная часть постоянной распространения представляет собой коэффициент поглощения по амплитуде, а мнимая часть – модуль волнового вектора .

В случае плоской волны векторы E, H, k ортогональны и отношение модулей векторов E, H:  есть характеристический волновой импеданс. 

 

Параметры среды.

При описании распространения волны в среде, кроме  и  часто используются другие параметры, например:  - длина волны в вакууме, отличающаяся от - длины волны в среде.  - показатель преломления в среде.

Граничные условия.

Исходя из условий Максвелла в интегральной форме, можно определить условия для векторов E, D, H, B на границе раздела двух сред, с разными  и .

 (19)

 (20)

(21)

 (22)

Где индексом i обозначены составляющие векторов, касательные к поверхности раздела двух сред 1 и 2. А индексом n – составляющие, нормальные к этой поверхности. Величина J – плотность поверхностных токов проводимости, а  - плотность электрических зарядов, причем в тех случаях, которые мы будем рассматривать, они равны нулю. Эти же уравнения можно представить в векторной форме, если ввести в рассмотрение единичный вектор нормали к границе раздела.

Таким образом:

Формулы Френеля.

Пусть А – амплитуда электрического вектора поля падающей волны. Будем считать ее комплексной величиной с фазой, равной постоянной части аргумента волновой функции. Переменная ее часть имеет вид:

Теперь разложим вектор на параллельную и перпендикулярную составляющие:

Компоненты магнитного вектора получаются из соотношения

Отсюда

Граничные условия  и  требуют чтобы на границе тангенциальная составляющие векторов E и H были непрерывны. Следовательно, нужно потребовать выполнения следующих соотношений

Теперь можно получить важные соотношения (уравнения):

 (23)

 (24)

 (25)

 (26)

Решая эти уравнения, получаем уравнения Френеля:

 (27)

 (28)

 (29)

 (30)

где .

 

Отражательная и пропускательная способность. Угол Брюстера.

 

Рассмотрим теперь, как энергия поля падающей волны распределяется между двумя вторичными полями.

Интенсивность света при  равна

Количество энергии в первичной волне, которое падает на поверхность раздела за одну секунду равно:

Соответственно для отраженной и преломленной волн:

Если  и  разделить на  получатся отражательная и пропускательная способности соответственно.

Если же вектор E образует с плоскостью падения угол , то

тогда

Замечаем, что в случае   .

Угол  в данном случае называется углом Брюстера. И если свет падает под углом Брюстера, то электрический вектор отраженной волны не имеет составляющей в плоскости падения.

 

Полное внутренние отражение.

При распространении света из более плотной оптической среды в менее. Т.е. когда   

При условии, что угол падения превосходит критическое значение

определяющееся выражением .

Если , то , так что направление распространения света касательно к поверхности первого раздела. Если превышает 90, свет не входит во вторую среду. Весь свет отражается обратно в первую среду, и мы говорим о полном внутреннем отражении.

Но электромагнитное поле не равно нулю во второй среде, отсутствует лишь поток энергии через границу. Если в фазовом множителе прошедшей волны положим:  и

 

то получим

Это выражение описывает неоднородную волну, которая распространяется вдоль поверхности раздела в плоскости падения и меняется экспоненциально с изменением расстояния от этой поверхности.

 

Зависимость амплитуды электрического вектора от угла падения, для двух случаев. Первый случай: падение из более плотной среды в менее плотную; второй случай: падение из менее плотной среды в более плотную.

Для случая n=1,6. Видно, что при 38 градусах (критический угол) энергия не проходит во вторую среду.

 

Для случая n=0.625. Отчетливо виден угол Брюстера(62 градуса). Из графика видно, что отсутствует R пар. Электрический вектор отраженной волны не имеет составляющей в плоскости падения.

 

12	Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: