III. Логарифмические уравнения
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА I. ЛОГАРИФМЫ И ИХ СВОЙСТВА (§10, п.37)
Логарифмом числа х по основанию a называется показатель степени b, в которую нужно возвести основание a, чтобы получилось число х и обозначается символом
Основные свойства логарифмов.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
II. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ (§10, п.38)
Функция, заданная формулой , называется логарифмической функцией с основанием а.
Свойства логарифмической функции. 1. Область определения – множество всех положительных чисел. 2. Область значений – множество всех действительных чисел
3. При a>1 функция возрастает на всей числовой прямой, при 0<a<1 функция убывает на множестве R.
III. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (§10,п.39)
Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим.
Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение , где Решение данного уравнения опирается на определение логарифма, т.е. , причем
Решение логарифмического уравнения вида основано на том, что такое уравнение равносильно уравнению , при дополнительных условиях Переход от уравнения к уравнению иногда приводит к появлению посторонних корней. Такие корни можно выявить либо при помощи подстановки найденных корней в исходное логарифмическое уравнение, либо с помощью нахождения области определения исходного уравнения (эта область задается системой неравенств ). При решении логарифмических уравнений часто бывает полезен метод введения новой переменной. При решении уравнений, содержащих переменную и в основании, и в показателе степени, используется метод логарифмирования. Если при этом в показателе степени содержится логарифм, то обе части уравнения надо прологарифмировать по основанию этого логарифма.
Пример 1. Решить уравнение: Решение: Найдем область допустимых значений данного уравнения, решив неравенство , откуда . Согласно определению логарифма, имеем: или Найденное значение удовлетворяет области допустимых значений (т.е. ), значит - корень уравнения.
Ответ: Пример 2. Решить уравнение:
Решение: Найдем область допустимых значений данного уравнения, решив систему неравенств: , откуда или решением этой системы является интервал
Перенесем логарифм из правой части уравнения в левую:
Применяя первое свойство логарифма, получим: . Используя определение логарифма ( ), имеем: или Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим квадратное уравнение , , решая которое, получим: . Сравнивая полученные корни с областью допустимых значений, делаем вывод о том, что – посторонний корень, таким образом, исходное уравнение имеет единственное решение .
Ответ: . Пример 3. Решить уравнение:
Решение: Областью допустимых значений данного уравнения является решение системы неравенств: , откуда . Применяя ко второму слагаемому исходного уравнения третье свойство логарифма, получим: Введем новую переменную, пусть , тогда исходное уравнение примет вид: , решая которое, имеем: . Возвращаясь к переменной х, получим: , откуда . Сравнивая полученный результат с областью допустимых значений, можно сделать вывод о том, что - корень исходного уравнения.
Ответ: . Пример 4. Решить уравнение: Решение: Данное уравнение имеет разные основания логарифмов, применяя ко второму слагаемому данного уравнения формулу перехода к новому основанию (см. шестое свойство), имеем:
Так как , то получаем: Применим к левой части полученного уравнения второе свойство логарифма, а к правой части уравнения – пятое свойство: , откуда (*) Так как в левой и в правой частях полученного уравнения содержится по одному логарифму с одинаковыми основаниями, то должны равняться и подлогарифмические выражения, то есть или . Решая полученное квадратное уравнение , имеем . Проверим полученные результаты, подставляя найденные значения х в выражение (*). 1. ; ; . 2. ; ; . Проверкой установлено, что оба значения х являются решениями исходного уравнения. Ответ: .
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|