Трудности рассматриваемого подхода и традиционные философские проблемы

Реализуемый здесь нами подход к рассмотрению математического дискурса (или любого дискурса вообще) сталкивается с рядом трудностей, разрешение которых представляется довольно проблематичным. Мы, тем не менее, считаем необходимым по возможности ясно сформулировать их, поскольку на наш взгляд их появление не только обнаруживает недостатки нашего рассуждения, но отчасти воспроизводит давние философские проблемы, которые по-разному воспроизводились в разных философских построениях, но редко (или никогда) удовлетворительно разрешались. Можно поэтому предполагать, что здесь мы имеем дело с принципиальными затруднениями, свойственными самой природе мысли.

Мы вынуждены, прежде всего, констатировать, что в дискурсе никогда не представлен целый объект. Мы видели, что наше рассуждение о любом предмете представляет собой попытку его последовательной актуализации. Но в каком виде существует актуализированный предмет? Только в виде следа. Оказавшись в прошлом, он теряет статус действительного и должен быть вновь актуализирован, чтобы вновь стать предметом рассуждения. Таким образом предметом рассуждения может быть только один объект, тот который конструируется сейчас. Актуально то, что связано с настоящим временем. Но и тот предмет, который сейчас конструируется отнюдь не является предметом дискурса. Он не может присутствовать в дискурсе как целый объект, поскольку создается как последовательность частей. Всякая построенная часть превращается в след и ее также нужно вновь актуализировать, чтобы вернуть ей ее предметность. Актуально присутствует в дискурсе только точка - лишь она может существовать сейчас, в настоящем. Только точка может быть не следом, а актуальным объектом. Пытаясь извлечь предмет нашего рассуждения из прошлого, мы также можем извлечь лишь точку. Мы будем последовательно обращать внимание на одну точку за другой, но всякая точка, связанная с прошлым моментом будет тут же вновь обращаться в след и ускользать от нас.

Здесь можно увидеть неожиданную аналогию между математическим дискурсом и восприятием музыки. Оценить достоинства произведения можно лишь услышав его как нечто целое. Даже простенькая мелодия представляет собой последовательность звуков. Но лишь один звук воспринимается актуально, только одна нота или аккорд может звучать сейчас. Все произведение остается в прошлом и его актуализация еще более затруднительна, чем актуализация математического предмета, который по крайней мере представлен перед глазами.

Описанная трудность была предметом весьма пространного рассуждения Бл. Августина, который, пытаясь рассмотреть темпоральную природу восприятия, пришел к выводу, что существует только настоящее ([1], с. 297). Августин недоумевает, как можно сравнивать по длительности различные промежутки времени, когда каждый такой промежуток относится к прошлому или к будущему и не может быть целиком представлен сравнивающему (с. 293-294). Он также задается вопросом, как можно говорить о прошлых и будущих событиях: ведь говорить о них, значит говорить о том, чего нет. Как например, можно, видя зарю, предсказывать восход солнца и даже представлять его. Последнее, поясняет Августин, возможно, только если представление восхода, которому надлежит произойти в будущем, присутствует как настоящее в душе. Воображаемая картина восхода есть также настоящее, как и созерцаемая картина зари. Способность воображения позволяет актуализировать несуществующее, делая его сущим (с.296-297). Точно также становится сущим и прошлое, которое актуализируется, благодаря памяти. Августин пишет: "Совершенно ясно теперь одно: ни будущего, ни прошлого нет, и неправильно говорить о существовании трех времен: прошедшего настоящего и будущего. Правильней было бы, пожалуй говорить так: есть три времени - настоящее прошедшего, настоящее настоящего и настоящее будущего. Некие три времени эти существуют в нашей душе и нигде в другом месте я их не вижу: настоящее прошедшего - это память; настоящее настоящего - его непосредственное созерцание; настоящее будущего - его ожидание" (с. 297, курсив мой - Г.Г.).

Целостность предмета (или ситуации) восстанавливается, следовательно, благодаря памяти и воображению. Вспомним, что нечто подобное предполагал и Брауэр: рассматривая когнитивную деятельность человека, он представлял ее в виде последовательности дискретных актов. Важной характеристикой мысли была для него при этом не только способность продолжить последовательность, совершив очередной акт, но и способность "удерживать достаточно длинную цепь 'вещей' с тем, чтобы иметь возможность перейти мысленно от последней к более ранней." Здесь однако нет еще решения проблемы. Обращение к памяти не позволяет создать целое, поскольку актуализируя прошлое, мы обращаем в след (или в память) настоящее (которое, впрочем, тут же становится прошлым). Если пользоваться примером Августина, то воображаемый восход солнца, как актуальное и явленное в настоящем представление, заставляет отвлечься от созерцания зари. Последнее перестает быть созерцанием, а становится следом, удерживаемом в душе. Даже если зрелище зари само по себе никуда не делось, оно станет актуальным для нас только тогда, когда мы, отвлекшись от воображаемого восхода, вновь обратимся к его непосредственному созерцанию.

Некоторый намек на разгадку Августин дает, когда возвращается к проблеме сопоставления временных промежутков. Мы можем измерить промежутки времени, сопоставляя их друг с другом, поскольку в душе сейчас присутствует память о них. "В тебе, душа моя, измеряю я время... Впечатление от проходящего мимо остается в тебе, и его-то, сейчас существующее, я измеряю, а не то, что оставило" (с. 305). Следовательно, наряду с протекающим должно быть какое-то странное вневременное представление о целом временном промежутке. К нему, как к целому должна существовать возможность обратиться 'сейчас', в настоящем. Причем не к нему одному, но к нескольким сопоставляемым интервалам одновременно. Но точно также, как об интервале времени, можно говорить о любом предмете, который, будучи представлен как последовательность точечных актуализаций, должен также присутствовать как целое, в любой момент актуальное представление. Но такое представление не может быть действительным объектом. Мы определяем время последовательностью синтетических актов, в результате которых появляется ряд действительных объектов. Целое, строящееся из этих объектов как элементов, может быть только следом и никогда не обнаруживается актуально. В любой момент присутствующее может быть только вне времени, но это не есть действительность. Действителен лишь единичный воспринимаемый объект, а то, что представлено в любой момент не единично. Оно либо материально, либо в воображении может быть воспроизведено многократно, а потому является общим для многих актуализаций. Иными словами, речь здесь может идти о трансцендентальной схеме, вневременной структуре конструируемого в дискурсе объекта. Если что и может помочь нам удерживать представление о предмете как о целом, то только она. Однако детальное рассмотрение всего, что касается схематизма, как уже не раз отмечалось в настоящей работе, вызывает естественное затруднение.

Общность трансцендентальной схемы многим единичным объектам составляет существо второй проблемы, которая, как мы увидим, столь же стара, как и первая. Вопрос состоит в следующем: почему, воспроизводя второй раз некоторую конструкцию, мы знаем,что строим именно эту конструкцию, а не какую-либо другую? Почему, например, доказав один раз теорему о внутренних углах треугольника и произведя при этом соответствующее построение, мы не сомневаемся в возможности сделать это же самое построение еще раз, доказав вновь эту же теорему. Мы имеем веские основания для различения построенных конфигураций (они отличны по времени), но основания для их отождествления остаются пока проблематичными.

Возможность отождествления отличных по времени единичных конструкций эквивалентна общности суждения или синтезируемого этим суждением понятия. Суждение является общим поскольку справедливо для любого предмета, построенного сообразно данному понятию. Но должны быть основания для того, чтобы считать данное понятие общим для многих объектов. Каждый из этого множества объектов конструируется сообразно одному и тому же понятию, т.е. сообразно одной и той же трансцендентальной схеме. Но что значит "одна и та же"? Отождествляя построенные по одной и той же в разное время объекты, мы ссылаемся на тождественность схемы как на критерий. Но тогда мы должны обладать каким-то критерием для отождествления использованных в разное время схем, что тут же обеспечивает регресс в дурную бесконечность. Даже если мы будем считать, что схема остается одной и той же в смысле нумерического единства, как одна и та же вещь, то проблема отождествления не решается, поскольку мы не имеем каких-либо оснований для утверждения, что в очередной раз обратились к той же схеме (подобно, например, тому, как каждый раз, забивая очередной гвоздь, мы берем тот же самый молоток).

Понятие о нумерическом единстве (или единстве по числу) исключительно важно для нашего рассуждения и должно быть надлежащим образом уточнено. Боэций ([9] с. 45) пишет о "различии по числу" как о "различии при перечислении". "Когда мы говорим: 'Вот это - Платон, а вот это - Сократ' - мы получаем две единицы; точно также если бы мы коснулись пальцем обоих, говоря: 'Один' - о Сократе, 'Еще один' - о Платоне, мы перечислили бы две разные единицы". Из этого отрывка следует, что единство по числу подразумевает индивидуацию с помощью непосредственного указания. Заметим, что именно это происходит в экспозиции теоремы, где непосредственно предъявляется единичный объект построенный здесь и сейчас. Сама единичность, таким образом, эквивалентна непосредственному указанию ("Вот это"), которое есть не что иное как актуализация объекта, связанная с данным моментом времени, с настоящим. Из этого следует, что ни о каком нумерическом единстве схемы не может быть и речи.

Ситуация удивительным образом воспроизводит проблему универсалий. Вопрос о том, как общие понятия присутствуют в единичных вещах приводит ровно к тем же затруднениям. Вид присутствующий в различимых индивидах может быть либо един, либо множествен. Первый случай невозможен из-за того, что в этом случае нумерически одно должно находится сразу во многих местах. Второй же приводит к бесконечному умножению видов, ибо у всего множества, называемого одним видом, должно быть нечто общее, что собственно и делает вид одним. Потому что - как пишет Аристотель - "Если здесь не один и тот же вид бытия, то у них было бы только имя общее, и было бы похоже на то, как если бы кто называл человеком и Каллия и кусок дерева, не усмотрев никакойобщности между ними" (Метафизика I,9).(См. примечание 6)

Последняя трудность, на которую мы обязаны обратить внимание, связана с принципом "темпоральности", лежащем в основе разрабатываемого здесь подхода к дискурсу. Мы видели, что основой всякого различия между актуальными объектами является различие во времени. Именно структура таких различий задана схемой. Последняя не может определять ничего, кроме соотношения длительностей временных интервалов между точечными синтетическими актами. Дискурс оказывается последовательностью действий по конструированию элементарных (различимых лишь по времени) объектов. Но тогда мы можем объяснить только одномерную конструкцию, прямую линию. Понятая так трансцендентальная схема исключает одновременность и многомерность в восприятии объекта. Кант указывал на абсурдность описанной ситуации, находя в ней аргумент против "проблематического идеализма" ([30], с. 626-630). Он отмечал, что представление (даже с помощью одного лишь воображения) трехмерных объектов невозможно без обращения к внешнему чувству, т.е. к пространству. Внутренне чувство (время) обладает одним измерением и, опираясь только на него, нельзя мыслить пространственные конфигурации. Кант видит здесь довод против скептицизма Декарта суть которого он излагает так: "Проблематический идеалист признает, что мы воспринимаем изменения посредством нашего внутреннего чувства, но он отрицает, что на этом основании можно заключать о существовании внешних предметов в пространстве" (с. 626-627). Нам, однако, представляется, что указанная сложность присуща также и самой кантовской философии именно в силу центральной роли схематизма для познавательной способности. Схема дает правило для определения времени и совершенно невозможно понять, как она может быть прообразом или правилом конструирования пространственного объекта. Здесь остается лишь вновь сослаться на цитированное уже место из "Критики чистого разума" о "сокровенном в недрах человеческой души искусстве" (B181).

Примечания

1. Во всяком случае в таблице категорий, приводимой в "Аналитике понятий", второй из категорий модальности названо именно "существование" (B106), тогда как в "Аналитике основоположений" фигурирует термин "действительность".

2. В [76], с. 96-99 совершенно точно указывается на необходимость различать "реальное" и "действительное". В противном случае выражение "реальная возможность" окажется оксюмороном. Реально то, что получено в результате синтеза, совершенного сообразно условиям опыта. Все действительное реально. Но реальным может быть и возможное. Вообще введение термина "реальный" представляется оправданным именно в смысле противопоставления реальной и логической возможности.

3. Рассматриваемая далее структура античной теоремы была описана Проклом в "Комментариях к первой книге начал Евклида". См. комментарий к первому предложению в [78], c. 180-181. Интересная интерпретация этой, установленной у Прокла структуры имеется в статье А.Родина "Теорема" [49]. Родину принадлежит перевод на русский язык терминов, используемых Проклом для обозначения частей теоремы.

4. В [76] приведена довольно обширная литература по вопросу трансцендентального схематизма. Там же указано на многочисленные (и на наш взгляд вполне оправданные) жалобы многих исследователей на трудность и темноту данной проблемы.

5. Проблема взаимодействия звучащего и незвучащего в музыке подробно рассмотрена в книге М. Аркадьева [3]. В ней музыкальное произведение представлено как развертывание звучания в непрерывной незвучащей среде, названной автором "музыкальным временем". Последнее не является безразличным вместилищем для звуков, но находится с ними в сложном взаимодействии. Подобное описание музыкального произведения оказывается неожиданно близким к нашему представлению математического дискурса.

6. Рассуждение указывающее на трудность в рассмотрении общих понятий, связанную с их бесконечным умножением, была впервые указана у Платона в "Пармениде", а затем у Аристотеля в "Метафизике" (I,9). В обоих случаях, впрочем, аргументация несколько отлична от приводимой здесь, поскольку речь в названных книгах идет о самостоятельном (или, как выражается в [35] Г.Г. Майоров, "субсистентном") существовании идей. Наше рассуждение ближе к рассуждению Боэция ([9], c.25).